考研數(shù)學(xué)一多元函數(shù)的微分學(xué)

1.［單項選擇題］

lim存在

A.

B.f(x,y)在(xo,y。)處連續(xù)

Hi.；'Zfff.

c.?

D.''11.；'<

正確答案：C

參考解析：

/(T.J)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在不一定在該點連續(xù),排除B.也不能推得存

jr*%

在書如：設(shè)/由皿?<專,《7>"0期.

-0?(x.y)n(0<0)?

可知<(0.0).<(0.0)都存在?但li呼”1,了)不存在:故排除A.

由廠(r,?v,)—hm'------1一-—存在?只能推得當(dāng)固定1y二丫；時??y)ft

L.JT-Jt.

r的鄰域內(nèi)有定義.而

V(JT,)=*()|0VJkx—工、+(y—A)’<<J'

是倒域.故D不正確.

由《(<Tu-y)■lim"/'上-'—")存在?知lim/Q.y,)-f(x,yJ.C正確.

2.【單項選擇題】設(shè)方程xy—zlny+e^l,存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此

鄰域內(nèi)該方程().

A可確定隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x.y)

B,可確定隱函數(shù)x=x(y,x)和z=z(x,y)

C.可確定隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z)

D.只能確定隱函數(shù)z=z(x,y)

正確答案：C

參考解析：令F(z.y.2：)—j-v—zln-y+e"—1.則F(0.1.1)=0.

F<z,v.i).可I求侑導(dǎo)?得F-l1.Fr.F?

y

故■■2#0?F^(OtLl)=

根據(jù)隱函數(shù)存在定理?知F(z.y.z)=0在點(0,1.1)的某個鄰域內(nèi)能確定骷函數(shù)

r—上(了.工)和yuyQ.N)?故C正確.

3.J單網(wǎng)選擇題】設(shè)八3)=上.］

A.：,

B.

C.1?:

D.

正確答案：D

參考解析：

由于匕=邑[e,f=-__J….故f*+fy=——=/,D正確.

(x-_y)(X—y)x-y

4.【單項選擇題】設(shè)曲面S由方程F(ax—bz,ay—cz)=O所確定，F(xiàn)有連續(xù)偏

導(dǎo)數(shù)，a,b,c是不為零的常數(shù)，則曲面S上任一點的切平面都平行于直線

().

A..，

?V*?f>W?I

B.6

土_2=三

C.

XV_Z]

D.

正確答案：B

參考解析：

“方fi!F(產(chǎn)fc.av-<z)=，確定的降雨數(shù)為：二：(r,v).則比切平面的法向

展”=(生生?7卜

\oxdy/

-6翌)+H(0—c*要)=Of

方程兩邊同時對工~求偏導(dǎo).傅《:：(；:::解得

一(。-喑戶叫一考上。.

dgaF\3zuF'：

五工-?石一布FF，

設(shè)I-e.r?Q),由于

fabF'aF/、MF'LaF；-u"F”,F')c

AF；+cF：6F；+cF：AF；+cF；

故B正確.

5.【單項選擇題】設(shè)f(x,y)在點(x。，y。)處不可微，則下列命題一定不成立的

是().

A.f(x,y)在點(xo,y°)處不連續(xù)

B.f(x,y)在點(x。，y。)處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

C.f(x,y)在點(x。，y。)處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在且至少有一個不連續(xù)

D.f(x,y)在點(X。，yO)處沿任何方向的方向?qū)?shù)均不存在

正確答案：B

參考解析：四個選項中，只有B是f(x,y)在點(x。，y。)處可微的充分條件，故

B一定不成立.

6.【單項選擇題】

設(shè)人工中在點(0.0)的某鄰城內(nèi)連續(xù)?且lim/J'2)二工-1?則/(3)。

點(0,0)處().?

A.取得極小值

B.取得極大值

C.不取得極值

D.無法確定是否取得極值

正確答案：B

參考解析：

在點(0,0)的去心領(lǐng)域內(nèi)有X|十,>0.。由保號性，可知/(j.>)-/(0.0)<0.

可由極值的定義,可知在點(0.0)處取卻極大值.故B正確.

7.【單項選擇題】

(1，、一八八

Ijarctan----—(?r?y)/(0.0),

設(shè)//+4則在點(0,0)

I。，(xtjy)=(0,0),

處().

A.連續(xù)但不可微

B.偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)

C.可微

D.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在

正確答案：C

參考解析：

由arcian有界?知limf(x,y)—limvarctan——=0=/(0?0).

｛士+/二：=：/一+一

故在點(0?0)處連續(xù).

「，、(

(OC#OC)=Ih-m/-X.0..)..―..."/-(-0--.-0--)-=hrm—0=0c.

L。1X

gfc、r/(0~)―/(0.0)|..]K

/,Z(0A>0)=hm-----a/-一=hmarctan-—

$??y>7IvIZ

A/-d/.-z?y)一/(0.0)-S(0.0)x+尸(0.0)y]

pp

\「八

yarmn----.0?J+J于?A1

由于卜濘=_yl.故

vx+y

Z一"a/arctan/丁一丁—yj-O?

P=Sr：+?/'vJT4-y"，

所以fU.v)在點(C).0)fthnim.ttC正確.

8.【單項選擇題】設(shè)f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內(nèi)有定義，f(0,0)=0,且

二^-*(*為常數(shù)).

則當(dāng)k>-1時;().

A

Bf(x,y)在點(0,0)處可微

Cf(x,y)在點(0,0)處取得極小值

f(x,y)在點(0,0)處取得極大值

D..

正確答案：B

參考解析：由已知條件及極限與無窮小的關(guān)系,有

-7二1+.=A+aQ-0).

，一+—

/(X.J)=(1+4?)，工2+—+。(/，0=+.2,

則在點(0.0)處J(.r.y)沿任何方向/=cos2-cos和的方向?qū)?shù)都存在.且

=Hm/"cosa.fsina)—/(0.0)

19/

v(1+4”+。(，)1.

=lim---------------------=]+4L,

-o?t

故當(dāng)也守2=l+A>0時，義].y)在點(0.0)處取得極小值.B正確.

(1LIfo.fi)

9.【單項選擇題】

設(shè)二元函數(shù)/(].))=①空￥^^,則lim/(z.y)=

?r"十y(x.y)-<o.o>

A.1.

B.0.

C.+8.

D.不存在，也不為8.

正確答案：B

--y+y'

I/(ay)I<X2+)2

22

2

助士匚'2?y+、—2?y4Iy1+V

參考解析：=N一±+.V-i'

lim(IyI+y?)=0.因此lim/(z,y)=0.選(B).

(x*y)**(0?0)….(x.S-e.O)

r漁后.矗日八極限1加-*、(/+1/)

1in0.【^*項12^擇/6§】?1

A.不存在.

B.等于1.

C.等于0.

D.等于2.

正確答案：C

參考解析：由于

0<zylnO+<)l4—?+<)ln(12+爐)(當(dāng)0VV+y'1<1時)

M

令/+丁，=r,則

lim(a-2+y)ln(x2+J)=limrlnr=lim野

Cx.y)-(OtO)

r

=lim」Y(洛必達法則)

一<r_±

r

—0

則lim—^(/+y')1no+y")=0.

故limzylnO+y?)=0,應(yīng)選(C).

11.【單項選擇題】

設(shè)區(qū)+”當(dāng)「dy(一+?關(guān)0)為某函數(shù)的全微分.則a為().

(工+y)

A.-1

B.0

C.1

D.2

正確答案：D

參考解析：

P(i,y)="。工，>)=；~7■~7^，由處=裝得。=2,選(D).

(z+y)(z+y).Mdy

12.【單項選擇題】

1,J.J

xsin—Fvsin—.JV0,

設(shè)/(z,y)=<yx記/1=lim[lim/(z.y)J,L=lim/(.r,y),

j->0廣,0JT-O

0?zy=0,r*o

則().

A.Ii存在，12不存在

B.L不存在，L存在

C.L存在，L存在

D.L不存在，L不存在

正確答案：B

當(dāng)1W0時?lim(xsin—+1ysin—)=.rlimsin—不存在，故

3'y

/i=limCIim/Cjf.y)]

參考解析：

不存在.而由于

1

04心in—Fjsin<j*i+lj.lim()J,|4-|jI)=0.

y7

由夾逼準(zhǔn)則有l(wèi)im/(.r,y)=0,故I存在.

13.【單項選擇題】設(shè)y=f(x,t),而t是由方程F(x,y,t)=0所確定的x,y

.=

的函數(shù)，其中f,F均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則高

().

次+fF,

A.

B.--F7.

C.TTTTFT

D./了：+E

正確答案：D

參考解析：

方程兩邊求全微分?得F；dr+F\dv+F；d/=0,則d/=—/dy,又

dy=￡"+/由=-/?(&dr+$dy),

解得華=?故選(D).

dz今/Jv+"H；

的幣、毋擇日「設(shè)羋，則全微分去

14r).

14.【單項選擇題】1+sinz+siny(o.o)

A.dx+dy

B.-dx+dy

C.dx-dy

D.-dx-dy

正確答案：C

參考解析：由z(x,y)的表達式可知，所給函數(shù)在點(0,0)處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)連

續(xù)，故在該點可微，由

乂0,0）=0￡（0,0）=""0；二：。°=1,

2^(0,0)=lim紗~)―”?。)=-1.

廣。y-0

故於=d.r-dy.

(0.0)

15.1單項選擇題】

ydx-

設(shè)函數(shù)〃=”（］，3）的定義城為Nhy）I工+yHO）,其全微分為dw=（丁+產(chǎn)

dy?則/等于（）.

（1+

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：A

參考解析：

當(dāng)衛(wèi)+#0時,因為“（7）可微分,所以“（7）存在一階偏導(dǎo)數(shù).且拱=

沫下,F=一片*,因此"（人山存在二階偏導(dǎo)致.而

yI?-y21.r-vkyn丁+2by+(26?-1)/

21r2丁打1（工+丁）?」（［+\）''好工<lr.（1+y）二(.r+y)'

注意到二階混合偏導(dǎo)效連續(xù)時與求導(dǎo)次序無關(guān),有獸=萼，所以工?一爐=」+2b了+

（）T（fy（ly（Jx

(2-1)爐，故6=0,應(yīng)選(A).

[im迎a

16.【填空題】

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2

參考解析：i,n

【解析】

由于南效在點（3.0）處逢續(xù)?故極限存在?且

ln(x4-_]n(3+e)9

=yin2.

二+V31+01

lim（l-y-），口，

17.【填空題】

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：r:

【解析】

18.【填空題】

設(shè)函數(shù)/Xz.y)可微.且/(1.2)=2./J1.2)=3,/,(1,2)=4.F(z)

?則F'(l)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：47

【解析】

F⑺=，+￡(/+2￡).由于

=/(1,2).1(1.2)-/^(1.2)=3.6(1.2)=6(1.2)=

故fd)-++

=?3+4X(3+8).47.

19.【填空題】

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：F'-y>，*

【解析】

由已知條件,視為方理組確定了:，(八,方程兩邊同時時r求導(dǎo).德

兩式消去生.得半=

cLro_r喀r4―+f，.r，\

20.【填空題】

設(shè)N=/(J.，)?/=r(1?y)由方程G(?r,y?，)=0確定?/?(；可微,則三=_____

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

G"；二G'J：

參考解析：Gf-(771

【解析】

令=/(x./)—yh0,則GO*v*/)］端定,V=>(JT)=t(jr).

方程組兩邊同時對x求導(dǎo)，得

%山

r

■

F

F

+

+一

L

,

r

(

￡匕，

G

G

+

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/

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:

G

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.

】

題

填

1

2

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【

5

?

普

則

.

數(shù)

偏

續(xù)

連

階

二

有

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8

數(shù)

導(dǎo)

續(xù)

連

階

二

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歷

.

1

（

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導(dǎo)

有

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錯

答

對

答

：

斷

判

行

進

題

本

對

后

析

解

案

答

看

查

請