第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江西省高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知隨機變量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，則P(40<X<80)=A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.792.若隨機變量X～B(3,0.6)，則D(X)=(

)A.0.4 B.0.6 C.0.72 D.1.83.如圖，在四面體OABC中，D為BC的中點，3AG=2AD，且P為OG的中點，則OP=A.16OA+16OB+164.直線x30+y40=1與圓A.0 B.1 C.2 D.無法判斷5.已知雙曲線C過點(3,6)，且與雙曲線x23?y2=1A.x299?y233=1 B.6.二項式(2+A.4 B.3 C.2 D.17.已知圓C1：(x?1)2+(y?1)2A.5 B.16 C.32 D.368.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，空間中一動點P滿足μ(A.(34,1] B.[22二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量AC=(2,0,?1)，CB=(0,1,1)，則(

)A.|AC|=5

B.CB同方向上的單位向量的坐標為(0,22,22)10.記S=(1x5?A.若S的展開式中存在常數項，則n是7的倍數

B.若S的展開式中存在常數項，則n是6的倍數

C.若n是奇數，則第n+12項一定是S的展開式中系數最大的項

D.若n是偶數，則第n2+111.已知某高校開展一項課外研學活動，參與活動并提交研學論文可以獲得學分，且該高校對論文的評定分為兩個等級：合格，不合格.評定為合格可以獲得0.2學分，評定為不合格不能獲得學分.若評定為不合格，則下一次評定為合格的概率為45，若評定為合格，則下一次評定為合格的概率為35.已知包括小明與小剛在內共n+1(n>2)名同學均參加了3次研學活動，且每次研學活動結束后，這n+1名同學排隊依次提交研學論文，則A.若小明第一次評定為不合格，則小明最終獲得0.4學分的概率為1225

B.若小剛第一次評定為合格，則小剛第三次評定為合格的概率為1725

C.若在某一次研學活動中，小明和小剛既不是最先也不是最后提交研學論文，則有(n?2)?(n?1)!種提交順序

三、填空題：本題共3小題，共20分。12.已知直線l1：ax?y?2025=0，l2：(3a?2)x+ay+1=0(a≠0)滿足l1⊥l213.根據下表數據得到y關于x的線性回歸方程y=2.2x?a，則ax1234y145814.現將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則共有______種不同的放法；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，則共有______種不同的放法．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知點A(1,y0)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，F為C的焦點，且|AF|=2．

(1)求C的準線方程；

(2)若點A位于第一象限，求C在點16.(本小題12分)

現有一質地均勻的正方體骰子(六個面分別標著數字1～6)，連續投擲兩次，記m，n分別為第一次、第二次投擲后朝上的點數，設離散型隨機變量X=|m?n|．

(1)求P(X=0)和P(X=1)的值；

(2)求X的分布列和數學期望．17.(本小題12分)

如圖，三棱錐P?ABC的棱BC上存在一點D，使得平面PAD⊥底面ABC，點E在棱AD上，且PE⊥AD，PD⊥平面PAB．

(1)證明：AB⊥平面PAD；

(2)若AB=AD=2，AP=PD，BD=2CD，求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值．18.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(?1,0)，過F且斜率不為0的直線l交E于A，B兩點，過點A，B分別作l的垂線，交E于M，N兩點.當l的斜率不存在時，四邊形AMNB的面積為6．

(1)求E的方程；

19.(本小題12分)

對于樣本空間中的隨機事件A和隨機事件B，定義：S=P(B|A)P(B?|A)表示在事件A發生的條件下事件B的發生強度，Z=P(B|A?)P(患有肥胖癥不患有肥胖癥合計經常喝16不經常喝1852合計100(1)完善上述列聯表并判斷是否有99.5%的把握認為該地區上班族患有肥胖癥與經常喝“肥宅快樂水”之間有關聯；

(2)證明SZ=P(A|B)P(A?|B)?P(A?|B?)P(A|BP(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828

參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.B

7.C

8.B

9.BD

10.AD

11.ABD

12.1

13.1

14.1728

3840

15.解：(1)已知點A(1,y0)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，F為C的焦點，

又|AF|=2．

則|AF|=1+p2=2，

所以p=2，

可得C：y2=4x，

所以C的準線方程為x=?1．

(2)因為點A(1,y0)在拋物線C上，

所以y02=4，

又A(1,y0)位于第一象限，

所以y0=2，

所以A(1,2)，

過點A的直線l與C相切，

若直線l斜率不存在，不符合題意；

設直線l：y?2=k(x?1)，

聯立y?2=k(x?1)y2=4x，

得ky2?4y+8?4k=0，

當k≠0時，Δ=16?4k(8?4k)=0，

即k16.解：(1)因為離散型隨機變量X=|m?n|，

所以X表示連續兩次投擲得到的點數中大的點數與小的點數的差，

連續投擲兩次骰子，得到的點數共有36種可能，

其中得到的點數中點數之差為0的可能情況有：

(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6種情況，

故P(X=0)=636=16，

其中得到的點數中大的點數與小的點數的差為1的可能情況有：

(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，有10種情況，

故P(X=1)=1036=518；

(2)由題意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，

X=2的情況有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，共8種情況，

X=3的情況有：(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,1)，(5,2)，(6,3)，共6種情況，

X=4的情況有：(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4種情況，

X=5的情況有：(1,6)，(6,1)，共2種情況，

X012345P152111故E(X)=0×1617.解：(1)證明：因為平面PAD⊥底面ABC，平面PAD∩平面ABC=AD，PE⊥AD，PE?平面PAD，

所以PE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以AB⊥PE．

又因為PD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥PD．

又PE∩PD=P，PE，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．

(2)由(1)知，AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥AD，

以點A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸，過點A垂直底面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空直角坐標系．

因為PD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AP⊥PD．

又AP=PD，所以AD2=AP2+PD2=2AP2=4，得AP=2．

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(?1,3,0)，P(0,1,1)，

故DP=(0,?1,1),AP=(0,1,1),AC=(?1,3,0)，

由題可得，平面PAB的一個法向量為DP=(0,?1,1)．

設平面PAC的一個法向量為n=(a,b,c)，則AP⊥n,AC⊥n，

所以AP?n=b+c=0AC18.解：(1)因為橢圓E的左焦點為F(?1,0)，

所以c=1，

此時a2?b2=c2=1，①

當l的斜率不存在時，

將x=?1代入橢圓方程中，

解得y=±b2a，

即A(?1,b2a),B(?1,?b2a)，

所以|AB|=2b2a，

因為四邊形AMNB為矩形，

所以矩形AMNB的面積S=2×2b2a=6，②

聯立①②，

解得a=2，b=3，

則橢圓E的方程為x24+y23=1；

(2)設A(x1,y1)，

因為點A在橢圓E上，且l的斜率不為0，

所以x1∈(?2,2)且x124+y123=1，

所以y12=3?34x12，

則|AF|=(x1+1)2+y12=(x1+1)2+3?34x12=x1+42，

因為x1∈(?2,2)，

所以|AF|∈(1,3)；

(3)證明：設B(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，且x1，x2∈(?2,2)，x3，x4∈[?2,2]

所以xi+4>0且4yi2?12=?3xi2,i=1,2,3,4．

由(2)得|AF|=x1+4219.解：(1)完善2×2列聯表如下：患有肥胖癥不患有肥胖癥合計經常喝163248