八年級數學下冊知識點總結

第十六章二次根式

1.二次根式：式子石（“20）叫做二次根式。

2.二次根式有意義的條件：大于或等于0。

3.二次根式的雙重非負性：4a：①右》0,②a20

附：具有非負性的式子：①3NO；0|a|>0；③一之0

4.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式;⑵被開方數中不含分母;

⑶分母中丕含根式。

5.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被相同，則這幾個二次根式

就是同類二次根式。

6.二次根式的性質：「“（">0）

Y0（（7=0）;

（1）（Va）2=a（a20）;（2）、^/彳忸圖）

7.二次根式的運算：

（1）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類

二次根式.

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），

所得的積（商）仍作積（商）的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式.

4ab~4a*yfb（a20,b20）；/E=2^.（b20,a>0）.

Vayja

（3）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，口乘法對

加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.

【典型例題】

1、概念與性質

例1下列各式1）

其中是二次根式的是（填序號）.

例2、求下列二次根式中字母的取值范圍

J元+5—/(2)J(x-2)2

(1)行;

例3、在根式1）加+/⑵最簡二次根式是（)

A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)

例4、已知：

y=V1-8x+V8x-1+—,求代數式J±+—+2—-2的值。

2\yx\yx

例5、(2009龍巖)已知數a,b,若而而二b—a,則()

A.a>bB.a<bC.a，bD.aWb

2、二次根式的化簡與計算

例1.將根號外的a移到根號內，得（）

A.J—a；B.J—a；C.t/a；D.yfa

例2.把（a-b）六化成最簡二次根式

<73+1

-(372-2/(3五+2后)

例3、計算:-73-1

例4、先化簡，再求值:

S+RG，其中a二鋁，b二鋁

例5、如圖，實數在數軸上的位置，化簡：而一技一而方

Y，______1_______

-1o1

4、比較數值

(1)、根式變形法

當a>0,6>0時,①如果a>b,則而>揚；②如果“<人,則石<〃。

例1、比較36與56的大小。

(2)、平方法

當a>0,6>0時,①如果I>/,則“>》；②如果則a</?。

例2、比較3a與2百的大小。

(3)、分母有理化法

通過分母有理化，利用分子的大小來比較。

例3、比較--與二一的大小。

V3-1V2-1

(4)、分子有理化法

通過分子有理化，利用分母的大小來比較。

例4、比較后-雨與雨-內的大小。

(5)、倒數法

例5、比較療-卡與-—5的大小。

(6)、媒介傳遞法

適當選擇介于兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。

例6、比較"+3與質-3的大小。

(7)、作差比較法

在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：

“-6>0oa>b;②a-b<0oa<b

例7、比較岸里與小的大小。

V3+1G

(8)、求商比較法

它運用如下性質：當a>0,b>0時，貝I］：

①;②;<』<b

例8、比較5-6與2+百的大小。

5、規律性問題

例1.觀察下列各式及其驗證過程：

備屋,驗證:2小昌用4欄滓=屋；

卷尾驗證降導后.⑴按照上

述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4席的變形結果，并進行驗證；

(2)針對上述各式反映的規律，寫出用n(n^2,且n是整數)表示的等式，

并給出驗證過程.

二次根式知識點歸納

定義：一般的，式子G(a20)叫做二次根式。其中叫做二次根號，

一次根號卜的a叫做被開方數。

性質：I、W(a20)是一個非負數.即指20

2、"7=|a|即等于a;a<0,等于-a

"(Vfl)2=a(心0)O

4、4（i-4b=yfcib.（a20,b20）

反過來：|\[^=右?〃（a20,b20）

5、悟=E（a>0,b>0）

反過來,(a^O,b>0)

6、最簡二次根式：

1.被開方數不含分母：

2.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

7、同類二次根式：兒個二次根次化成最簡二次根式以后如果被開數相同，這幾個二次根式就叫

做同類一次根式

8、數的平方根與二次根式的區別：①4的平方根為±2,算術平方根為2；②"=2,.次根式

即是算術平方根

9、二次根式化運算及化簡：①先化成最簡②合并同類項

第十七章勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為“，b,斜邊長為c,那么

/+Z?2=Co

eB

應用：,

(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在AABC中，ZC=90°,則c=,

h=yjc2-a2,a=\lc2-b2)

(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長”，b,c滿足/+/=入那么這個三角

形是直角三角形。

應用：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種

重要方法。

(定理中〃，*c及"+〃=/只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若

三角形三邊長〃，*c滿足/+cJ出那么以〃，心c為三邊的三角形是直角

三角形，但是〃為斜邊)

3、勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即儲+/=c?中，

“，gC為正整數時，稱“，*C為一組勾股數

②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；

7,24,25等

③勾股數擴大相同的的倍數依然是一組新的勾股數。如ka,kb,kc

4.直角三角形的性質

(1)直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下：ZC=90°nNA+NB=90°

(2)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°

=>BC=iAB

J2

ZC=90°

(3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°

I=>CD=1AB=BD=AD

J2

D為AB的中點

5.經過證明被確認正確的命題叫做定理。

我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做

原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)

6、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜

C

邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它J們在斜

邊上的攝影和斜邊的比例中項/\

Z]ACB=90r°/--------------一

?<ADB

CD1=AD?BD

=AC"=AD?AB

CDA-ABBC2=BD?AB

7、常用關系式

由三角形面積公式可得：AB?CD=AC*BC

8、直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角

三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關系

那么這個三角形是直角三角形。

9、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個完整的句子；

（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確'錯誤與否分）

-真命題（正確的命題）

Y

命題

假命題（錯誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

(1)根據題意，畫出圖形。

(2)根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。

(3)經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

10、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。

(2)要會區別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關系：可以證明兩條直線平行。

數量關系：可以證明線段的倍分關系。

常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

11、數學口訣.

平方差公式:平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與

完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方、尾平方，首尾

二倍放中央；首土尾括號帶平方，尾項符號隨中央。

第十八章平行四邊形

平行四邊形

1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

.C

2.平行四邊形的性質

AB

角：平行四邊形的鄰角互補，對角相等；

邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；

對角線：平行四邊形的對角線互相平分；

面積：①S二底x懸pah；

3.平行四邊形的判定方法：

①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

二、特殊的平行四邊形

(-)矩形

1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

2、矩形的性質

①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對

角線互相平分且相等;

3、矩形的判定：

(1)平行四邊形+一個直角

(2)三個角都是直角=四邊形ABCD是矩形.

DC

(3)對角線相等的平行四邊形

(-)菱形AB

1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

2、菱形的性質：

①邊：四條邊都相等；②角：對角相等、鄰角互補；口③對角線：對角線互

相垂直平分且每條對角線平分每組對角；/K

3、菱形的判定方法：

⑴平行四邊形+一組鄰邊等1B

⑵四個邊都相等,=＞四邊形四邊形ABCD是妻形.

(3)對角線互相垂直的平行四邊形

(三)正方形

1、定義：有一組鄰邊相等且有一個直角的平行四邊形叫做正方形

2、正方形的性質：

①邊：四條邊都相等；②角：四角都是直角；③對角線：對角線互相垂直

平分且相等，每條對角線平分每組對角。

3、正方形的判定方法：D_

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角］

(2)菱形+一個直角n四邊形ABCD是正位彩

A

(3)矩形+一組鄰邊等

(四)三角形中位線定理：A

三角形的中位線平行第三邊，并且等無后忒半.

BC

如圖：:DE是4ABC的中位線

「.DE〃BC,DE=iBC

(五)幾種特殊四邊形的面積問題

①設矩形ABCD的兩鄰邊長分別為〃，b,則S,產ab.

②設菱形ABCD的一邊長為a,高為h,則S菱形二ah；若菱形的兩對角線

的長分別為b,c,貝iJs="c

③設正方形ABCD的一邊長為〃，則￡E方形=。2;若正方形的對角線的長為3

貝Us正方形=go?

四邊形

A

1.四邊形的內角和與外角和定理：

BC

(1)四邊形的內角和等于360。；

(2)四邊形的外角和等于360。.

2.多邊形的內角和與外角和定理：

(1)n邊形的內角和等于(n-2)180°；

(2)任意多邊形的外角和等于360°.

3.平行四邊形的性質：

(1)兩組對邊分別平行；

(2)兩組對邊分別相等;

因為ABCD是平行四邊形=>(3)兩組對角分別相等

(4)對角線互相平分久

⑸鄰角互補.

4.平行四邊形的判定：DC

(1)兩組對邊分別平行'

(2)兩組對邊分別相等

(3)兩組對角分別相等，ABCD是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且相等

(5)對角線互相平分

DC

5.矩形的性質：

AXB

[(1)具有平行四邊形的所有通性；

四個角都是直角；

因為ABCD是矩形=⑵DC

(3)對角線相等.

AB

6.矩形的判定：

(1)平行四邊形+一個直角］,

(2)三個角都是直角=四邊形ABCD是矩形.

(3)對角線相等的平行四邊形

AB

7.菱形的性質：

因為ABCD是菱形

(1)具有平行四邊形的所有通性;

=(2)四個邊都相等；

(3)對角線垂直且平分對角.

8.菱形的判定：A44<

(1)平行四邊形+一組鄰邊等］\L

(2)四個邊都相等=>四邊形四邊形ABCD是菱形得

(3)對角線垂直的平行四邊形

9.正方形的性質：

因為ABCD是正方形

(1)具有平行四邊形的所有通性；

=><(2)四個邊都相等，四個角都是直角;

(3)對角線相等垂直且平分對角.

D______________,CD_C

AB(1)AB(2)

(3)

10.正方形的判定：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角］

(2)菱形+一個直角=四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

Dc(3)-/ABCD是矩形

y."AD=AB

?B四邊形ABCD是正方形

11.等□腰梯形的性質：

d)兩底平行，兩腰相等；AD

因為ABCD是等腰梯形n(2)同一底上的底角相等；

(3)對角線相等.，

BC

12.等腰梯形的判定：

(1)梯形+兩腰相等,

(2)梯形+底角相等=四邊形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+對角線相等

8K(3)-/ABCD是梯形且AD/7BC

rA???AC=BD

.".ABCD四邊形是等腰梯形

A

14.三角形中位線定理：/A

三角形的中位線平行

BC

第三邊，并且等于它的一

半.

15.梯形中位線定理：DC

梯形的中位線平行于

兩底，并且等于兩底和的

T

-基本概念：四邊形，四邊形的內角，四邊形的外角，多邊形，平行線間

的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，

梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.

二定理：中心對稱的有關定理

※匕關于中心對稱的兩個圖形是全等形.

X2.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱

中心平分.

X3.如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么

這兩個圖形關于這一點對稱.

三公式：

1.S菱形=lab=ch.（a、b為菱形的對角線，c為菱形的邊長，卜為0邊

上的高）

2.S平行四邊形二ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）

3.S梯形=g（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中

位線）

平行四邊形

四常識：

※匕若n是多邊形的邊數，則對角線條數公式是：吟型.

2.規則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.

4.常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正

奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；

是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….

注意：線段有兩條對稱軸.

第十九章一次函數

一.常量、變量：

在一個變化過程中，數值發生變化的量叫做速量;數值始終不變的量

叫做常量。

二、函數的概念：

函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并

且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說

x是自變量，y是x的函數.(含有自變量的數)

函數的判斷：對每一個自變量x是否只有唯一的一個函數值和它對應。

三、函數中自變量取值范圍的求法：

(1)用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

(2)用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。

(3)用二次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數

（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然

后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

（5）對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。

四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每

對對應值分別作為點的橫、縱坐標,那么在坐標平面內由這些點組成的圖形,

就是這個函數的圖象.

五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟（一般取五個點）

1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。）

注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。

2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為

縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

3、連線：（按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接

起來）。

六、函數有三種表示形式：

（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法

七、正比例函數

1、定義：一般地，形如y=kx（k為常數，且k手0）的函數叫做正比例函數.

其中k叫做比例系數。

特征：（1）k為常數，且k左0

（2）自變量的次數是1

（3）自變量的取值范圍為全體實數。

2、圖象：

（1）正比例函數y二kx（k是常數，k手0））的圖象是經過原點的一條直

線，我們稱它為直線y二kxo必過點：（0,0）、（1,k）

⑵性質：當k>0時，直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨

著x的增大y也增大；當k<0時，直線y二kx經過二，四象限，從左向右下

降，即隨著x的增大y反而減小。

八、一次函數

1、定義：一般地，形如y=kx+b（k,b為常數，且k手0）的函數叫做一次函數.

當b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.

特征：（1）k不為零

（2）x指數為1

（3）自變量的取值范圍為全體實數

（4）b取任意實數

2、圖象：

（1）一次函數y=kx+b的圖象是經過（0,b）和（-2，0）兩點的一條直線，

我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.

（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

（2）圖像的平移：當b>0時，將直線y二kx的圖象向上平移b個單位；

當b<0時，將直線y二kx的圖象向下平移b個單位.

（3）必過點：（0,b）和J0）

k

（4）一次函數y=kx+b的圖象的畫法.

根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即

兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直

線即可.

b>0b<0b=0

九、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：

(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中

得到以待定系數為未知數的方程；

(3)解方程得出未知系數的值；

(4)將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析

式.

十'當直線y=kx+bi與y=kzx+bz平行時，k*且bi^b2

十一、一次函數與方程、不等式

1.一次函數與元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數片"為的

值為0.

2.求氏?代0（a,6是常數，。0）的解，從“形”的角度看，求直線片ax+6

與x軸交點的橫坐標

3.一次函數與一元一次不等式：

解不等式a對6>0（a,。是常數，a手0）.從“數”的角度看，x為何值時

函數V=ax+b的值大于0.

4.解不等式a/6>0（a,b是常數，#0）.從“形”的角度看,求直線

y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應的的橫坐標的取值范圍.

5.一次色數場國一次方程組：

解方程嬴"也y=c

從“數”的角度看，自變量（%;為何值時兩個函數值相等.并求出這個函

數值

x+

iaibly=cl

aix-biy=C2

解方程組從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐

標.

反比例函數（備學）

1.定義：形如y=&（k為常數，k手0）的函數稱為反比例函數。其他形式

X

xy=ky=kx{y=k—

x

2.圖像：反比例函數的圖像屬于雙曲線。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形

又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線尸X和y=-Xo對稱中心是：原點。

由于反比例函數中自變量xoO,函數30,所以，它的圖像與x軸、y軸都

沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

3、性質：

①x的取值范圍是xoO,①x的取值范圍是x#0,

V的取值范圍是yw0;V的取值范圍是"0;

②當k>0時，函數圖像的兩個②當k<0時，函數圖像的兩個分支分

分支分別別

在第一、三象限。在每個象限在第二、四象限。在每個象限內，y

內，v隨x的增大而增大。

隨x的增大而減小。

4.|k|的幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與

兩坐標軸圍成的矩形的面積。

如下圖，過反比例函數y=K（心0）圖像上任一點P作X軸、y軸的垂線PM,

X

PN,則所得的矩形PM0N的面積S=PM.PN=N?W=|書,

y=&,.?.盯=氏,5=網。

5.反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減,

圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換。

第二十章數據的分析

1.平均數：

（1）算術平均數：一組數據中，有n個數據，則它們的算術平均數為

X石+.+…+%

n

（2）加權平均數：

若在一組數字中，%的權為w，E的權為W，…，乂的權為期，那么

■尤加+8―+…+乂加叫做…X的加權平均數。

卬|+班+…+VK"

其中，W'144'W,分別是無，了2，…X"的權?

權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。

權的表示方法：比、百分比、頻數（人數、個數、次數等）。

2.中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據

的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個

數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

3.眾數：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。

4.平均數中位數眾數的區別與聯系

相同點：平均數、中位數和眾數這三個統計量的相同之處主要表現在：都是

來描述數據集中趨勢的統計量；都可用來反映數據的一般水平；都可用來作

為一組數據的代表。

不同點：

1）、代表不同

平均數：反映了一組數據的平均大小,常用來一代表數據的總體“平均水

平”。

中位數：像一條分界線,將數據分成前半部分和后半部分，因此用來代表一

組數據的“中等水平”。

正遨三反映了出現次數最多的數據，用來代表一組數據的“多數水平”。這

三個統計量雖反映有所不同，但都可表示數據的集中趨勢，都可作為數據一

般水平的代表。

2）、特點不同

生均數一與每一個數據都有關，其中任何數據的變動都會相應引起平均數的

變動。主要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數。

中位數：與數據的排列位置有關,某些數據的變動對它沒有影響；它是一組

數據中間位置上的代表值，不受數據極端值的影響。

眾數：與數據出現的次數有關,著眼于對各數據出現的頻率的考察，其大

小只與這組數據中的部分數據有關，不受極端值的影響,其缺點是具有不惟

一性，一組數據中可能會有一個眾數，也可能會有多個或沒有。

3）、作用不同

王均虹是統計中最常用的數據代表值，比較可靠和穩定，因為它與每一個

數據都有關，反映出來的信息最充分。平均數既可以描述一組數據本身的整

體平均情況，也可以用來作為不同組數據比較的一個標準。因此，它在生活

中應用最廣泛，比如我們經常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。

中位數：作為一組數據的代表,可靠性比較差，因為它只利用了部分數據。

但當一組數據的個別數據偏大或偏小時,用中位數來描述該組數據的集中趨

勢就比較合適。

眾數：作為一組數據的代表,可靠性也比較差，因為它也只利用了部分數

據。。在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，且某個數據出現的次數

最多，此時用該數據（即眾數）表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合。

5.極差：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差。極差

反映的是數據的變化范圍。

6.方差：設有n個數據孫如…，%,各數據與它們的平均數的差的平方分別

是（X|-?,（X2-元）2,…，（X.一元）2,…，我們用它們的平均數，即用

52=-[（%,-X）2+（X-X）2+-+（X?-X）2]

n2

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。

方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，就越穩定。

標準差：方差的算術平方根，即

S=無￥+（々—￡）2+一.+（苞，一元）2]

數據的分析教學:

知識點：

選用恰當的數據分析數據

知識點詳解：

一、5個基本統計量（平均數、眾數、中位數、極差、方差）的數學內涵：

平均數：把一組數據的總和除以這組數據的個數所得的商。平均數反映一組

數據的平均水平，平均數分為算術平均數和加權平均數。

眾數：在一組數據中，出現次數最多的數（有時不止一個），叫做這組數據

的眾數

中位數：將一組數據按大小順序排列，把處在最中間的一個數（或兩個數的

平均數）叫做這組數據的中位數.

極差：是指一組數據中最大數據與最小數據的差。巧計方法，極差二最大

值-最小值。

方差：各個數據與平均數之差的平方的平均數，記作$2.巧計方法:方差

是偏差的平方的平均數。

標準差：方差的算術平方根，記作S=J：h-5）2+-土）2+…+（X.-5）2]0

二、教學時對五個基本統計量的分析：

1、算術平均數不難理解易掌握。加權平均數，關鍵在于理解“權”的含義，

權重是一組非負數，權重之和為1,當各數據的重要程度不同時，一般采用

加權平均數作為數據的代表值。

學生出現的問題：對“權”的意義理解不深刻，易混淆算術平均數與加

權平均數的計算公式。

采取的措施：弄清權的含義和算術平均數與加權平均數的關系。并且提

醒學生再求平均數時注意單位。

2、平均數、與中位數、眾數的區別于聯系。

聯系：平均數、中位數和眾數都反映了一組數據的集中趨勢，其中以平均數

的應用最為廣泛。

區別：

A、平均數的大小與這組數據里每個數據均有關系，任一數據的變動都會引

起平均數的變動。

B、中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對中位數沒有影響。

當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述其集中趨勢。

C、眾數主要研究個數據出現的頻數，其大小只與這組數據中的某些數據有

關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數。其中眾

數的學習是重點。

學生出現的問題：求中位數時忘記排序。對三種數據的意義不能正確理

解。

采取的措施：加強概念的分析，多做對比練習。

3、極差，方差和標準差。

方差是重難點，它是描述一組數據的離散程度即穩定性的非常重要的量，

離散程度小就越穩定，離散程度大就不穩定，也可稱為起伏大。極差、方差、

標準差雖然都能反映數據的離散特征，但是，對兩組數據來說，極差大的那

一組方差不一定大；反過來，方差大的，極差也不一定大。

學生出現的問題：由于方差，標準差的公式較麻煩，在應用時常由于粗

心或公式不熟導致錯誤。

采取的措施：注意方差是“偏差的平方的平均數”這一重要特征。或使

用計算器計算。

這些數據經常用來解決一些“選拔”、“決策”類問題。中考中常常綜合

在一起考察。

4.為了培養學生的環保意識,某校組織課外小組對該市進行空氣含塵調查,

下面是一天中每2小時測得的數據（單位：g/m3）:

0.040.030.020.030.040.01

0.030.040.030.050.010.03

（1）求出這組數據的眾數和中位數；

（2）如果對大氣飄塵的要求為平均值不超過0.025g/m3,問這天該城市

的空氣是否符合要求？為什么？

5.A、B兩班在一次百科知識對抗賽中的成績統計如下：

分數5060708090100

人數（A351531311

班）

人數（B161211155

班）

根據表中數據完成下列各題：

（1）A班眾數為分，B班眾數為分，從眾數看成績較好的是

班；

（2）A班中位數為分，B班中位數為分，A班中成績在中位數以

上的（包括中位數）學生所占的百分比是%,B班中成績在中位數

以上的（包括中位數）學生所占的百分比是%,從中位數看成績較

好的是班；

⑶若成績在85分以上為優秀，則A班優秀率為%,B班優秀率

為%,從優秀率看成績較好的是班.