北師大版九年級上冊數學期末試卷一．選擇題1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則下列關系式錯誤的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝2．一個不透明的布袋里裝有2個紅球，2個白球，它們除顏色外其余都相同．從袋中任意摸出2個球，恰好是1個紅球1個白球的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．64．將拋物線y＝2x2向左移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到如圖所示的圖象，則圖中點A的坐標為（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA、CD是⊙O的切線，A、D為切點，連接BD、AD．若∠ACD＝48°，則∠DBA的大小是（）A．32° B．48° C．60° D．66°6．已知二次函數y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：x﹣10234y50﹣4﹣30下列結論正確的是（）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．當0≤x≤4時，y≥0 D．若A（x1，2），B（x2，3）是拋物線上兩點，則x1＜x27．如圖，⊙A過點O（0，0），C（，0），D（0，1），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數是（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）A． B． C． D．9．如圖，A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB＝60°，設OP＝x，則△PAB的面積y關于x的函數圖象大致是（）A．B． C．D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以點B為圓心，AB為半徑畫弧，交AC于點D，交BC于點E，連接BD，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．二．填空題11．如圖拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④當y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3；⑤當x＜0時，y隨x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c＝2有兩個不等的實數根，其中結論正確的結論的序號是．12．拋物線y＝﹣3x2+6x+2的對稱軸為直線：．13．在一個不透明的口袋中裝有5個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球實驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.25附近，則估計口袋中大約共有個球．14．如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，若∠ADB＝20°，則這個正多邊形的邊數為．15．已知⊙O的半徑是4cm．（1）若OP＝2cm，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為，最長距離為．（2）若OP＝6cm，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為，最長距離為．（3）若P到圓上各點的距離中，最短距離為3cm，則最長距離為．16．如圖，某公園入口原有一段臺階，其傾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜坡BC的坡度i＝1：5，則AC的長度是．17．如圖，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，噴出水流的運動路線是拋物線，如果水流的最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為2m，且到地面的距離為3m，則水流的落地點C到水槍底部B的距離為．18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足＝，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．給出下列結論：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正確的是（寫出所有正確結論的序號）．三．解答題19．已知等腰三角形ABC，如圖．（1）用直尺和圓規作△ABC的外接圓；（2）設△ABC的外接圓的圓心為O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度數．20．心相鄰超市試銷一種新型節能燈，每盞節能燈進價為18元，試銷過程中發現，每周銷量y（盞）與銷售單價x（元）之間關系可以近似地看作一次函數y＝﹣2x+100．（1）寫出每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間函數解析式；（2）當銷售單價定為多少元時，這種節能燈每周能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少元？21．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB為⊙O直徑，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于點E，交⊙O于點D，連接BD．（1）求證：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的長（結果保留π）．22．某中學依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長線交校門處的水平面于點D，求DC的長．23．如圖，在△ACD的外接圓中，弦AB平分∠DAC，AC＝AD，過點B作圓的切線BE，交AD的延長線于點E．（1）求證：CD∥BE；（2）已知，AC＝5，sin∠CAB＝，求BE的長．24．疫情期間，游海中學進行了一次線上數學學情調查，九（1）班數學李老師對成績進行分析，制作如下的頻數分布表和頻數分布直方圖．60到70之間學生成績尚未統計，根據情況畫出的扇形圖如圖．請解答下列問題：類別分數段頻數（人數）A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9024D90≤x＜1006（1）完成頻數分布表，a＝，B類圓心角＝°，并補全頻數分布直方圖；（2）全校九年級共有720名學生全部參加此次測試，估計該校成績80≤x＜100范圍內的學生有多少人？（3）九（1）班數學老師準備從D類優生的6人中隨機抽取兩人進行線上學習經驗交流，已知這6人中有兩名是無家長管理的留守學生，求恰好只選中其中一名留守學生進行經驗交流的概率．25．如圖，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，點A的坐標是（﹣1，2）（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S△ABP＝S△ABO．26．如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心，經過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB＝BF．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若CF＝4，DF＝，求⊙O的半徑r及sinB．27．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點E為直線AB下方拋物線上任意一點，連接AE，BE，求△EAB面積的最大值及此時點E的坐標；（3）點D為拋物線對稱軸上的一點，當以點A，B，D為頂點的三角形為等腰三角形時，直接寫出點D的坐標．

參考答案一．選擇題1．解：A、tanA＝，則a＝btanA，選項表示正確；B、cosA＝，則b＝ccosA，選項表示正確；C、sinA＝，則a＝csinA，選項表示正確；D、cosA＝，則c＝，選項表示錯誤．因本題選錯誤的，故選：D．2．解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，同時摸兩個球恰好是1個紅球1個白球有8種情況，∴摸到的球恰好是1個紅球1個白球的概率＝＝，故選：A．3．解：過點O作OD⊥BC于D，則BC＝2BD，∵△ABC內接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半徑為4，∴BD＝OB?cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故選：B．4．解：將拋物線y＝2x2向左平移2個單位所得直線解析式為：y＝2（x+2）2；再向下平移2個單位為：y＝2（x+2）2﹣2，如圖所示，該拋物線的頂點坐標是（﹣2，﹣2），所以點A的坐標是（2，﹣1）．故選：A．5．解：∵CA、CD是⊙O的切線，∴CA＝CD，∵∠ACD＝48°，∴∠CAD＝∠CDA＝66°，∵CA⊥AB，AB是直徑，∴∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠CAD＝66°，故選：D．6．解：由表格可得，該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，故選項B正確；該拋物線的開口向上，故選項A錯誤；當0≤x≤4時，y≤0，故選項C錯誤；由二次函數圖象具有對稱性可知，若A（x1，2），B（x2，3）是拋物線上兩點，則x1＜x2或x2＜x1，故選項D錯誤；故選：B．7．解：連接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝，∴∠DCO＝30°，∴∠OBD＝30°，故選：B．8．解：過B點作BD⊥AC，如圖，由勾股定理得，AB＝＝，AD＝＝2cosA＝＝＝，故選：D．9．解：∵A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB＝60°，∴AO＝2，OP＝x，則AP＝2﹣x，∴tan60°＝＝，解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）??（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，故此函數為二次函數，∵a＝＞0，∴當x＝﹣＝2時，S取到最小值為：＝0，根據圖象得出只有D符合要求．故選：D．10．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴cosA＝＝，∴∠A＝60°，∵BA＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴S陰＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣，故選：B．二．填空題11．解：拋物線與x軸有兩個不同的交點，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合題意；拋物線過（﹣1，0），當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合題意；對稱軸為x＝1＝﹣，即2a+b＝0，因此③符合題意；由于對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點為（﹣1，0），因此與x軸的另一個交點為（3，0），由圖象可知，當y＜0時，x的取值范圍是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合題意；由于對稱軸為x＝1，開口向下，因此當x＜1時，y隨x的增大而增大，故⑤符合題意；由圖象可知，直線y＝2與拋物線有兩個不同交點，所以方程ax2+bx+c＝2有兩個不等的實數根，因此⑥符合題意；綜上所述，正確的結論有：①③⑤⑥，故答案為：①③⑤⑥．12．解：∵a＝﹣3，b＝6，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝1．故答案為：x＝1．13．解：設球個數為：x個，∵摸到紅色球的頻率穩定在0.25左右，∴口袋中得到紅色球的概率為0.25，∴，解得：x＝20，即球的個數為20個，故答案為：20．14．解：如圖，設正多邊形的外接圓為⊙O，連接OA，OB，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，而360°÷40°＝9，∴這個正多邊形為正九邊形，故答案為：九．15．解：（1）OP＝2cm，則P在圓內部，點P到圓上各點的距離中，最短距離是4﹣2＝2cm，最長距離是2+4＝6cm．故答案是：2cm，6cm；（2）OP＝6cm，則點P在圓的外部，到圓上各點的距離中，最短距離為6﹣4＝2cm，最長距離是6+4＝10cm．故答案是：2cm，10cm；（3）當P在圓內部時，最長距離是2×4﹣3＝5cm，當P在圓外時，最長距離是3+4+4＝11cm．故答案是5cm或11cm．16．解：如圖，過點B作BF⊥CE于點F，則BF＝DE＝2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE＝30°，∴AF＝＝＝2（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF＝1：5，∴CF＝5×2＝10，則AC＝CF﹣AF＝（10﹣2）m．故答案為：（10﹣2）m．17．解：如圖，以BC所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立直角坐標系，由題意知，拋物線的頂點P的坐標為（2，3）、點A（0，2），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+3，將點A（0，2）代入，得：4a+3＝2，解得：a＝﹣，則拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+3，當y＝0時，有﹣（x﹣2）2+3＝0，解得：x＝2（舍）或x＝2+2，∴BC＝（2+2）米，答：水流的落地點C到水槍底部B的距離為（2+2）m．故答案為：（2+2）m．18．解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CG＝DG，，∠AGF＝∠AGD＝90°，∴∠ADF＝∠E，又∵∠DAF＝∠EAD，∴△ADF∽△AED，∴①正確；∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝8，∵CG＝DG，∴CG＝DG＝4，∴FG＝2，∴②正確；∵AF?EF＝CF?FD，即3EF＝2×6，∴EF＝4，∴AE＝7，∵△ADF∽△AED，∴，∴AD2＝AE×AF＝7×3＝21，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴tan∠E＝tan∠ADF＝＝，∴③錯誤；作EM⊥CD于M，如圖所示：則EM∥AB，∴△EFM∽△AFG，∴，即，∴ME＝，∴S△DEF＝FD?ME＝×6×＝4，∴④正確；故答案為：①②④．三．解答題19．解：（1）（4分）（2）在優弧BC上任取一點D，連接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝116°．20．解：（1）w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，∴w與x之間的函數解析式為z＝﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，∴當x＝34時，w取得最大，最大利潤為512元．答：當銷售單價為34元時，廠商每周能獲得最大利潤，最大利潤是512元．21．（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：連接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的長＝＝π．22．解：過點B作BM⊥AD，過點E作EN⊥AD，∵i＝5：12，∴，∵AB＝13米，∴BM＝5米，AM＝12米，∴BM＝DF＝5米，設EF為x米，則BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，∴，解得x＝2+2，∴米，∴米，答：DC的長度為米．23．證明：（1）設AB與CD的交點為F，連接BD，∵AC＝AD，AB平分∠DAC，∴AB⊥CD，DF＝CF，∴AB是直徑，∵BE是△ACD的外接圓的切線，∴BE⊥AB，∴CD∥BE；（2）∵AC＝5，sin∠CAB＝＝，∴CF＝3＝DF，∴AF＝＝＝4，∵cos∠DAB＝，∴AB＝＝，∵tan∠DAB＝，∴＝，∴BE＝．24．解：（1）調查的總人數為：24÷50%＝48（人），∴a＝48﹣16﹣24﹣6＝2，B類圓心角的度數為360°×＝120°，故答案為2，120；補全頻數分布直方圖為：（2）720×＝450（人），所以估計該校成績80≤x＜100范圍內的學生有450人；（3）把D類優生的6人分別即為1、2、3、4、5、6，其中1、2為留守學生，畫樹狀圖如圖：共有30個等可能的結果，恰好只選中其中一名留守學生進行經驗交流的結果有16個，∴恰好只選中其中一名留守學生進行經驗交流的概率為＝．25．解：（1）過點A作AF⊥x軸，垂足為點F，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則AF＝2，OF＝1．∵OA⊥OB，∴∠AOF+∠BOE＝90度．又∵∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOF＝∠OBE，∴Rt△AFO∽Rt△OEB，∴，∴BE＝2，OE＝4，∴B（4，2）．（2）設過點A（﹣1，2），B（4，2），O（0，0）的拋物線為y＝ax2+bx+c．∴解之，得，∴所求拋物線的表達式為y＝x2﹣x．（3）由題意，知AB∥x軸．設拋物線上符合條件的點P到AB的距離為d，則S△ABP＝AB?d＝AB?AF＝5．∴d＝2．∴點P的縱坐標只能是0，或4．令y＝0，得y＝x2﹣x＝0．解之，得x＝0，或x＝3．∴符合條件的點P1（0，0），P2（3，0）．令y＝4，得x2﹣x＝4．解之，得．∴符合條件的點，．∴綜上，符合題意的點有四個：P1