數(shù)列求和：一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.等差數(shù)列前項(xiàng)和2.等比數(shù)列前項(xiàng)和，注意公比含字母時(shí)一定要討論3.其他常用求和公式①；②③；④4.錯(cuò)位相減數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。5.裂項(xiàng)相消這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）[一般]（2）（3）（4）（5）6.分組求和分組分解求和的基本思路：通過(guò)分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.二、題型梳理【錯(cuò)位相減法】【例1】.（23·24上·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【例2】.（23·24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個(gè)數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【變式11】（23·24高二上·甘肅臨夏·期中）已知數(shù)列，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若的前n項(xiàng)和為，求.【變式12】（23·24高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式13】（2023上·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【裂項(xiàng)相消法】【例1】。（23·24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，其前9項(xiàng)和為63．令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【例2】。（23·24上·徐州·期中）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【變式21】（23·24上·寶山·階段練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有.【變式22】（2024上·甘肅白銀·高三校考期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【變式23】（23·24高二上·甘肅酒泉·期中）已知等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【分組求和法】【例1】．（23·24高三上·福建龍巖·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．【例2】．（23·24上·臨夏·期中）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式31】．（23·24上·長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列，滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【變式32】．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求和：．【放縮求和】【例1】．（23·24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式41】．（23·24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：．

鞏固練習(xí)：1．（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及其最小值.2．（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前項(xiàng)的和.3．（2024上·山東威海·高三校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

5．（2024上·福建福州