26對數與對數函數講義一、對數的運算1.對數的定義：如果ax=N(a>0且a≠1)，那么把叫做以為底，的對數，記作x=其中叫做對數的底數，N叫做真數2.對數的分類一般對數：底數為，，記為logaN常用對數：底數為10，記為lgN，即：log10自然對數：底數為e(e≈2.71828…)，記為lnN，即：loge3.指數與對數的關系3.對數的性質與運算法則(1)兩個基本對數：①loga1=0，②(2)對數恒等式：①alogaN(3)換底公式：loga推廣1：對數的倒數式loga推廣2：loga4.對數的運算法則(1)積的對數：loga(2)商的對數：loga(3)冪的對數：①logabm=m5.對數型糖水不等式1.設n∈N?,且n>1,則有2.設a>b>1,m>0,則有loga3.上式的倒數形式：a>b>1,m>0,則有log二、對數函數1．對數函數的概念：函數y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．2.對數函數的圖象性質圖象a＞10＜a＜1性質定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1,0)當0＜x＜1時，y＜0；當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，y＜0在(0，＋∞)上為增函數在(0，＋∞)上為減函數3.指數函數與對數函數的關系指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．4．常用結論：對數函數的圖象與底數大小的關系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大(底大圖右)．考點一對數運算【例11】下列計算正確的是(

)A．(a2)3=a5B．【例12】(2024·重慶·三模)已知，則．【例13】若，是方程的兩個實根，則ab的值等于(

)A．2B．12C．100D．【例14】(2024·四川·模擬)若實數，，滿足且，則(

)A． B．12 C． D．【例15】計算的結果為(

)A．4 B．53 C．14 1.(2024·青海·模擬預測)若，，則(

)A．1 B．－1 C．2 D．－22．(2024·遼寧丹東·一模)若，，，則(

)A． B．12 C．22 3．(2024·河南鄭州·三模)已知，則的值為．4.設方程的兩實根是a和b，則等于(

)．A．1B．－2C．?1035.已知，，(a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1)，則等于(

)A． B． C． D．考點二對數型函數及其圖象命題點1對數型函數的定義域【例211】(2024·河南·三模)函數的定義域為(

)A． B． C． D．【例212】(2024·青海海南·二模)函數的定義域為(

)A．B．C．D．命題點2對數型函數的圖象識別【例221】(2024·廣東深圳·二模)已知，且，則函數y=loga(x+1a)A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【例222】當時，在同一平面直角坐標系中，函數y=a?x與的圖象是(

)．A．B．C．D．

【例223】函數(且)的圖像大致為(

)A．B．C．D．【例224】已知函數①y=logax；②y=logbx；③y=A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c命題點3對數型函數過定點問題【例231】函數的圖象恒過定點.【例232】函數(且)過定點P，同時點P又在函數上，則P點坐標為，．【例233】(2024·陜西渭南·二模)直線(，)過函數(，且)的定點T，則的最小值為.1．(2023·廣東珠海·模擬)函數的定義域是(

)A．(?∞,12)B．(12．在同一平面直角坐標系中，函數y=1ax，y=loga(x+12A．

B．C．D．

3.如圖圖像①②③④⑤⑥⑦⑧中不屬于函數：y=2x,y=6A．①⑤B．②⑥C．③⑦D．④⑧4.已知且，則函數與y=(1a)x+1在同一直角坐標系中的圖象大致是A．B．C．D．5.若函數，且的圖象過點(12,13)，則函數的大致圖象是A．B．C．D．

6.(多選)若，則函數與在同一坐標系內的大致圖像可能是(

)A．B．C．D．

7.函數()的圖象經過定點，則點的坐標為．8.函數(且)過定點．9.函數的圖象恒過定點的坐標為.10.已知(且)過定點，若且，，則的最小值為(

)A．16B．10C．8D．411.若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為.考點三對數函數的性質命題點1對數型函數的單調性【例311】函數y=log12(A．(52,+∞)B．C．【例312】函數y=log12【例313】(2024·江蘇南通·模擬)在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【例314】已知f(x)=ax?12,x≤1,A．(0,12)B．12,1命題點2對數型函數的最值與值域【例321】函數的值域為(

)A． B． C． D．【例322】函數在2,8上的值域為(

)A．(?32,1)B．?32【例323】函數的值域是.【例324】(2023高三·河北·階段練習)的值域為，那么的取值范圍是.【例325】若函數在上的最大值為2，則實數．【例226】已知函數的定義域和值域都是，則.命題點3對數型函數的奇偶性【例331】已知函數是奇函數，則.【例332】(2024·江蘇泰州·模擬)若函數f(x)=log2(a?1x+1A．3 B．2 C．?12 【例333】(m，n為常數)在上有最大值7，則在上(

)A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值1．已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是(

)A． B．23,1) C．12,1)3．若函數y=log(a2?1)x在A． B． C． D．4.函數的單調遞減區間為.5．函數f(x)=log156．(2024高三·青海西寧)函數在區間上遞減，則a的取值范圍為．7．(2024高三·甘肅白銀·)是R上的單調遞減函數，則實數a的取值范圍為．8．函數的值域為．9．函數的值域是．10．已知函數，則函數的值域為．11．已知函數，的最大值為，最小值為，則.12．(2024·寧夏銀川·二模)若是奇函數，則．13.函數的最大值為.14.函數的最大值為(

)A． B． C． D．15.函數的值域是．16.已知函數(且)，若存在實數，使函數在上的值域恰好為，則的取值范圍為.考點四對數函數性質的應用命題點1指、對、冪比較大小【例411】(2024高三·河北保定)設，，，則a，b，c的大小關系為(

)A．B．C．D．【例412】設則的大小關系為【例413】已知，，，則(

)A． B． C． D．【例414】若，，，則(

)A．B．C．D．命題點2對數型糖水不等式的應用【例421】比較大小:(在“>，<，≤，≥”中選出正確的填)【例422】(2024·重慶·模擬預測)設，，，則(

)A．B．C．D．命題點3含對數的不等式【例431】不等式的解集為【例432】若函數(且)滿足，則不等式的解集為.【例433】若不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是1．設，則(

)A． B． C． D．2．設，則的大小關系為(

)A． B． C． D．3.(2024·山西·二模)設，，則下列關系正確的是(

)A． B． C． D．4.已知，，，則與的大小關系是．5.已知，那么，滿足的條件是．6.已知，若，則的取值范圍為．1．(2024新高考Ⅰ卷T6)已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．(2024新高考Ⅱ卷T8)設函數，若，則的最小值為(

)A． B． C． D．13．(2024北京卷T9)已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則(

)A．B．C．D．4．(2024全國甲卷理T15文T15)已知且，則．5.(2024天津卷T5)若，則的大小關系為(

)A． B． C． D．6．(2023新高考Ⅰ卷T10)(多選)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則(

)．A．B．C．D．7．(2023北京卷T11)已知函數，則．8．(2022新高考Ⅰ卷T7)設，則(

)A． B． C． D．9.(2022全國甲卷文T12)已知，則(

)A． B． C． D．10．(2022全國乙卷文T16)若f(x)=lna+11?x+b是奇函數，則11．(2022天津卷T5)已知，，，則(

)A． B． C． D．12．(2022天津卷T6)化簡的值為(

)A．1 B．2 C．4 D．613．(2022浙江卷T7)已知，則(

)A．25 B．5 C． D．14．(2021·全國·高考真題)設，，．則(

)A． B． C． D．15．(2021全國甲卷理T4文T6)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為(

)()A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.616．(2021全國乙卷理T7新高考Ⅱ卷T7)已知，，，則下列判斷正確的是(

)A． B． C． D．17．(2021·天津·高考真題)設，則a，b，c的大小關系為(

)A． B． C． D．18．(2021·天津·高考真題)若，則(

)A． B． C．1 D．19.(2020全國1卷理T12)12.若，則()A.a>2bB.a<2bC.a>b20.(2020全國2卷理T9)設函數，則f(x)()A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減21.(2020全國2卷理T11文T12)若，則()A． B． C． D．22．(2020·全國·高考真題)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則(

)A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b23.(2