考研數學(數學二)模擬試卷1(共9

套)

(共206題)

考研數學(數學二)模擬試卷第1套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

且「

1、設敢)連續,則d“J?敢+y)dy為().

A、0

B、f(x+b)

C、f(x+b)—f(x+a)

D、f(b+y)-f(a+y)

標準答案：C

知識點解析曲=［仆+明/+山=匚/3加則

丹/(/+y)dy=%JJ

"J-dEwf(u)du=f(b+x)-f(a+x)?選C

2、用待定系數法求微分方程y〃一y=xex的一個特解時，特解的形式是()(式中a,b

為常數).

A、(ax2+bx)ex

B、(ax2+b)ex

C、ax2ex

D、(ax+b)ex

標準答案：A

知識點解析：先求特征根r,如r有等于1的單根，則y*=x(ax+b)e'；若有等于1

的重根，貝I」y*=x2(ax+b)eX；否貝ijy*=(ax+b)eX.解y"—y=0的特征方程是J一

1=0,特征根為口=1；「2=—1；y"一產xeX中自由項f(x);xeX,a=l是單特征根，應

設y*=x(ax+b)ex=(ax2+bx)ex.

設/(力是連續函數，且/Q)=["，)或，則"切等于《).

(A)-e-V(e-*)-/(x)(B)-e-x/(e-z)4-/(x)

(C)e-x/(e-*)-/(x)(D)c-x/<e-x)+/(j)

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【解析】r<x)-/(e^)(e-*)/-/(x)=-e-V(e-*)-/(x).應選(A).

3—.,#o,

4Jr

4、設f(X)=“?1=。?在％=0處連續，則政)在％=0處().

A、不可導

B、f(0)=In23+l

]_

C、F(0)=2(]n3+l)

D、f(0)=^(ln23+l)

標準答案：D

lim/u)=lim匕匕=2=Iim/3LZ_14

知識點解析：？—「一I.?/)U+ln3,

[3'+c'-2

.r#0.

因為f(X)在％=0處連續，所以=a=l+ln3,于是f(?=1】十卜用.j=0.

..，(/)—，(0)..3'+(?'—2—(1+33)/

hm2-----------工------=lim--------------------;------------------

jX??"J

=lim⑶一力：3十口二2=舁73+)

又因為j-?。LxL,所以

2

f(x)在x=0處可導,且r(0)=2(]/3+1),選D.

5、

設4為三階方陣,4,4表示A中的三個列向員，則I41=144AI等于()

(A)IA39A2,X|I(B)I41-42-AM-4I

(C)I-4,,-4,,-4)I(D)I24,--4I

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【考點點撥】本題考查的知識點是:疔列式債的求解.

[解析]-4.?4,-4I=(-1)"44,4I=(-i)'l冊I=14,441="I,

故應選(C).

6、設yi(x),y2(x)是微分方程y”+py，+qy=O的解，則rflyi(x),y2(x)能構成方程通

解的充分條件是().

A、y'iy2—yiy'2=0

B、y'iy2-yiy'2#)

C、y'iy2+yiy'2=0

D、y,iy2+yiy,2^0

標準答案：B

知識點解析：yi(x),y2(x)能構成微分方程y”+py，+qy=O通解的充分必要條件是

、(了)不是常數,即屬利I*行(1)翔，選(B).

7、設f(x)滿足f"(x)+x[f'(x)]2=sinx,且f'(0)=0,則()

A、f(0)是f(x)的極小值.

B、f(0)是f(x)的極大值.

C、曲線y=f(x)在點(0,f(0))左側鄰域是凹的，在右側鄰域是凸的.

D、曲線產f(x)在點(0,f(0))左側鄰域是凸的，在右側鄰域是凹的.

標準答案：D

知識點解析：由f(x)+x[f(x)『一sinx有f'(0)=0,再求導，得

..r(^)-Ao).

，，，，C9，，，?II

f(x)+[f(x)T+2xf(x).f(x)=cosx,f(0)=1.所以2L0由保號性知，

存在x=0的去心鄰域"，當且xVO時，f(x)vO；當白且x>0時，

f"(x)>0,故應選D.

已知::::;設尸(％)=。⑴市(OWE),則F⑴為().

<1家Ow4<1

(A)3(B)

x.x,1W4W2

3

4-x?OCx<1卡2<1

(C)3(D)

x-1,1WXW2x-1,1

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：暫無解析

二、填空題(本題共6題,每題7.0分，共6分。)

9.設A為三階實對稱矩陣，oq=(m,—m,1)T是方程紅,A%=0的解，a2=(m,

1,l-m)T是方程組(A+E)x=O的解，則1!1=.

標準答案：1

知識點解析：由AX=O有非零解得，r(A)V3,從而入=0為A的特征值，a(m

—m,l)T為其對應的特征向量；由(A+E)X=O有非零解得r(A+E)V3,IA+

EI=0,入=-1為A的另一個特征值，其對應的特征向量為a2=(m,1,1—

m)T,因為A為實對稱矩陣，所以A的不同特征值對應的特征向量正交，于是有,

m=I.

01On5rl0Oyl0O-i4

100050011

JL3北001-

10、已知A=0°100則A',=

-01o-

1/50-4/3

標準答案:001/3」

知識點解析:

?010]2

因為100E,所以

001-

1oor100-

又011014

-0o1--001-

01oo-ir1o0-

于是A三100050014

■001人003兒001-

-1000-010-

A-'=o14050100

-0oJL。03--001-

10oiri0oyo10-?010■

01-401/501001/50-4/3

-001JLoo1/3JL001--001/3-

11、

3

xcos%-sinx

dx-

cos2x

標準答案:

■re"**-e^sccr+C.

知識點解析：

【分析】可分解為兩項，分別用分部積分即可.

【詳解】原式=fxe,m'co^-［《季衣

3chs

=「-fe^dx-eTccx+/

=---J",?+C.

【評注】不定根分卜皿公無法直接求H,但通過分解為兩項分別稅分后得以和消，這是求不定積

分的常用處理技巧?

12、

/<-otx)dx

標準答案：

應填AH

知識點解析:

(分析】可與您先處三角恒等變形.再作變最代換.

【詳四，…標,則血=喘=皆&

故I-怎7.

【詳解3］用三角函數的恒等變換,

cas(x-于)

$i「x?鴻》

九y^5inxco5xE"一子》

:【評注】含有三角的式:lanr=n.

存在

13、設f(u)在u=l的某鄰域內有定義且f(l)=0,『⑴一―a,則

lim/((n"+c°s/八小】3?r

I(e"4-1)sinx=.

3

標準答案：~^0

1加/(@""+8§z)Ian3**)f(sin2.rI-cos-c)3x

S-Dsinx

f(sin%+cos.r)

ni-「f(sin%+cos”)一/'⑴sin27+cosz-1

=3現siK+cosLl------------?

知識點解析：=3[/⑴?(T)]=1■/⑴Ta

式中(*)表示

等價無窮小替換.

14、設f(x)在[0,+8)上連縹在(0,+8)內可導,當XW(0,+8)時，f(x)>0且單調

f[x}dx+J&(y)dy

上升，x=g(y)為y=f(x)的反函數，它們滿足"⑼=t3(t>0),則f(x)

的表達式是_________.

標準答案：f(X)=x2(xX)).

知識點解析：現簡化題設方程的左端式子，有

r/(?)

變發替換r.r1

gG)dy7^rf/[/(x)]d/(x)

==xf(z)|-O(x)d#,

r1,M”

于是1/(x)dx+g(y)dy=tf(t),

JOJKO)即tf(l)=t3,f(t)=t2(t>0)

因此f(x)=x2(x>0)

三、解答題(本題共9題，每題7.0分，共9分。)

15、

求微分方程y"+4V+4y=ef的通解(一般解).

標準答案：

【解析】所給方程為常系數的二階線性非齊次方程.特征方程八+“+4=。+2>=0

有二重根門=匕=一2,而非齊次項e%a=-2為重特征根,因而非齊次方程有如下形式

的解

Y=Xx2e-U,

代入方程可得4=右故所求通解為尸(G+CRee+呆

知識點解析：暫無解析

16、

討論方程In2i：+ln2(l-z)=fl在(0,1)有幾個根？其中a為常數,

標準答案：

【解析】此題考查零點存在定理，其實質是對函數增減性的判定.

令f(z)=ln2%+ln2(l一力-a得

小)=2也_23二2

x1-z

為了判斷/(力的符號，我們考察g(G=乎，則

g/(x)=kz7^>0(x€(O,D).

即8G)在(0,1)單調遞增.于是工(0,1),若iVl一上，即?時/(力<0,

X>l-X即?時J(公>0J(1j=0.

這就證明了f(力在|o用單調下降JG)在E，l)單調上升，在處f(z)取(0,1)

上的最小值y=〃幻的圖形只可能有三種情形，如圖所示.

①若々<21/2,則1)>0,(Vx6(0,1)),所以/包)在(0,1)無零點,ln%+

ln2(l—x)=a在(0,1)內無根.

②若“一21n?2,所以；j=O,x€(0,1)且工：；,

于是/Gr)在(0,1)有唯一零點一得,、、〉?”】一1)—在(0,1)有唯一根工=1?

uL

③若a〉21n%由于lim/(j：)=+<??/[=2屁2—.<0JGr)在單調.

于是/(外在10,1j有唯一零點，同理f⑴在仕,1)有唯一零點.

故z)=a在(0,1)恰有兩個根.

知識點解析：哲無解析

17、設z=f(x,y)在點(I,2)處存在連;了一數，目1-2)=2,fy'(l,2)=3,

IT"'⑺兒J

fy(1,2)=4,(p(x)=f[x?f(x,2x)].求

余卬3]二蕈

7)]+-0?/Cra)]￡/Cr&〉

"0,/G?2r)]+―?/(—一)；|[/《￡&)+2/5皿

=/(】,2H/(1.2)匚，(l.2)<-2/1(1.2)]

標準答案：=3+4X(3十8)=47.

知識點解析：暫無解析

18、設函數y(%)在區間[0,+8)上有連續導數，并且滿足y(%)=—1+%+2依(%一

t)y(t)yf(t)dt.求y(x).

標準答案：對所給方程變形y(%)=—l+%+2xJoZy(t)y'(t)dt—2j(/ty⑴y")dt.方程兩

端對％求導，得y'GOn+ZjoMOyTOdt,繼續求導，得y"(x)=2y(x)y<%),且y(0)

女

=-1,/(0)=1.微分方程不顯含自變量％,々P=y一方程可化為pd*=2py,

這是自變量可分離的微分方程，求得通解為P=y2+C],即y，=y2+c],由y(0)=

]

—1,y〈0)=l可得，C|=O,從y，=y2,所以y=一工+。.再由y(0)=-],得c?

]

=1,故函數丫=一1+1.

知識點解析：暫無解析

19、一個瓷質容器，內壁和外壁的形狀分別為拋物線y=

身1和y=觸，軸的旋轉面'容器的外高為。比重為嬴把它鉛直地浮

在水中，再注入比重為3的溶液。問欲保持容器不沉沒，注入液體的最大深度是多

少?(長度單位為厘米)

x2

標準答案：設容器體積為V,容器的容積即由拋物線y=^+l在[1,10]上繞y軸

旋轉所得立體的體積V],則

joo

V=pJ10/dy=50071■，匕=ITJ10(y-1)dy=405TT,

所以，容器重量為(V-匕)得二4髀。

設注入

液體的最大深度為h,則注入液體的重量為3辦h+l]O(y—1見丫=15行?，若液體和容

2375….2

■+IJTT/I

器形成一體的比重為I,則可保持其在水中不沉沒，所以由I而=1,

可得h2=25,h=5o

知識點解析：暫無解析

20、

設/(x)在區間［0,1］上連續且不恒等于。，求正常數A及函數/(x)使

A^/(y)min{x,,y}dy=/(x).

標準答案；°

【解】/(x)==入Jo，(y)ydy+J

由于右邊時％可導，故/(x)存在，將上式兩邊對工求導,得

小工).A(x/(x)+J—x/(x))-A|/*(x)---A/(x),

得，a)+“Gr)=0.

解得/(G-CiCOsT^r+QsinTXr.

由題給式子可知/(0)-C,所以c=0,所以/(外=czsinj丘.代入/(n)=f：/(y)dy

nK2

中，得c2Vicos#=0,若cz.0，則八幻三0,不符要求.從而”?的+三，2-(+f).

此時，有不為零的解

/(n)=qsinQ”+/)工，〃=0,±】，±2,.....

知識點解析：暫無解析

21、求心形線r=a(l+cos。)(常數a>0)的全長.

標準答案：極坐標曲線r=r(9),在區間處0印上的弧長公式為S二1由代

入此公式，由弧對稱于極軸，則

S=2j>/a2(14-cos5)14-a2sin^cW=2a|J'Z+2?cosOdd

=甸o051小=4ajcos--d^=8asin-y|=8a.

知識點解析：暫無解析"

己知三元二次型f(X］,X2,K3)=XTAX其矩陣A各行元素之和均為0,且滿足

101-

8:011

AB+B=0,其中~1一一2」

22、用正交變換把此二二次型化為標準形，并寫出所用正交變換；

0=0

標準答案：因為A各行元素之和均為。，即L］」1］」由此可知入=0是A的

特征值，ai=(l,1,1)T是2=0的特征向量.由AB=-B知一1是A的特征值，

(12=(1,0,一1),，013=(0,1,—1)丁是人=-1的線性無關的特征向量.因為012，

013不正交，將其正交化有B1=C(2=(1，0,—1)T,

x1Ax=y1Ay=-y22-y32

知識點解析：暫無解析

23、若A+kE正定，求k的取值.

標準答案：因為A的特征值為-1,-1,0,所以A+kE的特征值為k―1,k一

1,k.那么A+kE正定的充分必要條件是k>l.

知識點解析：暫無解析

考研數學(數學二)模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

■11-2-

1-21

1、設人=。-211」，則下列矩陣中與A合同但不相似的是

1-21-

-24-2?

A、-1-21

rl

3

「300?

000?

C、I。0一」

?001-

000.

D、L00」

標準答案：D

知識/解析：首先可排除A,因為r(A)=2,而A矩陣的秩為1,所以它與A不合

同.兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負性一樣.(即正，

負數的個數對應相等.)而相似的充分必要條件是它們的特征值相同.因此應該從

計算特征值下手.求出I九E—AI=入(入+3)?-3),A的特征值為0,—3,3.顯

然(C)中矩陣的特征值也是0,-3,3,因此它和A相似，可排除.剩下選項B、

D兩個矩陣中，只要看一個.D中矩陣的特征值容易求出，為0,—1,1,因此它

和A合同而不相似.

2、

若〃階非奇異矩陣A的各行元索之和為2,則AT+A2必有一個特征值為().

(A)-I(B)2(C)4(D)|

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

詳解由于非奇異矩陣各行元素之和為2

4=2是A的特征值,由于A可逆

???斯=今是A-1的特征值且2Z是￡的特征值

故A-1+*有一特征值為J+2^=4

設連續，且/(*y)=J，/+#"[初/'(明義)九其中D為區域：0這4w1,

D

owyw1,則吆等于

dxJdy

(A)4町e'""+^(e-I)2.(B)2町e，""+^(e-1).

(C)4*2+號(e-(D)4+條(e-1).[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】注意/町**‘)心力為常數，只需確定此常數即可.

*y)上。=4則由/(z.y)=e,.*+"/水3外心的,有

/(x,7)=em戶+/ky,

x#(x,y)-+4?/

于是.4=^jxxf(x,jr)dxdy=^xyex2*f2dxdy+A^y^dxdy,

ODn

即有4=-_(e-l)2+_1乂=A=*"-1)，.

可見./(”)=/2+蓑"-I)?初故

筆產=3產'+豕e?DL

uXoyJ/

因此應選(C).

*

【評注】類似問題也可從含有定積分的等式來考杳，如巳知

/(*>-￡父)+的，求/(*)?

4、

已知/'(%)在點*=0處連續,且1叫外?\=-1,則

(A)/(0)是函數/(*)的極小值.

(B)/(0)是函數/(%)的極大值.

(C)(0J(0))是曲線y=/(%)的拐點.

(D)/(0)不是/U)的極值,(0J(O))也非曲線y=/(x)的拐點.[】

A、

B、

c、

D、

標準答案：B

知識點解析：

【分析】由已知極限及導致定義.可求得/'(0)及/，0).

【詳解】由=lim小支=-1，知/'(0)=。/X。)=-1.故/(。)是

“劣inv1+x/x

y=/(x)的極大值.

"評注】若〃幻在0處連續,且1而”=4則/(。)=(),/'(%?)=4

5、

sinTs￡0

設函數，(Z)H{X(”為正整數)，則使，(N)在點1=。處連續的最小正整數為

0,x-Q

(A)n=1.(B)n—2.

(C)n=3.(D)n=4.

[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

分析:由04^sin-；|<|Tr知，當n>0,有史yCr)=0=/(0).由導數定義，得

0,x=0?

而lirn/^Cx)—呵(arising-x*-2cos-j.

由此可知，當且僅當“>2(即〃=3,4,-)時,所求極限存在，且其值為零,于是知〃=3才是使人工)在點

工=0處連續的最小正整數.

6、

設D為Qy平面上以A(LD,B(1，-1),以一1,一1)為頂點的三角形區域.。為D在第一象限

部分，則。(xy4-sinx?8sy)drd3等于

(A)0,(B)川qdxd?

(C)叫sinz?cosydrdy.(DM。Gry+sinr?cosy)drdy.

D,D,

[]

A、

B、

c、

D、

標準答案：C

知識點解析：

分析:如圖2—7—1所示,將區域。分割成小，D2，A，D,四部分,

顯見D1與A關于工軸對稱,D，與D,關于y軸對稱,而到對于工或y都

為奇函數，故gdrdy=dxdy+xydxdy==0.又sinz?cosy對

于工是奇函數，對于y是偶函數.故

sinx?cosydzdy=2Hsinx?cosydxdy,

0sinx?cosydzdy=0*

巡

因此,選項(C)正確.

7、設函數f(x)在(-00,+8)上連續，其導函數的圖形如右圖所示，則心)有

A、一個極小值點和兩個極大值點

B、兩個極小值點和一個極大值點

C、兩個極小值點和兩個極大值點

D、三個極小值點和一個極大值點

標準答案：C

知識點解析：設導函數的圖形與x軸的交點從左至右依次為A,B,C,在點A左

側r(x)>0,右側『(x)V0.所以點A為f(x)的極大值點，同理可知點B與C都是

f(x)的極小值點.關鍵是點。處，在它左側r(x)>o,右側r(x)vo,而f(x)在點o

連續，所以點O也是f(x)的極大值點(不論在x=0處f(x)是否可導，見極值第一充

分條件),選(C).

8、下列反常積分

①/~2?②](e*1?—y?加.③/④「

Jo/+4力+3Jo\1+X2/Jo九w中收斂

的是

A、①②.

B、①③.

C、②④.

D、③④.

標準答案：B

知識點解析：這四個反常積分中有兩個收斂，兩個發散.找出其中兩個收斂

①廣/出:/；=/X告-七)乙

*?=?in±*ln3.

2x+3o232

=①收斂.

③J「pe7ch.I；?產品"工.#產J；.畀；,"

=-3廣」

2%2

的.=③收斂.因此選(B).

二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

9、

曲線/(x)=X3+以與g(x)='2+。都通過點(一］,o)，且在點(一1,0)處相切，則

a=________,b=________,c=________.

標準答案：-1,-1」.

知識點解析：

【分析】利用已知條件：/(-1)=g(—1)=0,/(-1)=/(-1),可確定a.b.c的值.

【詳解】由fQc),虱力在(一1,0)處相交，得

(―1-a=0

{=>a=—L6=-c.

lb+c=0

由f(x),g(x)在(一1,0)處相切，得

/(-I)=/(-1),

即3+a=-26=a=-1,6=-l,c=1.

(【評注】此題的考點是導數的幾何意義.f

10、

設/(工)，屋彳)是連續函數，FCr,y)=1九//(“)&(5)市,則募=.

標準答案/⑴G).

知識點解析：

解

g=x/(x)g(l).

II、已知三階方陣A,B滿足關系式E+B=AB,A的三個特征值分別為3,—3,

0,則IB/+2EI=.

標準答案：=?8

知識點解析：因為A的特征值為3,—3,0,所以A-E的特征值為2,—4,

1,從而A-E可逆，由E+B=AB得(A-E)B=E,即B與A-E互為逆陣，則B

1

的特征值為了，-1的B"的特征值為2,-4,-1,從而B」+2E的特征

值為4,-2,1,于是lB"+2El=-8

12、

設函數丁=g(i)是由方程X5—arccos>=”所確定，則y=膜])的定義域是.

標準答案：

L—,—FlU

知識點解析：

【解析】因為arccosy6[0,打，所以0《二一“即/〈(2兀解之.

13、

.tanG+a)-tana

贏答案:

]

cos"

知識點解析：

【解析】lim西紅土9二四=limCOMsinJ+a)-“inacoK.r+a)

xcosacos<x+a)

1

=limsinx

r-M>

14、

設積分區域D由曲線y=后直線y==2所圍成，則二重積分口sin浮的=

標準答案：

1+-7t

知識點解析:

計算.故應先對工積后對y積分，亦即應先對y定限.

=_j）d（sin詈）

=-ysin詈+sin窿dy

尸1i，

2

=o+l-—cos

7t2y-l

=1+T

三、解答題（本題共9題，每題1.0分，共9分。）

A+I-2-2-

-2A>12.設B是三粉多零方陣，且川?。,求人的值?并間人為

-22A?I

何值時，有r（B）最大.

15、

標準答案:

【詳解）因故方程組=0而非不蚪.從而IAI.0.由

-(A-l)((A*3)(AfI)-8)=(A-l)2(A*5).

故/A=IJiA=-5時.存在非零陣乩使得A"=0.

-4-2

2l.r(4)=2.她，(5)<1.

當A=-5lH4=-2-4

-22

因B*0.故r(5)=I.

2VI"的⑷WZ

當A=I時.A=-2

-222?

故當入=I時.存在集零陣可取到得大值2.

:[評注]芍AB=0.期B的對向，為方程細心=0的解.

????????????????????????????????0????????—，6???

知識點解析：暫無解析

ff[coM2?iny2+?in(x+y)]do

16、計算二重積分2其中D={(x,y)Ix2+y2<a2,常數a>

0.

標準答案:

〔cosx^iny2+sin(A;>y)]da=，cos/siny2do+Jsin(x+y)do,將。中的x與y交換,

DD

。不變,<所以

cosx2siny2d<r

中，將被積函數中的X與y交換，該積分的值亦不變.于是有

/,=llcoM28iny2d47Jco8y2sinx2d(r,

又/j-----Jsin(x+y)da=j^(8in?co?y+8inycosx)da

DD

=Jsinxcosyda+Jginyco&xda,

由于sinx是工的奇函數.*i”是y的寄函數，且。既對稱于）,軸，又對稱于*軸,所以

j^Binxcoayda=0,『inycoBxdo=0.

22

于是J[coix?in/??in(x?y)]da?/1?/2?y(1-ct>?a).

知識點解析：暫無解析

=J：(]e"dz)dy

d<y

-J2').

知識點解析：的無解析

ln（cosj?八一工‘）

lim

L。『八彳一￡）&

18、設f(x)連續且f(0)=0,f(0)=2,求極限

標準答案:由Hf（x-t）=ToXf（（xT）d（x-t）=ToXRu）du=JoXf（u）du,

/(X-r)d//(u)dw

Hm這片儂=華=]

再由lim匯——

"0X…2x2得1o'f(x—

7

l)dt?x,

工日.ln(cosx?</1—r2)ln(cosx?J\-x

于是lim---7-----------------lim----------：------

—Jo/(x-r)drI工

1-ln[l+(cosx"八一工'-1)J..cosx?J\—xi--71—x2+J1—12—1

U叫；---------------lim---------------------；-------------------

-1；Ef\---TTcosx-1..A/1—xl-1..cosx-1...八—Z*—1

-limVl-x?----j-+lim-----j-------lim----；----Flim----——-

IxIXI…xl

知識點解析：暫無解析

19、

設/為連續函數,求證:j/（x-y）dxdy=-I11）d，,

其中。為：lIylW寺（4為正常數）.

標準答案：

【詳解】J7（x-y）（kdy

=也］;/（，）山（變量代換”-y=0

=「曲阜/⑴曲+f&fj（，）dx（變換積分次序）

=外山+（70）（4-￡）也

-IM）山+//（，）?-Irl）dr

=Jy（O（X-lrl）d：

知識點解析：暫無解析

20、求星形線'>=asinI'」的質心.

標準答案：利用曲線質心坐標的計算公不直接計算.一定要記住質心坐標的計算公

式.解設該曲線的全長為Z,質心為GJ),則曲線的質心坐標計算公式為

zdsyds

X=—,V=—

I:'可用上述公式計受曲線的0心，其Tds為乎微

ds=(D+丁(Ddt=-3acos2fsinO24-(3asin2tcost)2dt

分.=3a|sin/cos^|df,當

「。目

sw[0,i]時，對應于L2J,于是

/=『，？?(￡)+y°a)(k=3aJ^sin/cos/dr

acos3t?3asimeosd=-3a2cos4^dcosZ

=—=-acost=-a.

5o5因此，代入上式得

3J3_2

x=~^-a/-r~a=~=~a

5/25同理，可求得

Jyds=JTasin3/?3asin^cosZd/=3a24-sins/|a2y=-1a.

55則,5,于

是，所求曲線的質心為(W〃),

知識點解析：暫無解析

21、

設A為mXS矩陣,B為sX幾矩陣，且r(Ab)=r(b),試證方程組m=0與a=0

的基礎解系是等價的.

標準答案：

【分析】證明兩個方程組的基礎解系等價，也即要求證明它們可以相互線性表示,證明的關鍵技巧

是利用極大線性無關組為橋梁.

【詳解】由題設r(4B)=r(B)=r，令AHx=0和Bx=0的基礎解系分別為,…。…及四，

角,…?由于*=。的解為ABx=0的解，因此⑶,R,…/…可由5，?，。…線

性表示，考慮向量組

6,。2，…小,，趴必，??，?-,(*)

顯然.為其極大線性無關組，而⑶,自，…，伉，也線性無關，同樣可作為(*)

的極大線性無關組，因此因，做，…，。…也可由閉尸2,…,尸…線性表示，故向量組叼,。2,

…,a…與向依組⑶M…,B”,等價，即方程組=。與Rr=。的基礎解系是等價的?

，【評注】若兩組向量的扶相等，且其中一組向量可由另一處向量境性表示，則此兩組向量必等價.

.......................................................................................

知識點解析：哲無解析

已知三元二次型f(X|,X2,K3)=xTAx其矩陣A各行元素之和均為0,且滿足

101'

8:011

AB+B=0,其中"1T一」

22、用正交變換把此二二次型化為標準形，并寫出所用正交變換：

-i-irr

A|=0=0|,

標準答案：因為A各行元素之和均為0,即LJ7」由此可知入=0是A的

特征值，ai=(l,1,1)丁是2=0的特征向量.由AB二一B知一1是A的特征值，

a2=(1,0,一1),，a3=(0,1,一1),是人=-1的線性無關的特征向量.因為ot2，

。3不正交，將其正交化有01=012=(1,0,-1)T,

xrAx=yTAy=^y22-y32

知識點解析：暫無解析

23、若A+kE正定，求k的取值.

標準答案：因為A的特征值為一1,一I,0,所以A+kE的特征值為k—l,k一

1,k.那么A+kE正定的允分必要條件是k>l.

知識點解析：暫無解析

考研數學(數學二)模擬試卷第3套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

1、

]

已知4~1,￡為三階單位矩陣,則「(4-功+「(2￡+4)等于

<-2，

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.(]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

/!、

【詳解】A-1

\-2，

/I\

令A=1，則存在可逆陣P使P"P=A

<-2>

所以r(4-￡)=r(PAPl-￡)=r(P(A-E)P-,)=r0=1

、3，

G)

同理r(2E+4)=r(P(2￡+/l)pT)=r3=2

、0/

所以r(A-￡)+r(2E>4)=3,故(C)為答案.

2、

設函數/(〃)可導,y=/(“z)當自變盤］在l二一1處取得增量——一0.1時,相應的

函數增垃dy的線性主