第六章計數(shù)原理知識歸納與題型突破（十一類題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.常用結(jié)論：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.二、排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列組合作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Peq\o\al(m,n)表示.(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Peq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1)1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏.2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復或遺漏.三、二項式定理1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞增的當k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞減的二項式系數(shù)最大值當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值3.各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.常用結(jié)論：(a＋b)n的展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).0303題型歸納題型一乘法原理與加法原理例題1．甲乙兩地隔江相望，現(xiàn)今連接兩岸的有4座大橋、3條公路隧道、1條觀光隧道和2條擺渡航線，那么，兩岸市民過江有種走法．鞏固訓練2．某學生有語文書5本、數(shù)學書4本、英語書3本，現(xiàn)各選1本送給同學，有種不同的送法．3．設有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，從中任選一幅畫布置房間，有種不同的選法．4．有3位高三學生參加4所重點院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為.題型二捆綁法、插空法例題5．有7個同學要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法．鞏固訓練6．行知中學高二有6名數(shù)學老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數(shù)為.7．7個人站成一排，若甲和乙不能相鄰排列，則不同的排法有種．8．名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法共有種．題型三特殊元素法例題9．在7名運動員中選4名組成接力隊，參加接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共有種．鞏固訓練10．從10名數(shù)學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為．11．為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪.期間工作的任務有四項，每項任務至少一人參加，每個人只參加一項任務，但兩名女記者不參加A任務，則不同的安排方案數(shù)共有.12．某校為加強學生的美感教育，開設了音樂、美術(shù)、舞蹈、戲曲四門選修課程．甲、乙兩位同學各自準備從中選擇兩門進行學習，且甲不會選擇舞蹈課程，則甲、乙兩位同學選擇的兩門課程中僅有一門相同的情況共有種．題型四間接法、隔板法例題13．根據(jù)學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數(shù)字作答）鞏固訓練14．百色起義紀念館、紅軍長征突破湘江烈士紀念碑園、紅軍長征湘江戰(zhàn)役紀念館、東蘭紅色旅游區(qū)是廣西著名的紅色旅游景點，某旅游博主準備分4次分別去這4個景點旅游，則百色起義紀念館不在最后1次去的方法總數(shù)為．（用數(shù)字作答）15．將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數(shù)為.16．學校將個三好學生名額分配給個班，每個班至少一個名額，則分配方案共有種.題型五不平均分組、平均分組問題例題17．某校學生會打算將甲?乙?丙?丁?戊這5名同學安排到4個不同的社團負責組織活動，每個社團至少安排一名同學，則不同的安排方法種數(shù)是.鞏固訓練18．某大學5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習，每名同學只能到1所學校，每所學校至多接收2名同學.若同學A確定到甲學校，則不同的安排方法共有種.19．甲、乙等6位同學去三個社區(qū)參加義務勞動，每個社區(qū)安排2位同學，每位同學只去一個社區(qū)，則甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有.20．隨著馬拉松運動的普及，我國已成功舉辦多次全民馬拉松賽事．現(xiàn)某城市舉辦全民馬拉松比賽，第一處供給點需要三組工作人員，其中有3名醫(yī)生和6名社會志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者組成．根據(jù)需要，志愿者甲與乙要分配在同一組，則這9名工作人員分組方法種數(shù)為．題型六染色問題例題21．如圖，現(xiàn)要用4種不同的顏色對4個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法．（用數(shù)字作答）

鞏固訓練22．如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

23．用5種不同的顏色對一個四棱錐各個頂點著色，若由同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有.（用數(shù)字作答）題型七排數(shù)問題例題24．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個.鞏固訓練25．人們習慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無重復數(shù)字的四位“吉祥數(shù)”（首位不能是0）共有個．26．用，，，，，組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）．27．如果一個三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個無重復數(shù)字的凹數(shù).題型八計數(shù)原理在古典概率中的應用例題28．某校舉辦校運動會，需從某班級3名男同學4名女同學中選出3名志愿者，選出的3人中男女同學都有的概率為.鞏固訓練29．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.一盤中放有10個外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個，肉粽3個，白米粽4個，現(xiàn)從盤子任意取出3個，取到豆沙粽，肉粽，白米粽各一個的概率為.30．第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名志愿者將分別安排到游泳、射擊、體操三個場地進行志愿服務，每個場地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一個場地服務，則甲、乙兩名志愿者在同一個場地服務的概率為．題型九二項式定理例題若的展開式中的系數(shù)為160，則．鞏固訓練32．二項式的展開式中，常數(shù)項為33．的展開式中，項的系數(shù)為.34．已知的二項式展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64，則展開式中第3項為．35．在的展開式中，若各項系數(shù)的和為0，則該展開式的系數(shù)為．36．在的展開式中，只有第4項的系數(shù)最大，則等于．37．如圖所示的梯形數(shù)陣中，第行第個數(shù)的值為

題型十賦值法解二項式定理問題例題38．設，則．鞏固訓練39．若，則.40．設，若，則．41．已知，則．題型十一計數(shù)原理有關(guān)公式計算、單選題辨析例題42．計算的值為（

）A．2048 B．1024