第六章計(jì)數(shù)原理知識(shí)歸納與題型突破（十一類題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.常用結(jié)論：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.二、排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Peq\o\al(m,n)表示.(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0！＝1；Peq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1)1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.三、二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.常用結(jié)論：(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).0303題型歸納題型一乘法原理與加法原理例題1．甲乙兩地隔江相望，現(xiàn)今連接兩岸的有4座大橋、3條公路隧道、1條觀光隧道和2條擺渡航線，那么，兩岸市民過(guò)江有種走法．【答案】10【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【解析】?jī)砂妒忻襁^(guò)江有種走法．故答案為：10.鞏固訓(xùn)練2．某學(xué)生有語(yǔ)文書5本、數(shù)學(xué)書4本、英語(yǔ)書3本，現(xiàn)各選1本送給同學(xué)，有種不同的送法．【答案】60【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【解析】從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)書中各選1本送給同學(xué)分3步：第一步選語(yǔ)文書，有5種選法；第二步選數(shù)學(xué)書，有4種選法；第三步選英語(yǔ)書，有3種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，有種.故答案為：60.3．設(shè)有5幅不同的國(guó)畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，從中任選一幅畫布置房間，有種不同的選法．【答案】14【分析】根據(jù)分類加法原理即可求解.【解析】根據(jù)分類加法原理可得從中任選一幅畫布置房間的選法有.故答案為：4．有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為.【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【解析】每位學(xué)生可以有種參加重點(diǎn)院校的自主招生考試，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的考試方法種數(shù)為種.故答案為：.題型二捆綁法、插空法例題5．有7個(gè)同學(xué)要排隊(duì)做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法．【答案】【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題捆綁法即可求解.【解析】甲乙丙相鄰，則共有,故答案為：鞏固訓(xùn)練6．行知中學(xué)高二有6名數(shù)學(xué)老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數(shù)為.【答案】【分析】由相鄰的問(wèn)題采用捆綁法計(jì)算即可.【解析】將陳老師和姜老師捆綁到一起有種方法，然后把他們看成一個(gè)大元素與剩下的名老師排成一排共有種方法，則總共有種方法.故答案為：7．7個(gè)人站成一排，若甲和乙不能相鄰排列，則不同的排法有種．【答案】3600【分析】不相鄰問(wèn)題用“插空法”即可.【解析】先將除了甲和乙外的5人全排列，有種排法，這5人排成一排，形成6個(gè)空，讓甲乙去“插空”有種方法，故7人站成一排，甲和乙不能相鄰有種不同的排法.故答案為：3600.8．名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法共有種．【答案】【分析】首先將名男生排成一排，再把名女生插入到名男生中間的空中，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【解析】依題意，首先把名男生排成一排，有種排法，再把名女生插入到名男生中間的空中，有種排法，利用乘法原理得不同排法種數(shù)有：種．故答案為：題型三特殊元素法例題9．在7名運(yùn)動(dòng)員中選4名組成接力隊(duì)，參加接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共有種．【答案】400【分析】分四種情況，選中甲乙兩人，只選中甲，只選中乙，甲和乙均未選中，求出每種情況下的方法數(shù)，相加即可.【解析】若選中甲乙兩人，則甲乙兩人跑第一棒和第四棒，有種選擇，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇兩人跑中間兩棒，有種選擇，故有種安排方法，若只選中甲，則甲從第一棒和第四棒選擇一個(gè)，有種選擇，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇3人跑剩余3棒，有種選擇，故有種安排方法，若只選中乙，同理可得，有種安排方法，若甲和乙均未選中，則從剩余的5人中選擇4人進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上，共有種安排方法.故答案為：400鞏固訓(xùn)練10．從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為．【答案】144【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列應(yīng)用問(wèn)題列式計(jì)算得解.【解析】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.故答案為：14411．為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有四項(xiàng)，每項(xiàng)任務(wù)至少一人參加，每個(gè)人只參加一項(xiàng)任務(wù)，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案數(shù)共有.【答案】126【分析】分兩種情況，1男參加A任務(wù)，2男參加A任務(wù)，由排列組合知識(shí)求出兩種情況下方案數(shù)相加即可.【解析】?jī)擅浾卟粎⒓覣任務(wù)，由題意分兩類情況：①1男參加A任務(wù)，將3男選1人排在A任務(wù)，再將剩下4人選2人捆綁，再排在其他3項(xiàng)任務(wù)，即（種）.②2男參加A任務(wù)，將3男選2人排在A任務(wù)，再將剩下的3人排在其他3項(xiàng)任務(wù)，即（種），所以選出符合條件的方案共有（種）.故答案為：12612．某校為加強(qiáng)學(xué)生的美感教育，開設(shè)了音樂(lè)、美術(shù)、舞蹈、戲曲四門選修課程．甲、乙兩位同學(xué)各自準(zhǔn)備從中選擇兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，且甲不會(huì)選擇舞蹈課程，則甲、乙兩位同學(xué)選擇的兩門課程中僅有一門相同的情況共有種．【答案】12【分析】分乙選擇舞蹈課程和乙沒(méi)有選擇舞蹈課程兩種情況分別求解即可.【解析】解：若乙選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有種；若乙沒(méi)有選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有種，綜上，共有12種情況．故答案為：12題型四間接法、隔板法例題13．根據(jù)學(xué)校要求，錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級(jí)五樓有4個(gè)班排隊(duì)，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案有種.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，由間接法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解析】總方案有種，1班排在最后有種方案，4班排在第一位有種方案，1班排在最后且4班排在第一位有種方案，則滿足要求的方案有種.故答案為：鞏固訓(xùn)練14．百色起義紀(jì)念館、紅軍長(zhǎng)征突破湘江烈士紀(jì)念碑園、紅軍長(zhǎng)征湘江戰(zhàn)役紀(jì)念館、東蘭紅色旅游區(qū)是廣西著名的紅色旅游景點(diǎn)，某旅游博主準(zhǔn)備分4次分別去這4個(gè)景點(diǎn)旅游，則百色起義紀(jì)念館不在最后1次去的方法總數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】18【分析】利用間接法即可求解.【解析】百色起義紀(jì)念館最后1次的方法共有，故百色起義紀(jì)念館不在最后1次去的方法總數(shù)為．故答案為：1815．將8個(gè)相同的小球放入5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子，每個(gè)盒子都不空的方法數(shù)為.【答案】35【分析】用插隔板法：先把8個(gè)相同的小球排成一行，然后在8個(gè)小球之間的7個(gè)空隙中任選4個(gè)空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，由此可得結(jié)論．【解析】先把8個(gè)相同的小球排成一行，然后在8個(gè)小球之間的7個(gè)空隙中任選4個(gè)空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，故每個(gè)盒子都不空的方法數(shù)共有種.故答案為：35.16．學(xué)校將個(gè)三好學(xué)生名額分配給個(gè)班，每個(gè)班至少一個(gè)名額，則分配方案共有種.【答案】【分析】利用隔板法計(jì)算可得.【解析】將個(gè)三好學(xué)生名額看做個(gè)完全一樣的小球，將小球排成一排，從個(gè)空中插入個(gè)隔板，將小球分成組，每組小球的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)班級(jí)的三好學(xué)生名額，故分配方案共有（種）.故答案為：題型五不平均分組、平均分組問(wèn)題例題17．某校學(xué)生會(huì)打算將甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)安排到4個(gè)不同的社團(tuán)負(fù)責(zé)組織活動(dòng)，每個(gè)社團(tuán)至少安排一名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)是.【答案】240【分析】根據(jù)組合求得5人分為4組的方法數(shù)，再根據(jù)排列求得4個(gè)不同的小組安排到4個(gè)不同的社團(tuán)的方法數(shù)，可得答案.【解析】先將甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)分為4組，共有種，再安排到4個(gè)不同的社團(tuán)負(fù)責(zé)組織活動(dòng)，共有種不同的安排方法.故答案為：240.鞏固訓(xùn)練18．某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收2名同學(xué).若同學(xué)A確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.【答案】30【分析】分只有同學(xué)A到甲學(xué)校、除同學(xué)A外還有一名同學(xué)去甲學(xué)校兩種情況即可.【解析】若只有同學(xué)A到甲學(xué)校，則有種可能，若除同學(xué)A外還有一名同學(xué)去甲學(xué)校，則有種可能，故共有種可能.故答案為：30.19．甲、乙等6位同學(xué)去三個(gè)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，每個(gè)社區(qū)安排2位同學(xué)，每位同學(xué)只去一個(gè)社區(qū)，則甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有.【答案】18【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理并利用平均分組后再分配的計(jì)算方法求解可得.【解析】根據(jù)題意，安排6位同學(xué)到社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)可分成兩步：第一步，將6位同學(xué)分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學(xué)平均分組，則有種分組方法；第二步，將分好的3組全排列，安排到三個(gè)不同的社區(qū)，有種情況；則由分步計(jì)數(shù)原理可得，甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有種不同的安排方法.故答案為：18.20．隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)的普及，我國(guó)已成功舉辦多次全民馬拉松賽事．現(xiàn)某城市舉辦全民馬拉松比賽，第一處供給點(diǎn)需要三組工作人員，其中有3名醫(yī)生和6名社會(huì)志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者組成．根據(jù)需要，志愿者甲與乙要分配在同一組，則這9名工作人員分組方法種數(shù)為．【答案】18【分析】先分配志愿者，再分配醫(yī)生，應(yīng)用分步乘法原理結(jié)合組合數(shù)排列數(shù)計(jì)算即可.【解析】志愿者分組情況有（種），搭配3名醫(yī)生有（種）．故答案為：.題型六染色問(wèn)題例題21．如圖，現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)4個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法．（用數(shù)字作答）

【答案】48【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【解析】按照分步計(jì)數(shù)原理，第1塊有4種方法，第2塊有3種方法，第3塊有2種，第4塊有2種方法，所以共有種涂色方法.故答案為：48鞏固訓(xùn)練22．如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對(duì)這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

【答案】1200960【分析】直接由分類、分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【解析】第一空：若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有種不同的涂色方法.第二空：因?yàn)閰^(qū)域D不能涂甲油漆，所以區(qū)域D的涂色方法有4種.若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有種不同的涂色方法.故答案為：1200，960.23．用5種不同的顏色對(duì)一個(gè)四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)著色，若由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理求解即可，即先依次給點(diǎn)P，A，B涂色，再分C與A顏色相同和C與A顏色不相同，給C，D涂色即可.【解析】設(shè)四棱錐為，則由題意，點(diǎn)P，A，B分別有5，4，3種涂法，當(dāng)C與A顏色相同時(shí)，C有1種涂色方法，此時(shí)D有3種涂色方法，當(dāng)C與A顏色不相同時(shí)，C有2種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法，故此時(shí)共有種涂色方法，故答案為：題型七排數(shù)問(wèn)題例題24．由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個(gè).【答案】120【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【解析】要得到一個(gè)這樣的數(shù)，可以分為3個(gè)步驟：第一步，從1、2、3、4、5、6中任選一個(gè)放在首位，有6種方法；第二步，從余下5個(gè)數(shù)中任選一個(gè)放在萬(wàn)位，有5種方法；第三步，從余下4個(gè)數(shù)中任選一個(gè)放在千位，有4種方法；而其余數(shù)字定序，從小到大依次排在個(gè)、十、百位.故由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，這樣的六位數(shù)共有個(gè).故答案為：120.鞏固訓(xùn)練25．人們習(xí)慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位“吉祥數(shù)”（首位不能是0）共有個(gè)．【答案】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【解析】先排千位，有8種選擇，再排百位，有8種選擇，最后排十位，有7種選擇，故共有，故答案為：26．用，，，，，組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是（用數(shù)字作答）．【答案】40【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)，先考慮任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，再考慮1和2相鄰，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解析】任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，可分三步來(lái)做這件事：第一步：先將3、5排列，共有種排法；第二步：再將4、6插空排列，共有種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有（種）．故答案為：4027．如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).【答案】40【分析】討論首位分別為1、2、3、4、5，再依次安排中間位置上的數(shù)字，并求出對(duì)應(yīng)凹數(shù)的個(gè)數(shù)，最后加總即可.【解析】當(dāng)首位為1，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為2，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為3，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為4，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為5，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；綜上，共有40個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).故答案為：40題型八計(jì)數(shù)原理在古典概率中的應(yīng)用例題28．某校舉辦校運(yùn)動(dòng)會(huì)，需從某班級(jí)3名男同學(xué)4名女同學(xué)中選出3名志愿者，選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為.【答案】【分析】根據(jù)題意先求出7人中選3人共有種方法，選出的3人中男女同學(xué)都有，則分1男2女，2男1女，求出符合要求的方法數(shù)，進(jìn)而求出答案.【解析】根據(jù)題意,7人中選3人共有種方法，若選出的3人中男女同學(xué)都有，則選出為1男2女或2男1女，若選出1男2女，方法數(shù)為；若選出2男1女，方法數(shù)為；所以選出的3人中男女同學(xué)都有的方法數(shù)共有種所以選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為.故答案為：.鞏固訓(xùn)練29．端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.一盤中放有10個(gè)外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個(gè)，肉粽3個(gè)，白米粽4個(gè)，現(xiàn)從盤子任意取出3個(gè)，取到豆沙粽，肉粽，白米粽各一個(gè)的概率為.【答案】/0.3【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【解析】記“取到豆沙粽，肉粽，白米粽各一個(gè)”為事件A，所以.故答案為：.30．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名志愿者將分別安排到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)，則甲、乙兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意，先將4人分為三組，再計(jì)算得出甲乙在同一個(gè)場(chǎng)地的情況，利用古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【解析】根據(jù)題意，先將4人分為三組，共有種分法，在將三組分段三個(gè)不同的場(chǎng)地，共有種分法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的情況，又由甲乙兩名志愿者在同一場(chǎng)地服務(wù)，共有種情況，則甲乙兩面志愿者在同一場(chǎng)地服務(wù)的概率為.故答案為：題型九二項(xiàng)式定理例題31．若的展開式中的系數(shù)為160，則．【答案】2【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解析】設(shè)的展開式中含是第項(xiàng)，則，由，由.故答案為：2鞏固訓(xùn)練32．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為【答案】【分析】先求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0即可求解.【解析】由題得二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，令，所以二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.33．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【解析】由于的展開式通項(xiàng)為，故的展開式中，含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，故答案為：34．已知的二項(xiàng)式展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則展開式中第3項(xiàng)為．【答案】135x【分析】賦值法得，再由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)可得答案.【解析】令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為，由已知得，所以，所以二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以．故答案為：．35．在的展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)的和為0，則該展開式的系數(shù)為．【答案】【分析】依題意利用賦值法令，可求得，再利用二項(xiàng)展開式即可求得系數(shù).【解析】由各項(xiàng)系數(shù)的和為0可知，令，即，解得；因此的展開式中含有的項(xiàng)為.故答案為：36．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的系數(shù)最大，則等于．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可確定的值.【解析】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以第4項(xiàng)的系數(shù)即是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以.故答案為：637．如圖所示的梯形數(shù)陣中，第行第個(gè)數(shù)的值為

【答案】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)第行每一個(gè)數(shù)提取系數(shù)，進(jìn)而利用楊輝三角的性質(zhì)即可得解.【解析】觀察、歸納梯形數(shù)陣規(guī)律，第一行每一個(gè)數(shù)提取系數(shù)，第二行每一個(gè)數(shù)提取系數(shù)，，第行每一個(gè)數(shù)提取系數(shù).提取系數(shù)之后，各數(shù)的分子均為，分母恰好成二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角分布，所以可求得第行第個(gè)數(shù)的值為.故答案為：.題型十賦值法解二項(xiàng)式定理問(wèn)題例題38．設(shè)，則．【答案】【分析】應(yīng)用賦值法求所有項(xiàng)系數(shù)之和.【解析】令，則.故答案為：16鞏固訓(xùn)練39．若，則.【答案】2【分析】分別令，利用賦值法求解即可.【解析】由令，則