第06講向量法求空間角（含探索性問題）(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：異面直線所成的角題型二：直線與平面所成的角角度1：求直線與平面所成角(定值問題）角度2：求直線與平面所成角(最值問題）角度3：已知線面角求其他參數（探索性問題）題型三：二面角角度1：求平面與平面所成角(定值問題）角度2：求平面與平面所成角(最值問題）角度3：已知二面角求其他參數（探索性問題）第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：異面直線所成角設異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①②知識點二：直線和平面所成角設直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則①；②.知識點三：平面與平面所成角（二面角）（1）如圖①，，是二面角的兩個面內與棱垂直的直線，則二面角的大小．（2）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：①；②若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：異面直線所成的角典型例題例題1．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二開學考試）正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二期中（理））如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·全國·高二課時練習）在正方體中，直線與所成角的余弦值為______．例題4．（2022·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）正四棱柱中，與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為______________．題型歸類練1．（2022·山東·高密三中高二階段練習）在正方體中，E，F分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．2．（2022·貴州畢節·三模（理））在正四棱錐中，底面邊長為，側棱長為，點P是底面ABCD內一動點，且，則當A，P兩點間距離最小時，直線BP與直線SC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二課時練習）已知和是異面直線，，，則和所成角的大小為______．4．（2022·云南省楚雄天人中學高二階段練習）如圖所示，設有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側面積為，為中點，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．題型二：直線與平面所成的角角度1：求直線與平面所成角(定值問題）典型例題例題1．（2022·云南麗江·高二期末（理））正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在空間直角坐標系中有長方體，且，，，求直線與平面所成角的正弦值．例題3．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，已知單位正方體，，分別是棱和的中點，試求與平面所成角的正弦值．例題4．（2022·北京八十中高三開學考試）如圖，在三棱柱中，平面為線段上的一點.(1)求證：；(2)若為線段上的中點，求直線與平面所成角大小.例題5．（2022·福建·泉州鯉城北大培文學校高二期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為上一點，且．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題型歸類練1．（2022·廣東實驗中學附屬江門學校高二開學考試）在三棱錐中，平面，D，E，F分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·山西·渾源縣第七中學校高二階段練習）如圖所示，在直三棱柱中，，點是的中點，，.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成的角.3．（2022·河南·北大公學禹州國際學校高二開學考試）如圖，在正方體中，棱長為2，M、N分別為、AC的中點．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的大小．4．（2022·新疆·烏魯木齊101中學高二期中（理））如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，點M是棱PC的中點.(1)求證：PA//平面BMD；(2)當PA＝時，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值.角度2：求直線與平面所成角(最值問題）典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知、、分別是正方形邊、及對角線的中點，將三角形沿著進行翻折構成三棱錐，則在翻折過程中，直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習）在如圖的正方體中，，點是側面內的動點，滿足，設與平面所成角為，則的最大值為（

）A． B．C． D．例題3．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）正四棱柱中，，，點為側面上一動點（不含邊界），且滿足.記直線與平面所成的角為，則的取值范圍為_________.題型歸類練1．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，已知圓柱，在圓上，，，、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．2．（2021·福建·泉州五中高二期中）直三棱柱中，，，點為線段的中點，若點在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學高二階段練習）如圖，在三棱錐中，，，E，F，O分別為棱，，的中點，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是______.角度3：已知線面角求其他參數（探索性問題）典型例題例題1．（2022·浙江·玉環市玉城中學高一階段練習）在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，為的中點，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，已知四邊形，,均為正方形，且邊長為1，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出點的位置；若不存在，試說明理由．例題3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點，分別為，的中點.(1)求證：平面⊥平面；(2)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.例題4．（2022·全國·高二專題練習）如圖，四棱錐中，平面平面，平面平面，四邊形中，，，，.(1)求證：平面；(2)設，若直線與平面所成的角為，求線段的長.題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）正方形的邊長是分別是和的中點，將正方形沿折成直二面角(如圖所示).為矩形內一點，如果和平面所成角的正切值為，那么點到直線的距離為______.2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，．(1)證明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若，，試問在線段SC上是否存在點D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°，若存在，請求出D點的位置；若不存在，請說明理由．3．（2022·重慶·高三階段練習）如圖，平面ABCD，，，四邊形ABCD為菱形.(1)證明：平面EBD；(2)若直線AB與平面EBD所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.4．（2022·重慶南開中學模擬預測）在三棱柱中，，平面平面，E，F分別為線段的中點．(1)求證：；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，且，求三棱錐的體積．題型三：二面角角度1：求平面與平面所成角(定值問題）典型例題例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的銳二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，，且，若，，則二面角的余弦值為______．例題3．（2022·山東·梁山現代高級中學高二階段練習）如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．例題4．（2022·福建泉州·高二期末）在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.題型歸類練1．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）已知二面角，其中平面的一個法向量，平面的一個法向量，則二面角的大小可能為__________.2．（2022·全國·高二課時練習）已知菱形中，，沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為______．3．（2022·四川樂山·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面是正三角形，側面底面，平面平面.(1)判斷與的位置關系并給予證明；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.4．（2022·福建·莆田錦江中學高三階段練習）已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四邊形ABCD是邊長為4的菱形.∠BCD=60°，四邊形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.(1)求證：AC⊥BE：(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.角度2：求平面與平面所成角(最值問題）典型例題例題1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知直三棱柱中，側面為正方形，，且，，分別為和的中點，為棱上的點.(1)證明：；(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小？例題2．（2022·湖北孝感·高二階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為棱的中點，且．(1)證明：底面．(2)若，求二面角的余弦值的取值范圍．題型歸類練1．（2022·河南·高二階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：為等腰三角形.(2)若平面平面，求二面角的余弦值的取值范圍.2．（2022·湖南·雅禮中學高二開學考試）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設平面與平面的交線為．(1)證明：平面；(2)已知，為上的點且，，求與平面所成角的正弦值的最大值．角度3：已知二面角求其他參數（探索性問題）典型例題例題1．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學高二階段練習）如圖，已知直三棱柱中，，，，分別為和的中點，為棱上的一點．(1)證明：；(2)當平面與平面所成角的余弦值為時，求線段的長度．例題2．（2022·江蘇·淮安市欽工中學高三階段練習）如圖，在正三棱柱中，，，為的中點，為側棱上的點．(1)當為的中點時，求證：平面；(2)若平面與平面所成的銳二面角為，求的長度．題型