第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(春季講義)(人教A版2019選擇性)(原卷版)_第1頁
第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(春季講義)(人教A版2019選擇性)(原卷版)_第2頁
第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(春季講義)(人教A版2019選擇性)(原卷版)_第3頁
第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(春季講義)(人教A版2019選擇性)(原卷版)_第4頁
第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(春季講義)(人教A版2019選擇性)(原卷版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩9頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

第06講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【人教A版2019】模塊一模塊一分類與分步1.分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣:完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種種不同的方法,,在第n類方案中有mn種種不同的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分類加法計數(shù)原理的特點

分類加法計數(shù)原理又稱分類計數(shù)原理或加法原理,其特點是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情,我們可以用第一類有m1種方法,第二類有m2種方法,,第n類有mn種方法,來表示分類加法計數(shù)原理,即強調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事,因此一共有種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計數(shù)時,首先要根據(jù)問題的特點,確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),然后利用這個分類標(biāo)準(zhǔn)進行分類,分類時要注意兩個基本原則:一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類;二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法,只要滿足這兩個基本原則,就可以確保計數(shù)時不重不漏.2.分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分步乘法計數(shù)原理的特點

分步乘法計數(shù)原理的特點是在所有的各步之中,每一步都要使用一種方法才能完成要做的事,可以利用圖形來表示分步乘法計數(shù)原理,圖中的“”強調(diào)要依次完成各個步驟才能完成要做的事情,從而共有種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事,怎樣才能完成這件事,也就是說,弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事;

②完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少任何一步,這件事就不可能完成;不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這n個步驟逐步去做,才能完成這件事,各個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果,而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果,具體區(qū)別如下表:區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇分類→將問題分為互相排斥的幾類,逐類解決→分類加法計數(shù)原理;分步→將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟,逐步解決→分步乘法計數(shù)原理.在解決有關(guān)計數(shù)問題時,應(yīng)注意合理分類,準(zhǔn)確分步,同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【題型1分類加法計數(shù)原理及應(yīng)用】【例1.1】(2324高二上·遼寧撫順·階段練習(xí))書架上有10本不同的自然科學(xué)圖書和9本不同的社會科學(xué)圖書,甲同學(xué)想從中選出1本閱讀,則不同的選法共有(

)A.9種 B.10種 C.19種 D.90種【例1.2】(2324高二下·江蘇宿遷·期中)某女生有3件不同顏色的襯衣,4件不同花樣的裙子,另有3套不同樣式的連衣裙,“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有(

)A.24種 B.10種 C.9種 D.15種【變式1.1】(2324高二下·陜西西安·期末)書架的第1層放有3本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書,不同的取法種數(shù)為(

)A.3 B.8 C.12 D.18【變式1.2】(2425高二上·全國·課后作業(yè))根據(jù)歷史記載,早在春秋戰(zhàn)國時期,我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù).算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字,如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù),個位用縱式,十位用橫式,則個位和十位上的算籌不一樣多的兩位數(shù)有(

)1

2

3

4

5

6

7

8

9表示如下縱式:橫式:A.81個 B.64個 C.18個 D.17個【題型2分步乘法計數(shù)原理及應(yīng)用】【例2.1】(2324高二下·河北·階段練習(xí))從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué),每人一本,不同的選法種數(shù)是(

)A.37 B.73 C.21【例2.2】(2324高二下·陜西西安·期中)5名同學(xué)分別從4個景點中選擇一處游覽,不同選法的種數(shù)為(

)A.9 B.20 C.54 D.【變式2.1】(2425高三上·江蘇徐州·開學(xué)考試)甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩,其中甲去過北京,所以甲不去北京,則不同的選法有(

)A.18種 B.48種 C.108種 D.192種【變式2.2】(2324高二下·江蘇揚州·期中)學(xué)校為豐富高中生的課外生活,開設(shè)了興趣小組,有3名學(xué)生想要報名書法、繪畫、籃球、羽毛球興趣小組,每人限報1項、則不同的報名方式種數(shù)有(

)A.34 B.36 C.24 D.模塊二模塊二兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.兩類計數(shù)問題的求解思路:(1)“類中有步”計數(shù)問題:完成一件事有幾類方案,每一類方案中分若干步,利用分步乘法計數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù),再利用分類加法計數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加,即可得出結(jié)果.(2)“步中有類”計數(shù)問題:完成一件事的過程分成若干步,完成每一步的方法分成若干類,利用分類加法計數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘,即可得出結(jié)果.2.特元特位問題(特殊優(yōu)先原則)(1)排列時,某個(或某些)元素一定在(或一定不在)某個(或某些)位置.(2)基本原則:特殊元素(特殊位置)優(yōu)先.(3)解題思路①以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;②以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置;③先不考慮附加條件,正難則反.3.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用主要包括五個方面:(1)實際問題中的計數(shù)問題;(2)代數(shù)中的計數(shù)問題;(3)幾何計數(shù)問題;(4)數(shù)字排列問題;(5)涂色問題.【題型3特元特位問題】【例3.1】(2324高二下·浙江·期中)定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”,比如116,431,則所有幸運數(shù)的個數(shù)為(

)A.18 B.21 C.35 D.36【例3.2】(2425高三上·重慶·階段練習(xí))如圖,無人機光影秀中,有8架無人機排列成如圖所示,每架無人機均可以發(fā)出4種不同顏色的光,1至5號的無人機顏色必須相同,6、7號無人機顏色必須相同,8號無人機與其他無人機顏色均不相同,則這8架無人機同時發(fā)光時,一共可以有(

)種燈光組合.A.48 B.12 C.18 D.36【變式3.1】(2324高二下·新疆克拉瑪依·期中)在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(

)個A.44 B.45 C.54 D.55【變式3.2】(2324高二下·山東青島·期中)在如圖所示的九宮格中填入數(shù)字和字母,已知三個字母:a,b,c都填到九宮格中且不能在同一行同一列,其他每格只能從數(shù)字1,2,3中選擇一個填入,有公共邊的兩個格數(shù)字不相同,則不同的填法種數(shù)為(

)A.5230 B.3619 C.4758 D.5184【題型4代數(shù)中的計數(shù)問題】【例4.1】(2324高二下·廣東廣州·期末)2025有(

)個不同的正因數(shù).A.8 B.10 C.12 D.15【例4.2】(2024·陜西西安·三模)方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為(

)A.40 B.28 C.22 D.12【變式4.1】(2425高二·全國·單元測試)如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6,那么稱a為“好數(shù)”(如:6,24,2013等均為“好數(shù)”),將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2013,則n=(

)A.50 B.51 C.52 D.53【變式4.2】(2324高二下·重慶·期末)“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種,既可順讀,也可倒讀.比如,一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián):霧鎖山頭山鎖霧,天連水尾水連天,由此定義“回文數(shù)”,n為自然數(shù),且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n′與n相等,這樣的n稱為“回文數(shù)”,如:1221,2413142.則所有6位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有(

A.900個 B.891個 C.810個 D.648個【題型5幾何計數(shù)問題】【例5.1】(2024高二·全國·專題練習(xí))從正十五邊形的頂點中選出3個構(gòu)成鈍角三角形,則不同的選法有(

)A.105種 B.225種 C.315種 D.420種【例5.2】(2425高二上·湖北黃石·期末)過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線,在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為(

)A.18 B.30 C.36 D.54【變式5.1】(2324高二下·江蘇揚州·期中)已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{?2,?1,0,1,2}中的3個不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,那么,這樣的直線的條數(shù)是.【變式5.2】(2006·上海·高考真題)如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”,在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是.【題型6數(shù)字排列問題】【例6.1】(2324高二下·河南洛陽·期中)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)共有(

)A.48個 B.24個 C.18個 D.12個【例6.2】(2024高三·全國·專題練習(xí))用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中比4000大的偶數(shù)共有()A.48個 B.56個C.60個 D.72個【變式6.1】(2425高三·上海·課堂例題)用0、1、2、3、…、9十個數(shù)字可組成多少個不同的:(1)三位數(shù);(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);(3)小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù).【變式6.2】(2324高二下·四川眉山·期中)已知0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字.(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)?(3)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的小于1000的自然數(shù)?(4)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)?【題型7涂色問題】【例7.1】(2324高二下·安徽池州·期中)如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同,則不同的涂色方案種數(shù)為(

A.120 B.26C.340 D.420【例7.2】(2324高二下·湖北黃岡·期中)某市的5個區(qū)縣A,B,C,D,E地理位置如圖所示,給這五個區(qū)域染色,每個區(qū)域只染一種顏色,且相鄰的區(qū)域不同色.若有四種顏色可供選擇,則不同的染色方案共有(

)A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【變式7.1】(2324高二下·湖南衡陽·期中)如圖,已知四棱錐S?ABCD.(1)從5種顏色中選出3種顏色,涂在四棱錐S?ABCD的5個頂點上,每個頂點涂1種顏色,并使同一條棱上的2個頂點異色,求不同的涂色方法數(shù);(2)從5種顏色中選出4種顏色,涂在四棱錐S?ABCD的5個頂點上,每個頂點涂1種顏色,并使同一條棱上的2個頂點異色,求不同的涂色方法數(shù).【變式7.2】(2425高二·湖北荊州·課后作業(yè))用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色,如圖,要求在①,②,③,④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色.(1)若n=6,為甲著色時共有多少種不同的方法?(2)若為乙著色時共有120種不同的方法,求n的值.【題型8兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例8.1】(2324高二下·陜西西安·階段練習(xí))個袋子里裝有10張不同的中國移動卡,另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通卡.(1)某人要從兩個袋子中任取一張供自己使用的卡,共有多少種不同的取法?(2)某人是雙卡雙待機,想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己今后使用,問一共有多少種不同的取法?【例8.2】(2324高二下·江蘇連云港·階段練習(xí))從0,1,2,3,4五個數(shù)字中選出3個數(shù)字組成一個三位數(shù).(1)可以組成多少個三位數(shù)?(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(3)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)?【變式8.1】(2324高二下·山東菏澤·階段練習(xí))高二(1)班、(48)班、(62)班分別有7,5,9人參加創(chuàng)新技能大賽筆試.(1)如果選一人當(dāng)組長,那么有多少種不同的選法?(2)如果老師任組長,每班選一名副組長,那么有多少種不同的選法?(3)如果推選兩名學(xué)生參賽,要求這兩人來自不同的班級,那么有多少種不同的選法?【變式8.2】(2324高二下·吉林延邊·階段練習(xí))現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組,其中一、二、三、四組分別有3人、4人、5人、6人.(1)選1人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法?(2)每組選1名組長,有多少種不同的選法?(3)推選2人發(fā)言,這2人需來自不同的小組,有多少種不同的選法?一、單選題1.(2425高二下·全國·課后作業(yè))編號為1,2,3,4的四位同學(xué)參觀某博物館,該博物館共有編號為1,2,3,4的四個門,若規(guī)定編號為1,2,3,4的四位同學(xué)進入博物館不能走與自己編號相同的門,則四位同學(xué)用不同的方式進入博物館的方法種數(shù)為(

)A.12 B.16 C.81 D.2562.(2425高二上·江西·階段練習(xí))某大學(xué)開設(shè)籃球、足球等5門球類選修課,要求每個學(xué)生都必須選擇其中的一門課程.現(xiàn)有小明、小強、小豆3位同學(xué)進行選課,其中小明不選籃球和足球,則不同的選課方法共有(

)A.36種 B.60種C.75種 D.85種3.(2324高二下·廣東中山·期末)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為(

)A.76 B.38 C.36 D.304.(2425高二下·全國·課后作業(yè))某農(nóng)學(xué)院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中,選5種品種種植在如圖所示五塊實驗田中,要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中,其他三塊實驗田選種水稻品種,則不同種法有(

)12345A.30240種 B.60480種 C.120960 D.241920種5.(2324高二下·廣東肇慶·階段練習(xí))如圖,現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色,要求任意兩個相鄰區(qū)域不同色,有多少種不同涂色方法(

)13425A.120 B.72 C.288 D.1446.(2324高二下·河南商丘·期中)數(shù)學(xué)中“凸數(shù)”是一個位數(shù)不低于3的奇位數(shù),是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù),則沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為(

)A.147 B.112 C.65 D.507.(2324高二下·河北張家口·期末)求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時可將其改寫成若干個質(zhì)數(shù)的乘積,例如12=31×22,12的正整數(shù)因數(shù)只需分別從3A.8 B.10 C.15 D.168.(2324高二下·海南儋州·期中)為了紀(jì)念我國成功舉辦北京冬奧會,中國郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會成功紀(jì)念》郵票,圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”,現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚,要求取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票,則不同的取法種數(shù)為(

)A.4 B.8 C.16 D.18二、多選題9.(2425高三·上海·隨堂練習(xí))有4名同學(xué)報名參加三個不同的社團,則下列說法中正確的是(

).A.每名同學(xué)限報其中一個社團,則不同的報名方法共有34B.每名同學(xué)限報其中一個社團,則不同的報名方法共有43C.每個社團限報一個人,則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人,則不同的報名方法共有3310.(2324高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí))用n種不同的顏色給如圖所示的四塊區(qū)域A,B,C,D涂色,要求相鄰域涂不同顏色,不同的涂色方法的總數(shù)記作sn,則(

A.s3=6 B.s4=36 C.11.(2324高二下·廣東東莞·階段練習(xí))某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實施分段優(yōu)惠政策,不超過9站的地鐵票價如下表:現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過9站,且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同,則下列結(jié)論正確的是(

)站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價/元234A.若小明、小華兩人共花費5元,則小明、小華下地鐵的方案共有9種B.若小明、小華兩人共花費5元,則小明、小華下地鐵的方案共有18種C.若小明、小華兩人共花費

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論