高數部分

第一章函數與極限

1、函數的有界性在定義域內有f(x)NKl則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)WK2,則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定

義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列｛xn｝不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數列的有界性)如果數列｛xn｝收斂，那么數列｛xn｝一定有界。

如果數列｛xn｝無界，那么數列｛xn｝一定發散；但如果數列｛xn｝有界，卻不能斷定數列｛xn｝一定收斂，例如數列1,-1,1,-1,(-l)n+l…該數列

有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列｛xn｝收斂于a,那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列｛xn｝有兩個子數列收斂于不同的極限，那

么數列｛xn｝是發散的，如數列1,-1,1,-1,(-l)n+l…中子數列｛x2k-l｝收斂于1,｛xnk｝收斂于-1,｛xn｝卻是發散的；同時一個發散的數列的子數

列也有可能是收斂的。

3、函數的極限函數極限的定義中0<|x-x0|表示x/xO,所以XTXO時f(x)有沒有極限與f(x)在點xO有沒有定義無關。

定理(極限的局部保號性)如果lim(x—xO)時f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在著點那么xO的某一去心鄰域，當x在該鄰域內時就有f(x)>0(或

f(x)>0),反之也成立。

函數f(x)當x-xO時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x-oo)f(x尸c,則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(XTxO)f(x尸8,則直線x=xO是函數y=f(x)圖形的鉛直

漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘

積也是無窮小；定理如果Fl(x)NF2(x),而limFl(x)=a,limF2(x)=b,那么aNb.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x—>O)(sinx/x)=l；lim(x-8)(l+l/x)x=l.夾逼準則如果數列｛xn｝>｛yn｝、｛zn｝滿足下列條件:yn<xn<zn且

limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的連續性設函數y=f(x)在點xO的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x-xO時的極限存在，且等于它在點xO處的函數值f(xO),即

lim(x—xO)f(x)=f(xO),那么就稱函數f(x)在點xO處連續。

不連續情形：1、在點x=xO沒有定義；2、雖在x=xO有定義但lim(x—xO)f(x)不存在；3、雖在x=xO有定義且lim(x—xO)f(x)存在，但

lim(x—xO)f(x)#f(xO)時則稱函數在xO處不連續或間斷。

如果xO是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱xO為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳

躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

定理如果函數f(x)在區間lx上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy=｛y|y=f(x),x《Ix｝上單調增加或減少且連續。反

三角函數在他們的定義域內都是連續的。

定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那

么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即mgf(x)SM.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)

異號(即f(a)xf(b)<0),那么在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點q(a<[<b)。

推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章導數與微分

1、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點xO處可導的充分必要條件是在點xO處的左極限lim(h--O)[f(xO+h)-f(xO)]/h及右極限lim(h一+0)

[f(xO+h)-f(xO)]/h都存在旦相等，即左導數f」(xO)右導數f+，(xO)存在相等。

2、函數f(x)在點xO處可導=>函數在該點處連續；函數f(x)在點xO處連續9在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而

不是充分條件。

3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

4、函數f(x)在點xO處可微=>函數在該點處可導；函數f(x)在點xO處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。

第三章中值定理與導數的應用

1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b),那么在開區間(a,

b)內至少有一點1(a<q<b),使的函數f(x)在該點的導數等于零：V(1)=0.

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，那么在開區間(a,b)內至少有一點g(a<fb),使的

等式f(b)-f(a)=f?)(b-a)成立即f，(1)=［f(b)-f(a)］/(b-a)。

3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且F，(x)在(a,b)內的每一點處均不為零，那么在

開區間(a,b)內至少有一點。使的等式［f(b)-f(a)］/［F(b)-F(a)］=f，?/F@成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、8/8、0X8、00-00、00、18、00。等形式。

5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，那么：(1)如果在(a,b)內f(x)>0,那么函數f(x)在［a,b］

上單調增加；(2)如果在(a,b)內f，(x)<0,那么函數f(x)在［a,b］上單調減少。

如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f'(x尸0的根及f，(x)不存在的點來劃分函數f(x)

的定義區間，就能保證f'(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a,b)內有定義，xO是(a,b)內的一個點，如果存在著點xO的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點

x,f(x)f(xO)均成立，就稱f(xO)是函數f(x)的一個極小值。

在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數

為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在xO處可導，且在xO處取得極值，那么函數在xO的導數為零，即f，(xO)=O.定理(函數取得極值的第

一種充分條件)設函數f(x)在xO一個鄰域內可導，且f，(xO)=O,那么：(1)如果當x取xO左側臨近的值時，f，(x)恒為正；當x去xO右側臨近的值時,

f'(x)恒為負，那么函數f(x)在xO處取得極大值;⑵如果當x取xO左側臨近的值時，F(x)恒為負;當x去xO右側臨近的值時,F(x)恒為正,那么函

數f(x)在xO處取得極小值；(3)如果當x取xO左右兩側臨近的值時，f，(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在xO處沒有極值。

定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在xO處具有二階導數且f，(xO)=O,f"(xO)翔那么：⑴當f"(xO)<O時，函數f(x)在xO處取得極

大值；(2)當f”(xO)>O時，函數f(x)在xO處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間lx上連續，如果對任意兩點xl,x2恒有f[(xl+x2)/2]<[f(xl)+f(xl)]/2,那么稱f(x)在區間lx上圖形是

凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區間lx上圖形是凸的。

定理設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a,b)內f"(x)>0,則f(x)在閉區間[a,b]上的圖形

是凹的；(2)若在(a,b)內f"(x)<0,則f(x)在閉區間[a,b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f"(x)；(2)令f"(x)=O,解出這方程在區間(a,b)內的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根xO,檢查f”(x)

在xO左右兩側鄰近的符號，如果f”(x)在xO左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(xO,f(xO))是拐點，當兩側的符號相

同時，點(xO,f(xO))不是拐點。

在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。

第四章不定積分

1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x),使對任一xei都有F，(x尸f(x)；簡單的說連續函數

一定有原函數。

分部積分發如果被積函數是幕函數和正余弦或幕函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設幕函數和指數函數為u,這樣用一次

分部積分法就可以使基函數的累降低一次。如果被積函數是幕函數和對數函數或基函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為U.

2、對于初等函數來說，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

第五章定積分

1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

2、函數可積的充分條件定理設f(x)在區間［a,b］上連續，則f(x)在區間［a,b］上可積，即連續=>可積。

定理設f(x)在區間［a,b］上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間［a,b］上可積。

3定積分的若干重要性質性質如果在區間［a,b］±f(x)>0則Jabf(x)dxK).推論如果在區間［a,b］上f(x)Sg(x)則Jabf(x)dx￡|abg(x)dx.推論

|Jabf(x)dx@ab|f(x)|dx.性質設M及m分別是函數f(x)在區間［a,b］上的最大值和最小值，則m(b-a)<fabf(x)dx<M(b-a),該性質說明由被積函數在積分

區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區間［a,b］上連續，則在積分區間［a,b］上至少存在一個點號使下式成立：Jabf(x)dx=f(g)(b-a)。

4、關于廣義積分設函數f(x)在區間［a,b］上除點c(a<c<b)外連續，而在點c的鄰域內無界，如果兩個廣義積分jacf(x)dx與Jcbf(x)dx都

收斂，則定義Jabf(x)dx=Jacf(x)dx+fcbf(x)dx,否則(只要其中一個發散)就稱廣義積分Jabf(x)dx發散。

第六章定積分的應用

求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

直角坐標系下(含參數與不含參數)

極坐標系下(r,0,x=rcos0,y=rsin0)(扇形面積公式S=R20/2)

旋轉體體積(由連續曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=Jab無［f(x)］2dx,其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=JabA(x)dx,其中A(x)為截面面積)

功、水壓力、引力

函數的平均值(平均值y=l/(b-a)*；abf(x)dx)

第七章多元函數微分法及其應用

1、多元函數極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于PO(xO,yO)時，函數都無限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式，例如

沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,yO)時，即使函數無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數極限存在。反過來，如果當P(x,y)以不同

方式趨于P0(x0,yO)時，函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。例如函數：f(x,y)={0(xy)/(xA2+yA2)xA2+yA2#0

2、多元函數的連續性定義設函數f(x,y)在開區域(或閉區域)D內有定義，P0(x0,yO)是D的內點或邊界點且P0GD,如果lim(x-xO,y-yO)f(x,

y)=f(xO,yO)則稱f(x,y)在點P0(x0,yO)連續。

性質(最大值和最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上一定有最大值和最小值。

性質(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一

次。

3、多元函數的連續與可導如果一元函數在某點具有導數，則它在該點必定連續，但對于多元函數來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能

保證函數在該點連續。這是因為各偏導數存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數值f(P)趨于f(PO),但不能保證點P按任何方

式趨于P0時，函數值f(P)都趨于f(PO)。

4、多元函數可微的必要條件一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數各偏導數存在只是全微分存在的必要條件而

不是充分條件，即可微=>可偏導。

5、多元函數可微的充分條件定理(充分條件)如果函數z=f(x,y)的偏導數存在且在點(x,y)連續，則函數在該點可微分。

6.多元函數極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數z=f(x,y)在點(xO,yO)具有偏導數，且在點(xO,yO)處有極值，則它在該點的偏

導數必為零。

定理(充分條件)設函數z=f(x,y)在點(xO,yO)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又僅(xO,y0)=0,fy(xO,y0)=0,令fxx(xO,yO)=O=A,

fxy(xO,yO)=B,fyy(xO,yO)=C,則f(x,y)在點(xO,yO)處是否取得極值的條件如下：⑴AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時

有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC-B2=0時可能有也可能沒有。

7、多元函數極值存在的解法(1)解方程組僅(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實數解，即可求得一切駐點。

(2)對于每一個駐點(xO,yO),求出二階偏導數的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(xO,yO)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數的極值問題時，除了考慮函數的駐點外，如果有偏導數不存在的點，那么對這些點也應當考慮在內。

第八章二重積分

1、二重積分的一些應用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=JW[l+f2x(x,y)+f2y(x,y)]do)

平面薄片的質量平面薄片的重心坐標(x=l/A0xdo,y=l/Ajjydo；其中A4do為閉區域D的面積。

平面薄片的轉動慣量(Ix=Hy2p(x,y)do,Iy=JJx2p(x,y)do；其中p(x,y)為在點(x,y)處的密度。

平面薄片對質點的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當f(x,y)在閉區域D上連續時，極限存在，故函數f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質性質如果在D上，f(x,y)<\|/(x,y),則有不等式J〔f(x,y)dxdy<IJ\|/(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|<f(x,y)<|f(x,

y)|又有不等式y)dxdy回|f(x,y)|dxdy.性質設M,m分別是f(x,y)在閉區域D上的最大值和最小值，◎是D的面積，則有mo4f(x,y)doWM6。

性質(二重積分的中值定理)設函數f(x,y)在閉區域D上連續，◎是D的面積，則在D上至少存在一點&：])使得下式成立：Uf(x,y)do=f&鏟。4、

二重積分中標量在直角與極坐標系中的轉換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數中的x,y分別換成ycosO、rsinO,并把直角

坐標系中的面積元素dxd

線代部分

概念、性質、定理、公式必須清楚,解法必須熟練，計算必須準確

A可逆

r(A)=n

瑚列(行)向量線性無關

A的特征值全不為0

Ar=。只有零解<=>\fx^o,Ax^o

VPeR",Ax=￡總有唯一解

A是正定矩陣

A^E

A=pg…p.,p,是初等陣

存在〃階矩陣氏使得AB=E或AB=E

?：全體〃維實向量構成的集合R叫做n維向量空間.

A不可逆

r(A)<n

|A|=0o朗勺列(行)向量線性相關

0是砸特征值

Ax=。有非零解,其基礎解系即為A關于4=0的特征向量

r{aE+bA)<n

@,￡+刎=00/4七+必)》=0有非零解

.2=-f

向量組等價

矩陣等價（二）

』反身性、對稱性、傳遞性

矩陣相似（）

矩陣合同（）,

J關于q,6,…，，

①稱為"的標準基，”中的自然基，單位坐標向量外材87；

e

②G,…,n線性無關;

③標,4,…聞=1;

(4)trE=n；

⑤任意一個〃維向量都可以用e”02，…,2線性表示.

4.

a2\ain

行列式的定義|D“==E(一1)"""%'

J\J2Jn

an2an?

V行列式的計算:

①行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.

推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.

AAO=HIM

0*B

②若A與8都是方陣（不必同階），則（拉普拉斯展開式）

0

=(-ir|A||B|

B3

③上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.

*04“

a2n-\a2n-\n（n-i）

④關于副對角線：—

=（—1廠廠4“生”ani（即：所有取自不同行不同列的八個元素的乘積的代數和）

an\0??10

111

玉x2X“

⑤范德蒙德行列式：X\X2X：=na-*

\<j<i<n

耳I短

(卬?I24.、

a2n

=(%L或/〃

矩陣的定義由"zx〃個數排成的相行n列的表A稱為〃2X72矩陣.記作：A

\ant\am2

A\

Ai4iAH

伴隨矩陣IA*=(AJ="AzA"，&為|A|中各個元素的代數余子式.

、A〃4〃

V逆矩陣的求法:

①T(ab\1(d-b主換位

?：=-------

kcd)ad-bc\-ca副變號

-1

②(AE)初等行變換>(EA)

V方陣的幕的性質：AmAn=A""+n(4")"=0嚴

J設4*"，紇xs，A的列向量為%%…，a“，B的列向量為*氏…,女,

42瓦、

/、%b”b、./、

則鉆=Cg=(即。2,…，％)-""=(。，‘2，，G)<=>明=q(z=l,2,,5)。丹為Ax=c;的解

&“2b-

oA(44?.,)?/A=?⑶朋(A?,p,oc“2，,q可由4,a2，4線性表示?即：C的列向量能由4的列向量線性表示，B為系數矩陣.

同理：C的行向量能由B的行向量線性表示，A，為系數矩陣.

4?12

即,、a\\P\+。12夕2++即0=。

aa?\0i+。22夕2+

。21。222nAC2+4他=G

即：—o<

[4。an2)邛〃,Cm，am\P\+。川2夕2++。,“戰=c

V用對角矩陣A?乘一個矩陣,相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的⑥向量;

用對角矩陣A@乘一個矩陣，相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的@向量.

V兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘.

(AC，、

分塊矩陣的轉置矩陣：

3

（Ay

分塊矩陣的逆矩陣：——

B-')〔3)lA-1J

eV'%(A.<?￥'_(0、

小B)[cB)八一十次B,

4、4為、

分塊對角陣相乘：A=4,B==AB=,4"=f4]

k^22>

&J、“22B??,[A)

A、(BA,A)*，(-1)“A⑻

分塊對角陣的伴隨矩陣:)=[(一1)”卻A*

BJAB)

矩陣方程的解法（IA|00）：設法化成（I）AX=8或(n)X4=B

⑴的解法：構造（AX）

（II）的解法：將等式兩邊轉置化為"X7=8。

用（I）的方法求出X。再轉置得X

①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.

②單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.

③部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.(向量個數變動)

④原向量組無關，接長向量組無關；接長向量組相關，原向量組相關.(向量維數變動)

⑤兩個向量線性相關O對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關p軟林/

⑥向量組中任一向量a都是此向量組的線性組合.

⑦向量組％,%，…,區線性相關。向量組中至少有一個向量可由其余〃-1個向量線性表示.

向量組囚,。2,4線性無關o向量組中每一個向量6都不能由其余〃-1個向量線性表示.

⑧〃，維列向量組囚,名，…,％線性相關=r(A)<”；

m維列向量組名,％,…,火線性無關or(A)=〃.

⑨若a”a?,…,4線性無關,而4線性相關,則《可由a”％線性表示,且表示法唯一.

⑩矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩=矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數.

行階梯形矩陣|可畫出一條階梯線,線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當非零行的第一個非零元為

1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時，稱為|行最簡形矩陣

@矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系；

矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關系.

即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.

V矩陣的初等變換和初等矩陣的關系:

對A施行一次初等⑥變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣⑥乘A；

對A施行一次初等@變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣的乘A.

矩陣的屬如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r+1階子式均為零，則稱矩陣A的秩為九記作"A）=r

向量組的秩|向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為這個向量組的秩?記作廠（4,。2，，區,）

矩陣等價|A經過有限次初等變換化為B.記作：A=B

向量組等價|%,%，…，%和笈,&…，月”可以相互線性表示?記作：（4，%「、4）=（凡42/一，力,）

?矩陣A與3等價o~4Q=8,尸,。可逆0r（冷=r（3）,43為同型矩陣/>4,3作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.

矩陣A與B作為向量組等價o廠（%4,…,%）="（4用，…血）="%,4,…%，用，用，…,月）=>

矩陣A與3等價.

Ax

?向量組后，尸2,…,后可由向量組a，%…，%線性表示0=B有解Or（a,,a2,--,an）="（/,%…a”,4四，…，⑷=>r（4四，…，力.）W”囚.,.

?向量組4，4…,見可由向量組…線性表示，且s>〃，則四,外…血線性相關.

向量組片血，…，氏線性無關，且可由％%線性表示，則5W〃.

?向量組片,用,…0可由向量組%4,…，4線性表示，且/■（4外…,&）=?%4，…，4），則兩向量組等價；P

?任一向量組和它的極大無關組等價.向量組的任意兩個極大無關組等價.

@向量組的極大無關組不唯一，但極大無關組所含向量個數唯一確定.

?若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.

?設A是〃7X/2矩陣，若r(A)=/〃，A的行向量線性無關；

若r(A)=〃，A的列向量線性無關，即：線性無關.

V矩陣的秩的性質:

①若若A=O=r(A)=0°wr(4?x?)wmin(m,n)②r(A)=)=r(A'A)P教材101,例15

③r(M)=r(A)若左w0

④右小4紇"，，右什"一B)=八n在fr(勺A)列+向r(量B)全<n部是以=曲解

⑤廠(AB)Wmin{r(A),r(B)}

若4可逆=>r(AB)=r(B)

⑥二二KV即：可逆矩陣不影響矩陣的秩

若3可逆=>r(A8)=r(A)

oAr=o只有零解

一fr(AB)=r(B)

⑦若KA?x?)=6

AB=OB=O

A在矩陣乘法中有左消去律

AB=AC^B=C

r(AB)=r(B)

若“紇><.,)=〃=>'

3在矩陣乘法中有右消去律.

(EO\(Ro\

⑧若r(A)=r=>A與唯一的r等價，稱'為矩陣帕勺等價標準型.

{0O[O0

?r(A±B)^r(A)+r(B)max{r(A),r(B)}Wr(A,B)Wr(A)+"B)

'A'AC、

⑩r38人(°=r(A)+r(B)w?A)+r(8)

0、°B,

/<=>Ar=(有無窮多解當仍方陣叱>|A|=0

<〃(u>表示法不唯一

,a“線性相關oAx=0有非零解

夕可由4,。2,，a.線性表水oAr=￡有解<=>r(A)=/3)<

JoAx=Q有唯一組解棄您方陣時_>閨聲on克萊姆法則

=〃(o表示法唯一

\,4,線性無關04犬=0只有零解

Or(A)豐r(A夕)

夕不可由4,%,,%線性表示0加二"無解〈0r(24)<〃(4)

B教材72

=r(A)+l=r(A/?)

講義87

Ax=加有無窮多解其導出組有非零解

@:

Ax=/有唯一解其導出組只有零解

線性方程組的矩陣式|Ax=fi向量式|xial+x2a2++xnan=/3

rT1叫=|A|r77

矩陣轉置的性質：W=A(AB)=(kA)=kA'(A±B)=A'±B⑷)，=(H)T（AT）*=（A*）T

矩陣可逆的性質：⑷尸=A(AB)-1=B-'AT'(M)-1=k-'AT'(A±BY'A：'±B-'⑷)*=(A&)T=W

伴隨矩陣的性質：.3『A(AB)*=8*A*(M)*=r-'A*(A±3)*")*="=俞（A*）*=（A*）￡

n若r(A)=n

r(A*)=<1若r(A)=〃-l網=耶］|M|=F|A|1^1=14M土同小土國A4*=A*A=E（無條件恒成立）

0若

(1)7,7為是Av=o的解，7+%也是它的解

(2)〃是Ar=。的解,對任意仁切也是它的解.,,

>，欠萬不B于幺a口

⑶7，%，，%是Ac=。的解，對任意攵個常數

4，為，4，也是它的解.

線性方程組解的性質：(4)7是4%=燃解，〃是其導出組Ax=o的解,/+〃是Ar=￡的解

⑸小,仍是Ax=夕的兩個解,7-%是其導出組Ax=o的解

(6)%是加=夕的解,則7也是它的解o7-%是其導出組Ax=o的解

(7)7，%,，%是Ar=￡的解，則

+4%+4%也是加=P的解o4+4+4.=1

+否%+4%是=o的解4+4+4=。

■J設A為mx〃矩陣，若r(A)=m=r(A)=r(A。)=Ax=尸一定有解,

當〃2c〃時,一定不是唯一解n,<—V,?.則該向量組線性相關.

向量維數向量個數

機是"A)和"A4)的上限.

V判斷丐外，，〃,是Ax=。的基礎解系的條件:

①7，%，，/線性無關；

②/,%,都是Ax=o的解；

③s=〃-r(A)=每個解向量中自由未知量的個數.

V一個齊次線性方程組的基礎解系不唯一.

V若〃*是Av=〃的一個解，44，?.是Ar=。的一個解=>4*，后,〃*線性無關

VAx=o與Br=o同解(A,B列向量個數相同)，則：

①它們的極大無關組相對應,從而秩相等;

②它們對應的部分組有一樣的線性相關性;

③它們有相同的內在線性關系.

4兩個齊次線性線性方程組Ar=。與&=。同解or=r(A)=r(B).

B

V兩個非齊次線性方程組Ax=尸與Bx=7都有解，并且同解O=r（A）=r（8）.

V矩陣A“*"與片*“的行向量組等價。齊次方程組Ar=。與Bx=。同解oPA=8（左乘可逆矩陣P）；

，教材101

矩陣A“*"與5*”的列向量組等價oAQ=B（右乘可逆矩陣。）.

v關于公共解的三中處理辦法：

①把（I）與（H）聯立起來求解；

②通過（I）與（H）各自的通解，找出公共解；

當（I）與（口）都是齊次線性方程組時，設7,4,小是（D的基礎解系，/，%是（II）的基礎解系，

則（I）與（II）有公共解O基礎解系個數少的通解可由另一個方程組的基礎解系線性表示.

即：廠（7，%,彷）=?7，〃2，730小+。2%）

當Q）與（H）都是非齊次線性方程組時，設5+eg+Q%是（D的通解，$+是（II）的通解，

兩方程組有公共解o芻+c*3—芻可由7,%線性表示.即：

?/，%）=-7，〃2芻+。3〃3一,

③設（D的通解已知，把該通解代入QD中，找出（I）的通解中的任意常數所應滿足（II）的關系式而

求出公共解。

標準正交基|〃個〃維線性無關的向量，兩兩正交，每個向量長度為1.

--------------------------------------------------------------------------?.______________________________

向量。二（4嗎，，。〃）與夕=（々也，也J的內積（a,0）=工咕=（岫、+a2b2++。也

-------------------------------------------------/=i

。與力正交（。,尸）=0.記為：a工B

--------------------------------“I--------------

+a

向量a=（o1M2,，%）的長度同=，（a,a）=Zd=Ja：+W+n

----------------------------j=l

a是單位向量||a|二J（a,a）=l.即長度為1的向量.

J內積的性質：①正定性：（。,。）20,且3。）=0=。=。

②對稱性：（a，B）=（B，a）

③雙線性：（a,4+乩）=（%㈤+（a,尾）

（0+。2，0=（如p）+（。2，0

（ca,%=c（a,B）=（?,c/3）

A的特征矩陣|AE-A.

A的特征多項式||2E-A|=^/l).

VM/l)是矩陣A的特征多項式=>°(A)=O

A的特征方程||4E-A|=0.Ax^Ax(x為非零列向量)->Ax與x線性相關

V|A|=44A￡；4=trA,trA稱為矩陣A的網.

1

V上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的〃各元素.

V若|川=0,則4=0為A的特征值,且Ax=。的基礎解系即為屬于2=0的線性無關的特征向量.

22

?J”A)=1oA一定可分解為A=0色,h2,,bn),A=(albl+a2b2++a*“)A,從而A的特

兒

征值為：4=trA=q偽+4偽++叫,4=4==4,=°P卅南358。

?(a?a2,,%)，為A各行的公比，侑也，，〃)為A各列的公比.

V若A的全部特征值4,4，,4,，/(A)是多項式，則：

①若A滿足f(A)=O=>A的任何一個特征值必滿足/(/,.)=0

②/(A)的全部特征值為〃4)J(4)，JW；|/(&|=/(4)/(4)fW-

V初等矩陣的性質:

1M,/)|=-1|及激)]|=%|即"切|=1

Eli^Y=E[i(k)]=E[j,i(k)]

=￡[*)]E[i,j(k)]-}=E[i,j(,-k)]

仇欣）］*=田電）］

V設/(幻=?/"+4,_]1++4*+%,對〃階矩陣4規定：/04)=。,“4"+4?_61++4A+/E

為A的一個多項式.

kA/a

aA+bEaA+b

Ar2

%是4的特征值,則:，A-1分別有特征值

44%

A*-=2

4

Am