篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生使用，所以在平時教學時，能夠快速找到高質(zhì)量、高效率、高標準的資料顯得十分重要。編者以前常常游走于各大學習網(wǎng)站尋找自己所需的資料，可卻總在花費大量時間與精力后才能找到自己心儀的那份，這樣費時費力不討好，實在有些苦惱。正因如此，每次在尋找資料時，編者就會想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料那又該如何呢？那么這份資料應該首先滿足自身教學需要，并達到我的高標準要求，然后才能為他人提供參考。于是，本著這樣的想法，在結(jié)合自身教學需求和學生實際情況后，最終醞釀出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業(yè)，還適合階段復習的大綜合系列。《20242025學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列「2025版」》，它基于教材知識和常年真題進行總結(jié)與編輯，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、思維素養(yǎng)篇、分層試卷篇等五個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優(yōu)點在于綜合全面，精練高效，實用性強。4.思維素養(yǎng)篇，新的學年，新的篇章，從課本到奧數(shù)，從方法到思維，從基礎技能到核心素養(yǎng)，其優(yōu)點在于由淺入深，思維核心，方法易懂。5.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和水平，主要分為A卷·基礎鞏固卷、B卷·素養(yǎng)提高卷、C卷·思維拓展卷，其優(yōu)點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。時光荏苒，轉(zhuǎn)眼之間，《典型例題系列》已經(jīng)歷三個學年三個版本，在過去，它揚長補短，去粗取精，日臻完善；在未來，它承前啟后，不斷發(fā)展，未有竟時。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我，歡迎您的使用，感謝您的支持！101數(shù)學創(chuàng)作社2025年1月9日20242025學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列「2025版」第四單元比例·單元復習篇【四大篇章】知識點一：比例的意義。

1.比例的意義。（1）表示兩個比相等的式子叫做比例。（2）根據(jù)比例的意義可以判斷兩個比能否組成比例。2.比例的各部分名稱。（1）組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。（2）在比例中，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項。3.比例的三種常見形式。（1）比例式：例如：80:2=200:5（2）分數(shù)式：例如：（3）乘積式：例如：80×5=200×24.判斷兩個比能不能組成比例，關鍵要看它們的比值是否相等，若比值相等，則能組成比例；若比值不相等，則不能組成比例。

知識點二：比例的基本性質(zhì)。

1.比例的基本性質(zhì)。在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不為0），那么ad=bc。2.比和比例的聯(lián)系與區(qū)別。比比例意義兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)的比，比表示兩個數(shù)相除的關系。表示兩個比相等的式子叫做比例，比例表示兩個比相等的關系，是一個等式。構(gòu)成由兩項組成，分別叫做比的前項和后項。由四項組成，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項。基本性質(zhì)比的前項和后項同時乘或除以同一個數(shù)(0除外)，比值不變。在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。3.乘積式變形的常見八種形式。如果a×b=c×d，那么①根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形：a:c=d:b；②換比形式：d:b=a:c；③換內(nèi)項形式：a:d=c:b；④換比形式：c:b=a:d；⑤換外項形式：b:c=d:a；⑥換比形式：d:a=b:c；⑦前后換形式：c:a=b:d；⑧換比形式：b:d=c:a。4.比例中項。如果a、b、c三個量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中項，根據(jù)比較的基本性質(zhì)有ac=b2。注意：只有內(nèi)項要相等時才稱為比例中項。5.先假設兩個比能組成比例，再分別算出它們內(nèi)、外項的積，如果內(nèi)、外項的積相等，則能組成比例；如果內(nèi)、外項的積不相等，則不能組成比例。

知識點三：解比例。

1.列比例式的關鍵是找到對應關系的兩個比，解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)。2.根據(jù)比例的基本性質(zhì)解比例，先把比例轉(zhuǎn)化為兩個外項的積與兩個內(nèi)項的積相等的形式，即以前學過的方程，再通過解方程求出未知數(shù)的值。知識點四：正比例。

1.兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。2.如果用字母y和x表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的比值(一定)，正比例關系可以用式子yx=k（一定）表示。3.正比例關系圖象是一條經(jīng)過(0，0)的直線。從圖象中，可以直觀地看到兩種量的變化情況，不用計算，由一種量的值可以直接找到對應的另一種量的值。知識點五：反比例。

1.兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的積（一定），反比例關系可以表示為xy=h（一定）。2.判斷兩種量是否成反比例關系，先看這兩種量是不是相關聯(lián)的量，如果是，再看它們的乘積是否一定，若乘積一定，則兩種量成反比例關系；若乘積不一定，則兩種量不成反比例關系。知識點六：判斷比例關系。1.是否為相關聯(lián)的量；2.是不是一種量隨著另一種量的變化而變化，其中正比例關系兩種量的變化方向相同，反比例關系兩種量的變化方向相反；3.比值或乘積是否一定（“商正積反”）：①若兩個變量的比值一定，則成正比例；②若兩個變量的乘積一定，則成反比例。補充：正比例關系和反比例關系的異同點：正比例關系反比例關系相同點1.都是兩種相關聯(lián)的量。

2.一種量隨著另一種量的變化而變化。不同點1.變化方向相同，一種量擴大或縮小，另一種量也擴大或縮小。

2.相對應的兩個數(shù)的比值一定。

3.關系式：(一定）。1.變化方向相反，一種量擴大或縮小，另一種量反而縮小或擴大。

2.相對應的兩個數(shù)的乘積一定。

3.關系式：xy=k(一定)。知識點七：比例尺。1.比例尺的認識和意義。一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺，一般用文字描述為圖上1厘米表示實際距離多少厘米。2.比例尺主要有兩種分類，即線段比例尺和數(shù)值比例尺。3.比例尺三種形式的寫法。（1）比的形式：比例尺是圖上距離與實際距離的最簡整數(shù)比，可以寫成帶比號的形式；（2）分數(shù)形式：也可以寫成分數(shù)形式，即比例尺1∶2500也可以寫成；（3）線段形式：注意：實際上，通常圖上距離的單位是厘米，實際距離的單位是千米，因此計算時一定要進行單位換算。4.比例尺基本關系式。（1）圖上距離:實際距離=比例尺或=比例尺（2）實際距離=圖上距離÷比例尺；（3）圖上距離=實際距離×比例尺。知識點八：比例尺的應用。1.根據(jù)比例尺和圖上距離求實際距離，可以根據(jù)“圖上距離實際距離2.運用比例尺畫圖，要先根據(jù)比例尺求岀圖上距離，再根據(jù)圖上距離畫出相應的平面圖，最后標明平面圖的名稱及比例尺。知識點九：圖形的放大與縮小。1.圖形的放大和縮小是生活中常見的現(xiàn)象，把一個圖形放大或縮小后所得到的圖形與原圖形相比，形狀相同，大小不同。2.把圖形的各邊按一定的比放大或縮小后，圖形的大小發(fā)生了變化，形狀沒有發(fā)生變化。3.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步，一看，看原圖每邊各占幾格；二算，計算按給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；三畫，按計算岀的各邊長度畫出放大或縮小后的圖形。知識點十：用比例解決問題。1.正（反）比例知識解決問題的步驟。①根據(jù)不變量判斷題中兩種相關聯(lián)的量是否成正（反）比例關系。②若成正（反）比例關系，根據(jù)正（反）比例的意義列出比例。③解比例并寫出答語。2.若兩個量的乘積一定，則可以用反比例關系解決問題。【第一部分】基本知識與基本應用【高頻考題01】比例的意義。1．判斷下面哪組中的兩個比可以組成比例，在能組成比例的括號里畫“√”。（1）2.1∶3和1.4∶2()

（2）∶和∶()（3）10∶5和6.5∶325()（4）72∶9和8∶1()【答案】（1）（√）（2）（

）（3）（

）（4）（√）【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例。【詳解】（1）2.1∶3＝2.1÷3＝0.71.4÷2＝0.70.7＝0.7，比值相等，所以2.1∶3和1.4∶2能組成比例；（2）∶＝÷＝×3＝∶＝÷＝×＝≠，比值不相等，所以∶和∶不能組成比例；（3）10∶5＝10÷5＝26.5∶325＝6.5÷325＝0.022≠0.02，比值不相等，所以10∶5和6.5∶325不能組成比例；（4）72∶9＝72÷9＝88∶1＝8÷1＝88＝8，比值相等，所以72∶9和8∶1能組成比例。綜上所述，能組成比例的兩個比如下：（1）2.1∶3和1.4∶2（√）

（2）∶和∶（

）（3）10∶5和6.5∶325（

）（4）72∶9和8∶1（√）2．寫兩個比值是0.4的比，并組成比例：()。【答案】2∶5＝4∶10（答案不唯一）【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例，所以，只要保證任意寫出的兩個比的比值是0.4，就可以組成比例。【詳解】2∶5＝0.4，4∶10＝0.4組成比例是：2∶5＝4∶10【點睛】本題考查比例的意義，關鍵是保證寫出的兩個比的比值一定相等。【高頻考題02】比例的基本性質(zhì)。1．如果（a、b均不為0），那么a∶b＝()∶()，。【答案】5；3；【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：比例的兩個內(nèi)項之積等于兩個外項之積；據(jù)此逆推，即可解答。【詳解】a＝b3a＝5ba∶b＝5∶3b∶a＝3∶5＝如果a＝b（a、b均不為0），那么a∶b＝5∶3，＝。2．在一個比例里，兩個外項分別是6和，如果一個內(nèi)項是最小的質(zhì)數(shù)，另一個內(nèi)項是()。【答案】2【分析】已知一個比例里的兩個外項分別是6和，一個內(nèi)項是最小的質(zhì)數(shù)即2；根據(jù)比例的基本性質(zhì)“兩個外項的積等于兩項的積”，那么用積除以已知的一個內(nèi)項，即可求出另一個內(nèi)項。【詳解】6×÷2＝4÷2＝2另一個內(nèi)項是2。3．有三個數(shù)“4，5，8”，要再添上一個數(shù)使它們能組成一個比例，這個數(shù)最大是()。【答案】10【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，比例的兩內(nèi)項積＝兩外項積，用較大兩數(shù)的積÷最小數(shù)即可。【詳解】5×8÷4＝10有三個數(shù)“4，5，8”，要再添上一個數(shù)使它們能組成一個比例，這個數(shù)最大是10。4．在比例35∶10＝21∶6中，如果將第一個比的后項增加30，第二個比的后項應該加上()才能使比例成立。【答案】18【分析】先算出第一個比的后項增加30后兩內(nèi)項的積，即（10＋30）×21＝840；根據(jù)比例的基本性質(zhì)可知，兩外項的積也是840，用840除以35求出第二個比的后項是24；最后用24減去6求出第二個比的后項應該加幾。【詳解】（10＋30）×21÷35－6＝40×21÷35－6＝840÷35－6＝24－6＝18所以第二個比的后項應該加上18才能使比例成立。【點睛】明確比例的基本性質(zhì)是解決此題的關鍵。【高頻考題03】解比例。1．解比例。∶x∶20

1.5∶8＝0.5∶x

【答案】x＝105；x；x【分析】∶x＝∶20，解比例，原式化為：x＝×20，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以即可；1.5∶8＝0.5∶x；解比例，原式化為：1.5x＝8×0.5，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以1.5即可；＝，解比例，原式化為：（5x－1）×7＝6×3，化簡，原式化為：5x×7－1×7＝18，再化簡，原式化為：35x－7＝18，根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時加上7，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以35即可。【詳解】∶x＝∶20解：x＝×20x＝25x÷＝25÷x＝25×x＝1051.5∶8＝0.5∶x解：1.5x＝8×0.51.5x＝41.5x÷1.5＝4÷1.5x＝＝解：（5x－1）×7＝6×35x×7－1×7＝1835x－7＝1835x－7＋7＝18＋735x＝2535x÷35＝25÷35x＝2．解比例。（1）x∶25＝1.2∶7.5

（2）

（3）【答案】（1）x＝4；（2）x＝3.8；（3）x＝7.5【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為7.5x＝1.2×25，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以7.5即可；（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為0.85x＝1.7×1.9，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以0.85即可；（3）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為x＝×10，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以即可。【詳解】（1）x∶25＝1.2∶7.5解：7.5x＝1.2×257.5x＝307.5x÷7.5＝30÷7.5x＝4（2）解：0.85x＝1.7×1.90.85x＝3.230.85x÷0.85＝3.23÷0.85x＝3.8（3）解：x＝×10x＝2.5x÷＝2.5÷x＝2.5×3x＝7.5【高頻考題04】正比例的認識和意義。1．已知y與x成正比例關系，在下表的空格中填寫合適的數(shù)。x1251020y2.57.52037.5【答案】見詳解【分析】y與x成正比例關系，則y與x的比值是一定的。當x＝1時，y＝2.5，則＝2.5則y與x的比值是2.5。求x的值用y÷2.5，求y的值用x×2.5。【詳解】據(jù)分析，當x＝1時，y＝2.5，則＝2.5。x12358101520y2.557.512.5202537.550當x＝2時，y＝2×2.5＝5；當y＝7.5時，y＝7.5÷2.5＝3當x＝5時，y＝5×2.5＝12.5當y＝20時，y＝20÷2.5＝8當x＝10時，y＝10×2.5＝25當y＝37.5時，y＝37.5÷2.5＝15當x＝20時，y＝20×2.5＝502．(1)A、B兩物體的路程隨時間的變化關系分別如圖①、②所示，則A的速度()B的速度（填“＞”“＝”或“＜”）；(2)A、B兩物體分別從甲、乙兩地同時相向而行，經(jīng)過6秒兩物體相遇，則甲、乙兩地間的距離為()米。【答案】(1)＜(2)15【分析】A、B兩物體的路程隨時間變化關系圖都是一條直直的線，說明A、B兩物體的路程與時間成正比例，且路程與時間的比值就是速度。（1）分別在A、B的圖形中找一點，用這一點的路程除以時間可以分別求出他們的速度，再比較大小即可。（2）在（1）中已經(jīng)求出A、B的速度，用A與B的速度和乘上時間6秒可以求出路程和也就是甲乙兩地間的距離。【詳解】（1）A的速度：6÷12＝0.5（米/秒）B的速度：12÷6＝2（米/秒）0.5＜2，所以A的速度＜B的速度（2）（0.5＋2）×6＝2.5×6＝15（米）則甲乙兩地間的距離是15米。【高頻考題05】反比例的認識和意義。1．下表中x和y兩個量成反比例關系，請把表格填寫完整。x240y50.1【答案】見解析【分析】x和y兩個量成反比例關系，則x和y兩個量的乘積一定，當x＝2時，y＝5，得xy＝10。即當知道x時，y＝10÷x，當知道y時，x＝10÷y。【詳解】據(jù)分析，xy＝10。x21004012y5500.1當x＝時，y＝10÷＝10×5＝50當y＝0.1時，x＝10÷0.1＝100當x＝40時，y＝10÷40＝當y＝時，y＝10÷＝10×＝122．如圖表示一個工程隊修筑公路的長度與所用時間的關系，這個工程隊修路長度與所用時間成()比例。照這樣計算，修筑380米公路需要()小時。【答案】正3.8【分析】判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例；根據(jù)路程÷速度＝時間，代入數(shù)據(jù)列式解答即可求出時間。【詳解】100÷1＝100（米/小時）200÷2＝100（米/小時）300÷3＝100（米/小時）修路長度÷時間＝速度（一定），商一定，所以修路長度與所用時間成正比例。380÷100＝3.8（小時）則修路長度與所用時間成正比例，修筑380米公路需要3.8小時。【點睛】本題考查正反比例的判定，明確正反比例的定義是解題的關鍵。【高頻考題06】比例關系的判斷。1．已知6x＝4y，x和y成()比例，x∶y＝()∶()。【答案】正23【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積；判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。據(jù)此判斷出x和y的關系即可。【詳解】因為6x＝4y所以x∶y＝4∶6＝（4÷2）∶（6÷2）＝2∶3＝x和y的比值一定，因此x、y成正比例，x∶y＝2∶3。【點睛】本題考查了正比例、反比例的意義和辨識。2．下面各題中的兩種量是否有比例關系？如果有，成什么比例關系？填一填。(1)一根彩帶的長度一定，已用的長度與未用的長度。()(2)玉米每公頃產(chǎn)量一定，玉米的總產(chǎn)量與公頃數(shù)。()(3)平行四邊形的面積一定，它的底與高。()(4)圓柱的高一定，圓柱的體積與底面積。()【答案】(1)不成比例(2)成正比例關系(3)成反比例關系(4)成正比例關系【分析】判斷兩個相關聯(lián)的量成何種比例關系的方法：如果它們的積一定，則成反比例關系；如果它們的比值（商）一定，則成正比例關系。逐項分析解答。【詳解】（1）已用的長度＋未用的長度＝彩帶的總長度。（和一定）所以，一根彩帶的長度一定，已用的長度與未用的長度不成比例關系。（2）玉米的總產(chǎn)量÷公頃數(shù)＝玉米每公頃產(chǎn)量一定（商一定）所以，玉米每公頃產(chǎn)量一定，玉米的總產(chǎn)量與公頃數(shù)成正比例關系。（3）底×高＝平行四邊形面積（乘積一定）所以，平行四邊形的面積一定，它的底與高成反比例關系。（4）圓柱的體積÷底面積＝圓柱的高（商一定）所以，圓柱的高一定，圓柱的體積與底面積成正比例關系。【高頻考題07】比例尺的認識和意義。1．線段比例尺千米，圖上1厘米表示實際()千米，改寫成數(shù)字比例尺是()。【答案】251∶2500000/【分析】由線段比例尺可知：圖上1厘米表示實際的25千米，根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實際距離，帶入數(shù)值化簡即可。【詳解】由線段比例尺可知，圖上1厘米表示實際25千米。25千米＝2500000厘米1厘米∶25千米＝1厘米∶2500000厘米＝1∶2500000因此線段比例尺表示圖上1厘米表示實際25千米，改寫成數(shù)字比例尺是1∶2500000。2．鐵釘?shù)膶嶋H長度為，下圖是這顆鐵釘畫在圖紙上的情況，這幅圖的比例尺是()。【答案】【分析】比例尺＝圖上距離∶實際距離，觀察圖可知，鐵釘?shù)膱D上距離是6cm，實際距離是15mm＝1.5cm，據(jù)此解答即可。【詳解】15mm＝1.5cm這幅圖的比例尺是：。【點睛】本題考查比例尺，解答本題的關鍵是掌握比例尺的計算公式。3．在一幅比例尺是1∶5000000的重慶市地圖上，量得渝萬城際鐵路的長度大約是5cm，渝萬城際鐵路的實際長度約是()km。【答案】250【分析】根據(jù)實際距離＝圖上距離÷比例尺進行換算即可。【詳解】5÷＝5×5000000＝25000000（cm）25000000cm＝250km則渝萬城際鐵路的實際長度約是250km。【高頻考題08】比例尺作圖。1．以君君家為觀測點，用直尺量角器畫出其他三位小朋友家的位置。（1）小海家在西偏北60°方向300米處。（2）小貝家在東偏北45°方向400米處。（3）豆豆家在南偏東30°方向200米處。【答案】圖見詳解【分析】根據(jù)地圖方向的規(guī)定“上北下南，左西右東”，以君君家為觀測點即可確定小海家、小貝家、豆豆家的方向，再根據(jù)小海家、小貝家、豆豆家與君君家的實際距離及圖中所標注的線段比例尺即可分別求出小海家、小貝家、豆豆家與君君家的圖上距離，從而畫出小海家、小貝家、豆豆家的位置。【詳解】（1）300÷100＝3（厘米）即小海家在君君家西偏北60°方向圖上距離3厘米處；（2）400÷100＝4（厘米）即小貝家在君君家東偏北45°方向圖上距離4厘米處；（3）200÷100＝2（厘米）即豆豆家在君君家南偏東30°方向圖上距離2厘米處。根據(jù)以上信息畫圖如下：2．有一個長是200米，寬是150米的長方形操場，請你按照1∶5000的比例尺把它畫出來，并標出長和寬的長度。【答案】見詳解【分析】根據(jù)圖上距離＝實際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)，分別求出長方形操場的長、寬的圖上距離，再畫出長方形即可。【詳解】200米＝20000厘米；150米＝15000厘米。20000×＝4（厘米）15000×＝3（厘米）圖如下：【高頻考題09】圖形的放大與縮小。1．一張長方形圖片的長是16分米，寬是6分米，把它按1∶4的比縮小后，長是()分米，寬是()分米，這張圖片的()不變，()變了。【答案】41.5形狀大小【分析】根據(jù)題意，把一張長方形圖片按1∶4的比縮小，則它的長、寬都要除以4，即是縮小后長方形的長、寬，再根據(jù)圖形放大與縮小的特點“形狀相同，大小不同”進行解答。【詳解】16÷4＝4（分米）6÷4＝1.5（分米）把它按1∶4的比縮小后，長是4分米，寬是1.5分米，這張圖片的形狀不變，大小變了。2．按要求畫一畫。（1）畫出三角形ABC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形①。（2）畫出三角形ABC按1∶2縮小后的圖形②。（3）畫出三角形ABC以直線L為對稱軸的軸對稱圖形③。（4）將三角形ABC平移，使三角形頂點B的位置平移到（10，2）。畫出平移后的圖形④。【答案】圖見詳解【分析】（1）作旋轉(zhuǎn)一定角度后的圖形步驟：①根據(jù)題目要求，確定旋轉(zhuǎn)中心是B點、旋轉(zhuǎn)方向是逆時針和旋轉(zhuǎn)角時90°。②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關鍵點。③找出關鍵點的對應點：按一定的方向和角度分別作出各關鍵點的對應點。④作出新圖形，順次連接作出的各點即可。（2）把圖形按照1∶2縮小，就是將圖形的每一條邊縮小到原來的12（3）畫軸對稱圖形的方法：找出圖形的關鍵點，依據(jù)對稱軸畫出關鍵點的對稱點，再依據(jù)圖形的形狀順次連接各點，畫出最終的軸對稱圖形。（4）根據(jù)圖形可知原來的B的位置（3，4），平移到（10，2），就是將圖形先向右平移7個單位，再向下平移2的單位。然后將三角形的其他的點按照B的平移方法平移。再將點依次連接。【詳解】【第二部分】綜合應用與解決問題【高頻考題01】正比例的實際應用。1．琪琪身高1.5米，陽光下她的影長為2米，此時測得一個水塔在同一地面的影長為60米，水塔的高度是幾米？（用比例解答）【答案】45米【分析】由題意可知，設水塔的高度是x米，根據(jù)同一時間，同一地點物體高度與它的影長成正比例，據(jù)此列比例解答即可。【詳解】解：設水塔的高度是x米。1.5∶2＝x∶602x＝1.5×602x＝902x÷2＝90÷2x＝45答：水塔的高度是45米。2．甲、乙兩地相距570千米，一輛汽車從甲地開往乙地，4小時行了380千米。照這樣的速度，這輛汽車還需要多長時間才能到達乙地？（用比例解）【答案】2小時【分析】因為汽車前后的速度不變，路程÷時間＝速度（一定），所以路程和時間成正比例，4小時行了380千米，剩下（570－380）千米。設到達乙地還需要x小時，再按照正比例關系列方程。【詳解】解：設這輛汽車還需x小時到達乙地。380∶4＝（570－380）∶x380∶4＝190∶x380x＝4×190380x＝760380x÷380＝760÷380x＝2答：這輛汽車還需要2小時才能到達乙地。3．一輛客車和一輛貨車同時從A、B兩地相對開出，它們的速度之比是6∶5，相遇時客車行駛了96千米，貨車行駛了多少千米？（用比例解答）【答案】80千米【分析】根據(jù)路程÷速度＝時間可知，相遇時間相同時，路程和速度成正比例關系，即客車與貨車的路程之比等于它們的速度之比，據(jù)此列出比例方程，并求解。【詳解】解：設貨車行駛了千米。96∶＝6∶56＝96×56＝4806÷6＝480÷6＝80答：貨車行駛了80千米。【點睛】本題考查列比例方程解決問題，根據(jù)速度、時間、路程之間的關系，分析出路程和速度成正比例關系是解題的關鍵。【高頻考題02】反比例的實際應用。1．為慶祝六一兒童節(jié)，實驗小學舉行團體操表演，如果每行站25人，那么正好站24行；如果每行站30人，那么可以站多少行？（用比例知識解答）【答案】20行【分析】由題意可知，學生的總?cè)藬?shù)一定，則每行的人數(shù)和行數(shù)成反比例，據(jù)此解答即可。【詳解】解：設可以站x行，30x＝24×2530x＝60030x÷30＝600÷30x＝20答：可以站20行。2．博愛小學為美化環(huán)境，購置了一些牡丹花，要栽在一個長方形花園里，如果每行栽18棵，可以栽24行；如果每行少栽2棵，需要栽多少行？（用比例解）【答案】27行【分析】由題意得：學校購置了一些牡丹花，則購置牡丹花的總量一定，在長方形花園里栽種，牡丹花總量=行數(shù)每行的棵樹，則根據(jù)反比例定義，行數(shù)和每行的棵樹成反比例關系。可設少栽2行的每行棵樹為未知數(shù)，則可列出反比例關系式，再根據(jù)等式基本性質(zhì)計算可得出答案。【詳解】根據(jù)題意得：購置的牡丹花總量一定，行數(shù)和每行的棵樹成反比例關系。設需要栽x行，則：答：如果每行少栽2棵，需要栽27行。3．某街道要用方磚重新鋪設一個小廣場。用邊長2分米的方磚鋪需要用216塊，如果改用邊長是3分米的方磚鋪，需要多少塊？（用比例知識解）【答案】96塊【分析】這塊地的面積是一定的，每塊磚的面積與所需要的塊數(shù)成反比例，設出未知數(shù)，列出比例式解答即可。【詳解】解：設需要x塊。答：需要96塊。【點睛】此題主要考查對反比例的意義的運用：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，但兩種量的乘積一定，這兩種量成反比例。【高頻考題03】比例尺的實際應用。1．衡水到濟南大約170千米，高鐵要行駛90分鐘左右。一只螞蟻在一幅地圖上僅用了2秒就從衡水爬到了濟南，已知螞蟻每秒爬行1.25厘米，這幅地圖的比例尺是多少？【答案】1∶6800000【分析】根據(jù)速度×時間＝路程，求出螞蟻爬行距離，即衡水到濟南的圖上距離，根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實際距離，寫出圖上距離與實際距離的比，化簡即可。【詳解】1.25×2＝2.5（厘米）2.5厘米∶170千米＝2.5厘米∶17000000厘米＝（2.5÷2.5）∶（17000000÷2.5）＝1∶6800000答：這幅地圖的比例尺是1∶6800000。2．兩個城市之間的鐵路線大約長1900千米。在一幅比例尺為的地圖上，這兩個城市之間鐵路線的長度大約是多少厘米？【答案】4.75厘米【分析】根據(jù)圖上距離＝實際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)，即可求出這兩個城市之間鐵路線的長度，注意單位名數(shù)的換算。【詳解】1900千米＝190000000厘米190000000×＝4.75（厘米）答：這兩個城市之間鐵路線的長度大約是4.75厘米。3．在一幅地圖上，用6厘米的距離表示實際距離1200千米。在這幅地圖上量得A、B兩地的距離是4.5厘米，A、B兩地的實際距離是多少千米？一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是多少厘米？【答案】900千米；2.8厘米【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實際距離，據(jù)此求出這幅地圖的比例尺，再根據(jù)實際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此計算可求出A、B兩地的實際距離；根據(jù)圖上距離＝實際距離×比例尺，據(jù)此可求出一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是多少厘米。【詳解】6厘米∶1200千米＝6厘米∶120000000厘米＝6∶120000000＝（6÷6）∶（120000000÷6）＝1∶200000004.5÷＝4.5×20000000＝90000000（厘米）90000000厘米＝900千米560千米＝56000000厘米56000000×＝2.8（厘米）答：A、B兩地的實際距離是900千米，一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是2.8厘米。4．在一幅比例尺是1∶9000000的地圖上，量得京滬高速公路的全長是14厘米，兩輛汽車分別同時從北京和上海出發(fā)相向而行，6小時后兩車在距兩地中點60千米處相遇。已知慢車的速度是95千米/時，快車的速度是多少？【答案】115千米/時【分析】兩車在距兩地中點60千米處相遇，說明相遇時，快車比慢車多行駛（60×2）千米，設快車的速度是x千米/時，根據(jù)快車速度×時間－慢車速度×時間＝快車多行駛的距離，列出方程解答即可。【詳解】解：設快車的速度是x千米/時。6x－95×6＝60×26x－570＝1206x－570＋570＝120＋5706x＝6906x÷6＝690÷6x＝115答：快車的速度是115千米/時。【高頻考題04】比例的綜合應用。1．客車和貨車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，客車與貨車的速度比是。相遇后客車速度減少20%，貨車速度增加20%，兩車按原方向繼續(xù)前進，當客車距B地還有15千米時，貨車距A地還有27千米。A、B兩地相距多少千米？（用比例知識解答）【答案】405千米【分析】由題意可知，相遇前客車與貨車的速度比是，相遇后，客車速度減少20%，貨車速度增加20%，則相遇后客車、貨車的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把兩地間的距離看作單位“1”，當相遇時貨車行駛了全程的，則客車行駛了全程的，相遇后貨車還需行駛?cè)痰模蛙囆旭側(cè)痰模OAB相距x千米，根據(jù)時間一定，路程和速度成正比例，據(jù)此列比例解答即可。【詳解】解：設A、B兩地相距x千米。（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝（5－1）∶（4＋0.8）＝4∶4.8＝（4×10）∶（4.8×10）＝40∶48＝（40÷8）∶（48÷8）＝5∶6（x－27）∶（x－15）＝6∶5（x－27）×5＝（x－15）×6x－135＝x－90x－135＋135＝x－90＋135x＝x＋45x－x＝x＋45－xx＝45x×9＝45×9x＝405答：A、B兩地相距405千米。【點睛】本題考查應用正比例解決實際問題，明確時間一定，路程和速度成正比例是解題的關鍵。2．一根電線，第一次用去的與剩下的比是3∶4，第二次用去40米，這時用去的與剩下的比是5∶4。這根電線全長多少米？（用比例知識解答）【答案】315米【分析】假設這根電線全長x米，根據(jù)題意，第一次用去的長度占全長的，剩下的長度占全長的，求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法，所以第一次用去的長度是x米，剩下的長度是x米，第二次用去40米，共用去（x＋40）米，這時剩下（x－40）米，根據(jù)用去的與剩下的比是5∶4，列出方程，解方程即可求出這根電線全長多少米。【詳解】解：設這根電線全長x米，（x＋40）∶（x－40）＝5∶4（x＋40）∶（x－40）＝5∶4（x－40）×5＝（x＋40）×4x×5－40×5＝x×4＋40×4x－200＝x＋160x－x＝160＋200x＝360x＝360÷x＝360×x＝315答：這根電線全長315米。【點睛】此題主要考查比的應用，弄清題意，把這根電線全長設為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。一、填空題。1．（2024·江西南昌·期末）可以用圖()與圖()的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是：()。【答案】AC2∶1＝4∶2【分析】表示兩個比相等的式子叫比例，據(jù)此分別寫出各三角形兩直角邊的比，求出比值，找到比值相等的兩個比即可。【詳解】圖A：2∶1＝2÷1＝2圖B：3∶2＝3÷2＝1.5圖C：4∶2＝4÷2＝2可以用圖A與圖C的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是：2∶1＝4∶2。（寫出的比例不唯一）2．（2024·湖南張家界·期末）在比例中，兩個外項的積等于最小的質(zhì)數(shù)，其中一個內(nèi)項是2，另一個內(nèi)項是()。【答案】1【分析】根據(jù)題意，結(jié)合比例的基本性質(zhì)可知，外項之積等于內(nèi)項之積。最小的質(zhì)數(shù)為2，用2除以2，即可求出答案。【詳解】2÷2＝1所以另外一個內(nèi)項是1。3．（2024·四川綿陽·期末）圓柱的體積一定，圓柱的底面積和高成()比例關系。長方體的底面積一定，當長方體的高是原來的3倍時，體積會是原來的()。【答案】反3倍【分析】兩種相關聯(lián)的量，如果兩個量的商一定，則這兩個量成正比例；如果兩個量的乘積一定，則這兩個量成反比例。根據(jù)，得出底面積和高兩個變量乘積是一定的，則這兩個變量是成反比例。根據(jù)，得出長方體的高和體積成正比例關系，高擴大原來的幾倍，體積也會擴大原來的幾倍。【詳解】（一定）則圓柱的底面積和高成反比例關系。（一定）長方體的底面積一定，當長方體的高是原來的3倍時，體積會是原來的3倍。4．（2024·遼寧鞍山·期末）下表中，當x和y成正比例關系時，▲是()；當x和y成反比例關系時，▲是()。x46y50▲【答案】75【分析】當x和y成正比例關系時，它們比值一定，則，根據(jù)比的內(nèi)項的積等于外項的積，即可解出▲的值；當x和y成反比例關系時，它們的積一定，根據(jù)比的內(nèi)項的積等于外項的積，則，即可解出▲的值。【詳解】解：解：因此，當x和y成正比例關系時，▲是75；當x和y成反比例關系時，▲是。5．（2024·四川綿陽·期末）甲、乙兩地相距60km，畫在比例尺是的地圖上，應畫()cm。這幅地圖的比例尺用線段比例尺表示，地圖上1cm的距離相當于地面上()km的距離。【答案】1.250【分析】根據(jù)圖上距離＝實際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)，求出應畫的長度，再根據(jù)比例的意義：比例尺＝圖上距離∶實際距離，據(jù)此求出1cm表示地面上多長的距離，注意單位名數(shù)的換算。【詳解】60km＝6000000cm6000000×＝1.2（cm）比例尺＝1∶50000005000000cm＝50km甲、乙兩地相距60km，畫在比例尺是的地圖上，應畫1.2cm。這幅地圖的比例尺用線段比例尺表示，地圖上1cm的距離相當于地面上50km的距離。6．（2024·四川德陽·期末）把一個長50cm、寬30cm的長方形按1∶30縮小，得到的圖形的面積是()cm2。【答案】/【分析】長方形按1∶30縮小，則縮小后的邊長等于原邊長乘，據(jù)此求出縮小后得到圖形的長與寬，再用長×寬，可得出縮小后圖形面積，據(jù)此解答。【詳解】50×＝（cm）30×＝1（cm）×1＝（cm2）把一個長50cm、寬30cm的長方形按1∶30縮小，得到的圖形的面積是cm2。二、判斷題。7．（2024·河北張家口·期末）4.5∶7.5與3.6∶6能組成比例。()【答案】√【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。據(jù)此先求出4.5∶7.5與3.6∶6的比值，如果比值相等，則能組成比例，反之則不能。【詳解】4.5∶7.5＝4.5÷7.5＝0.63.6∶6＝3.6÷6＝0.64.5∶7.5與3.6∶6比值相等，能組成比例。原題說法正確。故答案為：√8．（2024·四川綿陽·期末）兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，這兩種量就成正比例關系或反比例關系。()【答案】×【分析】判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。【詳解】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，比值情況未知，不能判斷成正比例或成反比例，說法錯誤。故答案為：×9．（2024·河北滄州·期末）按10∶1的比例尺畫出的零件圖形，比實際零件大。()【答案】√【分析】比例尺＝圖上距離∶實際距離，由此可知：按10∶1的比例尺畫出的零件圖形，圖上距離是實際距離的10倍。據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)比例尺的意義可知：按10∶1的比例尺畫出的零件圖形，圖上距離是實際距離的10倍，所以按10∶1的比例尺畫出的零件圖形，比實際零件大。原題說法正確。故答案為：√10．（2024·四川廣元·期末）王師傅完成一項工作，由于工作效率提高了25%，故所用的時間節(jié)省了20%。()【答案】√【分析】把原來的工作效率看作單位“1”，則現(xiàn)在的工作效率是原來的（1＋25%），原來和現(xiàn)在的工作效率比是1∶（1＋25%）＝4∶5。工作總量不變的情況下，工作效率和工作時間成反比例，則原來和現(xiàn)在所用的時間比是5∶4。根據(jù)“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾，先求出多（或少）的具體數(shù)量，再除以單位“1”數(shù)量即可解答”，用5減去4的差除以5，即可求出現(xiàn)在比原來所用的時間節(jié)省了百分之幾，據(jù)此判斷。【詳解】1∶（1＋25%）＝1∶125%＝1∶＝（1×4）∶（×4）＝4∶5原來和現(xiàn)在所用的時間比是5∶4。（5－4）÷5×100%＝1÷5×100%＝0.2×100%＝20%則所用的時間節(jié)省了20%。原題說法正確。故答案為：√三、選擇題。11．（2023·吉林松原·期末）根據(jù)3×8＝4×6寫出的比例，錯誤的是()。A． B． C． D．【答案】A【分析】在比例中，兩個內(nèi)項的乘積等于兩個外項的乘積，據(jù)此逐項分析。【詳解】A．，3×6＝18，4×8＝32，18≠32，該選項錯誤；B．，3×8＝4×6＝24，該選項正確；C．，3×8＝4×6＝24，該選項正確；D．，3×8＝4×6＝24，該選項正確。故答案為：A12．（2021·河南信陽·期末）下列說法中成正比例關系的是()，成反比例關系的是()。①《快樂數(shù)學》的訂閱數(shù)量和付款錢數(shù)；②人的身高和體重；③同一時間、同一地點每棵樹的高度和它的影子的長度；④圓錐的體積一定，它的底面積和高。A．①③；④ B．④；② C．②；④ D．③；①【答案】A【分析】當兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，這兩種量就成正比例關系；如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，這兩種量就成反比例關系。【詳解】①《快樂數(shù)學》的單價固定的，即付款錢數(shù)÷訂閱數(shù)量＝單價（一定），因此《快樂數(shù)學》的訂閱數(shù)量和付款錢數(shù)成正比例；②人的身高和體重不是相關聯(lián)的量，因此它們的積或比值都不一定，所以人的身高和體重不成比例；③同一時間、同一地點每棵樹的高度和它的影子的長度的比值是一定的，因此同一時間、同一地點每棵樹的高度和它的影子的長度成正比例；④圓錐的體積＝×底面積×高，因為圓錐的體積一定，即底面積×高＝3×體積（一定），因此圓錐的體積一定，它的底面積和高成反比例。則成正比例關系的是①③，成反比例關系的是④。故答案為：A13．（2024·廣東肇慶·期末）在下邊解比例的過程中，沒有用到()。0.6∶0.4＝x∶2.2解：0.4x＝0.6×2.2x＝x＝3.3A．比例的基本性質(zhì) B．比的基本性質(zhì)C．等式的性質(zhì) D．小數(shù)乘、除法的計算方法【答案】B【分析】A．比例的基本性質(zhì)：比例的兩內(nèi)項積等于兩內(nèi)項積；B．比的基本性質(zhì)：比的前項和后項，同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變；C．等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果還是等式；（2）等式兩邊同時乘以或除以同一個不為0點數(shù)，所得結(jié)果還是等式；D．小數(shù)乘法法則：（1）按整數(shù)乘法的法則先求出積；（2）看因數(shù)中一個有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。小數(shù)除法法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)。除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也向右移動相同的位數(shù)（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算。【詳解】0.6∶0.4＝x∶2.2解：0.4x＝0.6×2.2→比例的基本性質(zhì)0.4x÷0.4＝0.6×2.2÷0.4→等式的性質(zhì)2x＝→根據(jù)小數(shù)乘、除法的計算方法，先算0.6×2.2，再算0.6×2.2的積÷0.4x＝3.3沒有用到比的基本性質(zhì)。故答案為：B14．（2024·浙江杭州·期末）加工同一批零件，師傅用了8分鐘，徒弟用了10分鐘。下列說法不成立的是()。A．師傅的工作效率比徒弟高 B．師傅的工作效率和工作時間成正比例C．師傅的用時比徒弟少 D．徒弟5分鐘做的量，師傅只需4分鐘【答案】B【分析】A．加工同一批零件，工作時間越少的工作效率越高，據(jù)此比較兩人工作時間即可；B．兩種相關聯(lián)的量，一種量變化另一種量隨著變化，無論怎么變，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例關系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例關系；C．將徒弟用時看作單位“1”，師傅和徒弟的時間差÷徒弟用時＝師傅的用時比徒弟少幾分之幾；D．將工作總量看作單位“1”，時間分之一可以看作效率，徒弟工作效率×工作時間＝相應工作量，徒弟工作量÷師傅工作效率＝師傅需要的時間。【詳解】A．8＜10，師傅的工作效率比徒弟高，說法正確；B．工作效率×工作時間＝工作總量，師傅的工作效率和工作時間成反比例，選項說法錯誤；C．（10－8）÷10＝2÷10＝師傅的用時比徒弟少，說法正確；D．×5÷＝×8＝4（分鐘）徒弟5分鐘做的量，師傅只需4分鐘，說法正確。說法不成立的是師傅的工作效率和工作時間成正比例。故答案為：B四、計算題。15．（2024·河北滄州·期末）解比例。0.6∶x＝0.3∶2

【答案】x＝4；x＝；x＝3；x＝1.5【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，先把比例化為方程：0.3x＝0.6×2，兩邊再同時除以0.3；根據(jù)比例的基本性質(zhì)，先把比例化為方程：x＝×，兩邊再同時乘；根據(jù)比例的基本性質(zhì)，先把比例化為方程：20%x＝×，兩邊再同時除以20%；根據(jù)比例的基本性質(zhì)，先把比例化為方程：42x＝21×3，兩邊再同時除以42。【詳解】0.6∶x＝0.3∶2解：0.3x＝0.6×20.3x＝1.20.3x÷0.3＝1.2÷0.3x＝4∶x＝∶解：x＝×，x＝×x＝×x＝20%x∶＝∶x解：20%x＝×20%x＝20%x÷20%＝÷20%x＝0.6÷0.2x＝3解：42x＝21×342x＝6342x÷42＝63÷42x＝1.5五、作圖題。16．（2024·遼寧鞍山·期末）看圖完成要求。①體育館在公園()偏()()°方向()米處。②美術館在公園南偏東45°方向500米處，請在圖中標出美術館的位置。③在公園的南面400米處，有一條文化街與民生路互相垂直，請在圖中用畫直線方式表示出來，并標注：文化街。【答案】①北；西；60；600；②③畫圖見詳解【分析】①地圖方向是上北下南，左西右東，觀察發(fā)現(xiàn)體育館距離公園3厘米，利用圖上距離除以比例尺，求出實際距離，描述體育館在公園的方向和位置即可。②用實際距離乘比例尺求出圖上距離，根據(jù)方向和角度，確定美術館的位置，標出即可。③用實際距離乘比例尺求出圖上距離，根據(jù)文化街與民生路互相垂直，確定文化街的位置，標出即可。【詳解】①（厘米）＝600（米）所以體育館在公園北偏西60°方向600米處，或西偏北30°方向600米處。②500米＝50000厘米圖上距離：（厘米）如圖所示：③400米＝40000厘米圖上距離：（厘米）如圖所示：17．（2024·遼寧鞍山·期末）（1）如果點A的位置用數(shù)對表示為（4，5），那么點B的位置可以表示為()，點C的位置可以表示為()。（2）畫出三角形ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。（3）以a為對稱軸，畫出三角形ABC的軸對稱圖形。（4）畫出三角形ABC按2∶1放大后的圖形。【答案】（1）（7，5）；（4，9）（2）（3）（4）見詳解【分析】（1）根據(jù)用數(shù)對表示點的位置的方法，第一個數(shù)字表示列數(shù)，第二個數(shù)字表示行數(shù)，即可用數(shù)對表示出