人教版平行四邊形單元綜合模擬測評檢測試題

一、選擇題

1.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點（點P不與點B、D重合），PE_LBC于點

E,PF_LCD于點F,連接EF給出下列五個結論：①AP=EF；②AP_LEF；③僅有當NDAP=

45。或67.5°時，AAPD是等腰三角形；④/PFE=NBAP：⑤XlpD=EC.其中有正確有

2

（）個.

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，正方形A8CO和正方形CEFG中，點。在CG上，BC=T,CE=3,”是

AF的中點，那么C”的長是（）

3.如圖，菱形48co的邊長為4,N048=60。，￡為8c的中點，在對角線AC上存在一點

P,使的周長最小，則aPBE的周長的最小值為（）

A.2GB.4C.2G+2D.4+2百

4.如圖，己知正方形ABC。的邊長為2,點瓦廠在正方形A8CD內，\EAB,\FDC

都是等邊三角形，則EF的長為（）

5.如圖，將矩形A8CO沿EF折疊后點。與8重合.若原矩形的長寬之比為3:1，則干

BF

的值為（）

6.如圖，在A8CO中，3AB=2AD.ErE29E3,E4,E5,依次是CB上的五個點，并且

CE]=EiE2=E2E3=E3E4=E4E5=E5B,在三個結論：（1）DEy±AEy；（2）

AE2lDE4i（3）g_LOE之中，正確的個數是（）

7.如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊的中點，BD、CE交于點H,BE、AH交于點G,

則下列結論：①AG_LBE；②BE:BC=J^:2；@SABHE=SACHD;?ZAHB=ZEHD.其中正確的個

數是

8.如圖，長方形ABCD中，點E是邊CD的中點，將4ADE沿AE折疊得到AAFE,且點F

AD

在長方形ABCD內，將AF延長交邊BC于點G,若BG=3CG,則==（）

A.-B.1C.立D.—

422

9.如圖，在等腰中，ZC=90°,4c=8,F是48邊上的中點，點。、￡分別

在4C、8c邊上運動，且保持AO二CE.連接。￡、DF、EF.在此運動變化的過程中，下

列結論：

①△力注:是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形，

③。￡長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；

⑤△CDE面積的最大值為8.其中正確的結論是（）

A.①②@B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

10.如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分/DBC交DC于點E,延長BC到點F,使

FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH交DC于點G,連結HC.則以下四個結論

中：①OH〃BF,②GH=^BC,③BF=2OD,?ZCHF=45°.正確結論的個數為（）

4

C.2個D.1個

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則

PE+PB的最小值為.

12.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段

DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰R5A0P.當P從點D出發運動

3

13.已知在矩形A8C。中，AB=一,BC=3,點尸在直線8c上，點。在直線上，且

2

42_1尸。,當＞4尸=尸。時，AP=.

14.如圖，長方形紙片ABCD中,八8二6601巫=8071點￡是設邊上一點，連接AE并將

△AEB沿AE折疊,得到△AEBT以C,E,B為頂點的三角形是直角三帶形時,BE的長為

cm.

15.如圖，在RtZ\48C中，N84C=90°,48=8,47=6,以8c為一邊作正方形8DEC設

正方形的對稱中心為。，連接八。則A0=.

B

,o

DE

16.菱形4BCD的周長為24,ZABC=60°,以48為腰在菱形外作底角為45。的等腰ZkaBE,

連結AC,CE,則ZkACE的面積為.

17.如圖，在矩形ABC。中，AB=16,BC=18,點E在邊AB上，點F是邊BC上不

與點B、C重合的一個動點，把△E3R沿EF折疊，點B落在點B'處.若AE=3,當

是以08'為腰的等腰三角形時，線段的長為.

18.如圖，矩形ABCQ中，CE=CB=BE,延長BE交AD于點M,延長CE交AD

于點尸，過點、E作EN上BE,交8A的延長線于點N,FE=2,AN=3,貝ij

BC=.

19.在菱形48CD中，M是AD的中點，48=4,N是對角線AC上一動點，△0MN的周長

最小是2+26，貝IJBD的長為.

20.如圖，有一張長方形紙片ABCO,48=4,AD=3.先將長方形紙片ABC。折

疊，使邊A。落在邊AB上，點。落在點E處，折痕為A尸；再將A4石產沿EF翻折，

AF與BC相交于點G,則FG的長為.

三、解答題

21.在等邊三角形ABC中，點D為直線BC上一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60。，連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當點D在線段CB上時，

?ZBCF=。；

②BC,CD,Cb之間數量關系為一.

（2）（數學思考）：如圖（2）,當點D在線段CB的延長線上時，（1）中兩個結論是否

仍然成立？請說明理由.

（3）（拓展應用）：如圖（3）,當點D在線段BC的延長線上時，若AB=6,

CD=|BC,請直接寫出CF的長及菱形ADEF的面積.

圖（2）圖（3）

圖⑴

22.如圖1,4c是平行四邊形48CO的對角線，E、”分別為邊6A和邊BC延長線上

的點，連接交AO、CD于點F、G,且EH//AC.

（1）求證：MEFs^CGH

（2）若AAC。是等腰直角三角形，NACO=90，尸是4。的中點，40=8,求班:的

長：

（3）在（2）的條件下，連接80,如圖2,求證：AC2+BD2=2（AB2+BC2）

EE

DD

/\X?/

BCHBCH

圖1圖2

23.共頂點的正方形48C。與正方形AEFG中，48=13,AE=5①.

(1)如圖1,求證：DG=8E；

(2)如圖2,連結8F,以8F、8C為一組鄰邊作平行四邊形8C”

①連結8H,8G,求空的值；

②當四邊形8C”F為菱形時，直接寫出8H的長.

圖1圖2備用圖

24.在平面直角坐標中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點坐標為(m,0),C點坐標

為(0,n),已知m,n滿足+|5-=0.

(1)求m,n的值：

(2)①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點，若NPCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ；

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點，SR,HG交于點D.若NSDG=

135°,HG=—>則RS=；

2

(3)如圖3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,點F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動

點P在線段OF是(動點P與0,F不重合)，動點Q在線段0A的延長線上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點N,作PM_LAF于M.試問：當P,Q在移動過程中，線段MN的

長度是否發生變化？若不變求出線段MN的長度；若變化，請說明理由.

25.如圖，銳角AA8C,AB=AC,點。是邊3c上的一點，以4D為邊作A4OE,使

AE=AD,ZEAD=ABAC.

（1）過點E作EP〃OC交A8于點尸，連接CT（如圖①）

①請直接寫出NE4B與ND4C的數量關系；

②試判斷四邊形COE尸的形狀，并證明；

（2）若N84C=60，過點C作CF//DE交AB于點F,連接E尸（如圖②），那么

（1）②中的結論是否任然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由.

26.如圖，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,點E在邊AB上，點F是邊BC上不與點

B、C重合的一個動點，把4EBF沿EF折疊，點B落在點力處.

⑴若AE=O時，旦點&恰好落在A3邊上，請直接寫出DB，的長；

（II）若AE=3時，且ACDB，是以DB，為腰的等腰三角形，試求DB，的長；

（川）若AE=8時，且點夕落在矩形內部（不含邊長），試直接寫出DB，的取值范圍.

27.已知E,F分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點，AF,DE相交于點G,當E,F分

別為邊BC,CD的中點時，有：①AF=DE；②AFJLDE成立.

試探究下列問題：

上述結論①，

②是否仍然成立？（請直接回答"成立"或"不成立"），不需要證明）

（2）如圖2,若點E,F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF,此時，上述結

論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,在(2)的基礎上，連接AE和BF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,

AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形〃中的哪一種，并證明你的結論.

28.如圖，在矩形A8CD中，AD=nAB,E,F分別在八8,8c上.

(1)若L=T,AFLDE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點G為CB延長線上一點，DE的延長線交AG于H,若4H=4。，求證：AE+BG

=AG；

(2)如圖3,若￡為48的中點，NADE=NEDF.則g的值是(結果用

29.如圖①，在等腰R/ABC中，NBAC=90，點E在AC上(且不與點4C重合

),在A3C的外部作等腰RfCED,使NCEZ)=90，連接4D,分別以48,4。為鄰

邊作平行四邊形48F。，連接4F.

(1)請直接寫出線段AF,4E的數量關系；

(2)①將CED繞點C逆時針旋轉，當點￡在線段8c上時，如圖②，連接AE,請判斷

線段4F,4E的數量關系，并證明你的結論；

②若AB=2小,CE=2,在圖②的基礎上將CED繞點C繼續逆時針旋轉一周的過

A

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),連接DE、BF,P是

DE的中點，連接AP.將4AEF繞點A逆時針旋轉.

(1)如圖①，當AAEF的頂點E、F恰好分別落在邊AB、AD時，則線段AP與線段BF的位

置關系為，數量關系為一.

(2)當4AEF繞點A逆時針旋轉到如圖②所示位置時，證明：第(1)問中的結論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1.則線段AP的取值范闈為.

①

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

過P作PG_LAB于點G,根據正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△AGPg/XFPE

后即可證明①AP=EF；?ZPFE=ZBAP：在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的性

質，在R3DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正確，即可得出

結論.

【詳解】

過P作PG_LAB于點G,如圖所示：

D

???點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，

.\GP=EP,

在4GPB中，NGBP=45。，

/.ZGPB=45°,

，GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

AAG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AAG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

?ZAGP=ZFP￡=90°,

PG=PE

AAAGP^AFPE(SAS),

AAP=EF,①正確，ZPFE=ZGAP,

AZPFE=ZBAP,④正確；

延長AP到EF上于一點H,

/.ZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

/.ZPHF=ZPGA=90°,

AAP1EF,②正確，

???點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，ZADP=45%

，當NPAD=45。或67.5。時，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正確.

VGF/7BC,

/.ZDPF=ZDBC,

又?.?NDPF=NDBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45°,

.\PF=EC,

，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

.*.DP=V2EC,

即Y2PD=EC,⑤正確.

2

???其中正確結論的序號是①??④⑤，共有5個.

故選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，垂直的判定，等腰三角形的性質，

勾股定理的運用.本題難度較大，綜合性較強，在解答時要認真審題.

2.D

解析：D

【分析】

連接AC、CF,根據正方形性質求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90°,然

后利用勾股定理列式求出AF,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【詳解】

如圖，連接AC、CF,

??,正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,

/.AC=V2>CF=3亞，ZACD=ZGCF=45°，

AZACF=90°,由勾股定理得，AF=JAC?-B=2不，

TH是AF的中點，.,.CH=yAF=1x2>/5=>/5.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，正方形的性質，勾股定理，

熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.

3.C

解析：C

【分析】

如下圖，4BEP的周長=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過點E

作AC的對稱點F,連接FB,則FB就是BP+PE的最小值.

【詳解】

如下圖，過點E作AC的對稱點F,連接FB,FE,過點B作FE的垂線，交FE的延長線于點

G

D

F

:菱形ABCD的邊長為4,點E是BC的中點

ABE=2

ZDAB=60°,/.ZFCE=60°

丁點F是點E關于AC的對稱點

???根據菱形的對稱性可知，點F在DC的中點上

則CF=CE=2

???△CFE是等邊三角形，/.ZFEC=60°,EF=2

AZBEG=60°

工在Rt^BEG中，EG=1,BG=>/3

AFG=l+2=3

，在RtABFG中，BF="+（可=26

根據分析可知，BF=PB+PE

/.△PBE的周長=26+2

故選：C

【點睛】

本題考查菱形的性質和利用對稱性求最值問題，解題關鍵是利用對稱性，將BP+PE的長轉

化為FB的長.

4.B

解析：B

【分析】

連接FA,FB,ED,ED,延長FE交C力于點G,延長EF交AB于點”，說明E尸是

NDFC,/AE8的平分線，得出EG,9的長度，進而求出E尸的長度.

【詳解】

解：連接E4,用,ERE。，延長FE交CO于點G,延長E尸交A8于點”，

?:\ABE是等邊三角形，

???ZE4B=Z￡BA=60°,

???ZDAE=ZCBE=30°,

在&ME■和ACBE中，

AD=BC

?：\^DAE=^CBEt

AE=BE

：.\DAE二bCBE,

ED=EC,

在△￡￡）/和AECT中，

FD=FC

v\EF=EF,

ED=EC

：.SEDFsAECF,

???NDFE=NCFE

：.EF是NOFC的平分線，

???FG是等邊bDFC的NDFC的平分線，

:.FG1DC,

：.GE=GF-EF,

同理可證：EHLAB,FH=EH-EF,

???AE43,△尸0c都是等邊三角形，且邊長都等于正方形的邊長,

???GF=EH,

：.GE=FH,

VFG±DCtEHLAB,

?,?G,瓦四點共線，且GH=AQ,

???正方形ABC。的邊長為2,ADFC是等邊三角形，

JDF=2,

?:FG是等邊kDFC的ZDFC的平分線，

???FG也是OC邊上的中線，即：DG=GC=\,

???在?△。尸G中，由勾股定理得：

DF2=DG2+GF~,BP：22=12+GF2，

?,?G/=5

FH=2-y/3，

同理可得：GE=2-5

AEF=2-GE-F/7=2-（2-x/3）-（2->/3）=2>/3-2,

故選：B.

【點睛】

本題目主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，以及全等三角形的判定，利用

G,E,F,H四點共線是解決本題的關鍵.

5.D

解析：D

【分析】

根據折疊的性質得到ED'=BE,EF=NBEF,根據平行線的性質得到ND'EF=

NEFB,求得BE=BF,設AD'=BC'=3x,AB=x,根據勾股定理得到BE=于是得

3

到結論.

【詳解】

如圖，將矩形ABCD沿EF折疊后點D與B重合，

：.ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

TAD'〃BC',

???ND'EF=ZEFB,

，NBEF=NEFB,

，BE=BF,

???原矩形的長寬之比為3；1,

工設AD'=BC'=3x,AB=x,

.*.AE=3x-EDf=3x-BE,

VAE2+AB2=BE2,

:.(3x-BE)2+x2=BE2,

解得：BE=-x,

54

/.BF=BE=-x,AE=3x-BE=-x

33

4

x

AE3-4

---

8F55-

x

3-

故選：D.

【點睛】

本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理,

熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

6.B

解析：B

【分析】

先根據平行四邊形性質和等腰三角形性質可得人后2是的角平分線，DE4是

/4ZX7的角平分線，結論（2）正確.再利用結論（2）可得/口4&+乙4。巴>90。，

/94七+44￡）￡2>90。即可判斷垢論（1）（3）錯誤，

【詳解】

解：設CE、=E島=E2E3=%=EH=E,B=m,則BC=6優，

ABCD,3AB=2AD

AD=BC=6m,AD//BC,AB//CD,AB=CD=4m

在^ABE2中，BE2=

：.ZAE1B=Z.BAE2,

ADIIBC,

ZAE2B=ZDAE2,

/.ZDAE.=NBAE產LZBAD,

2

同理可得：^ADE.=ZCDE,=-ZADC,

2

AB//CD,

??.N8AO+NAOC=180。，

ZDAE2+ZADE4=90°

/.AE2±DE4,

故（2）正確；

VZDA￡3>ZDAE2,ZADE3>ZAOE4,

/.ZZME,+/ADE、>ZDAE2+ZADE4,即ZDAEy+ZADE,>90。，

JZ4E.D<90°

所以￡>/與A片不垂直，故（1）不正確；

V,ZADE2>ZADE4,

。,

/.ZDAE2+ZADE2>ZDAE2+NADE4,upZDAE2+ZADE2>90

:.ZAE2D<90°

故（3）不正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形性質，等腰三角形性質，三角形內角和定理等，證明人心是/BAD

的角平分線，。&是/AOC的角平分線是解題關鍵.

7.D

解析：D

【分析】

首先根據正方形的性質證得4BAE絲aCDE,推出/ABE=NDCE,再證

△ADH^ACDH,求得NHAD=/HCD,推出NABE=NHAD：求出NABE+NBAG=

90°;最后在AAGE中根據三角形的內角和是180。求得NAGE=90°即可得到①正確：

因為點E是AD邊的中點，求出AB=2AE,BE二行AE

即可求得BE:BC=逐:2,故②正確；

根據AD〃BC,求出SABDE=SACDE,推出SABDE-SADEH=SACDE-SADEH?

即；SABHE=SACHD,故③正確；

由NAHD=NCHD,得到鄰補角和對頂角相等得到NAHB=NEHD,故④正確

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點，

AAE=DE,AB=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

在4BAE和4CDE中

AE=DE

???（乙BAE=NCDE

AB=CDA

AABAE^ACDE（SAS）,

/.ZABE=ZDCE,

???四邊形ABCD是正方形，

，AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

;在AADH和ACDH中，

AD=CD

<ZADH=2CDH

DH=DH

.,.△ADH^ACDH(SAS),

.\ZHAD=ZHCD,

VZABE=ZDCE

AZABE=ZHAD,

VZBAD=ZBAH+ZDAH=90°,

.*.ZABE+ZBAH=90°,

/.ZAGB=I80°-90°=90°,

???AG_LBE,故①正確；

,?,點E是AD邊的中點，

AAB=2AE,

/.BE=V5AE

???BE:BC二石:2,故②正確；

VAD/7BC,/.SABDE=SACDE,

SABDE-SADEH=SACDE-SADEH?

即；SABHE=SACHD?故③正確；

VAADH^ACDH,

/.ZAHD=ZCHD,

/.ZAHB=ZCHB,

VZBHC=ZDHE,

AZAHB=ZEHD,故④正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質和正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握其性質.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據中點定義得出DE=CE,再根據折疊的性質得出DE=EF,AF=AD,NAFE=/D=90。，從而

得出CE=EF,連接EG,利用"HL"證明4ECG出△EFG,根據全等三角形性質得出CG=FG,設

CG=4,則BC=4〃，根據長方形性質得出AD=BC=4。，再求出AF=4。，最后求出

AG=AF+FG=5?,最后利用勾股定理求出AB,從而進一步得出答案即可.

【詳解】

如圖，連接EG,

???點E是CD中點,

ADE=EC,

根據折疊性質可得：AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

ACE=EF,

在RtAECG與RtAEFG中，

VEG=EG,EC=EF,

/.RtAECG^RtAEFG(HL),

/.CG=FG,

設CG=。，

/.BG=3CG=3

ABC=4tZ,

，AF=AD=BC=4〃.

，AG=54.

在RtAABG中，

?*-AB=\IAG2-BG2=4a^

AB

故選B.

【點睛】

本題主要考查了長方形與勾股定理及全等三角形判定和性質的綜合運用，熟練掌握相關概

念是解題關鍵，

9.B

解析：B

【分析】

①連接CF,證明△ADFgZXCEF,得到4EDF是等腰直角三角形；

②根據中點的性質和宜角三角形的性質得到四邊形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理

進行判斷；

③當DE最小時，DF也最小，利用垂線段的性質求出DF的最小值，進行計算即可；

④根據4ADF絲ZXCEF,得到S四邊莊CEFD=SAAFC;

⑤由③的結論進行計算即可.

【詳解】

①連接CF,

「△ABC是等腰直角三角形，且F是AB邊上的中點,

/.ZFCB=ZA=ZB=45°,CF=AF=FB,

VAD=CE,

/.△ADF^ACEF,

/.EF=DF,ZAFD=ZCFE,

VZAFD+ZCFD=90°,

；?ZCFE+ZCFD=ZEFD=90%

???△EDF是等腰直角三角形，①正確；

②當D、E分別為AC、BC中點，即DF、EF分別為RtZkAFC和RSBFC斜邊上的中線,

11

/.CD=DF=-AC,FE=EC=-BC,

22

/.CD=DF=FE=EC,

四邊形CDFE是菱形，又NC=90。，

???四邊形CDFE是正方形，②錯誤；

③由于4DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小，

當DF_LAC時，DE最小，此時EF=DF=，BC=4.

2

；?DE=\/DF>+EF'=14，+4。=4亞，③錯誤；

@VAADF^ACEF,

:.SACEF=S^ADF,

?,?S四動形CEFD=SzxAFC，

???四邊形CDFE的面積保持不變，④正確；

⑤由③可知當DE最小時，DF也最小，

DF的最小值是4,則DE的最小俏為4a，

當ACEF面積最大時，此時4DEF的面積最小.

此時SACEF=S四邊彩CEFD-SADEF=S.AAFC-S,2QEF=16-8=8，⑤正確：

綜上，正確的是：①④⑤，

故選：B.

【點睛】

木題考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握正方

形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質定理、理解點到直線的距離的概念是解題的

關鍵.

10.B

解析：B

【分析】

①只要證明OH是4DBF的中位線即可得出結論：

②根據OH是AEFD的中位線，得出GH=』CF,由GHV^BC,可得出結論；

③易證得△ODH是等腰三角形，繡而證得。。二萬BF；

④根據四邊形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分線可求出RtZ\BCEgRtZ\DCF,再由

NEBC=22.5。即可求出結論.

【詳解】

解：VEC=CF,ZBCE=ZDCF,BC=DC,

/.△BCE^ADCF,

AZCBE=ZCDF,

VZCBE+ZBEC=90°,ZBEC=ZDEH,

/.ZDEH+ZCDF=90°,

/.ZBHD=ZBHF=90%

VBH=BH,ZHBD=ZHBF,

/.△BHD^ABHF,

ADH=HF,VOD=OB

AOH是4DBF的中位線

???OH〃BF；故①正確；

AOH=—BF,ZDOH=ZCBD=45°,

2

VOH是ZkBFD的中位線，

11

ADG=CG=—BC,GH=—CF,

22

VCE=CF,

11

AGH=—CF=—CE

22

1

VCE<CG=—BC,

2

.,.GH<yBC,故②錯誤.

4

丁四邊形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分線，

ABC=CD,ZBCD=ZDCF,ZEBC=22.5°,

VCE=CF,

ARtABCE^RtADCF(SAS).

/.ZEBC=ZCDF=22.5°,

.??NBFH=90°?NCDF=90°-22.50=67.5°,

TOH是4DBF的中位線，CD±AF,

???OH是CD的垂直平分線，

/.DH=CH,

.?.ZCDF=ZDCH=22.5°,

/.ZHCF=90<,-ZDCH=90<>-22.50=67.50,

:.ZCHF=1800-ZHCF-ZBFH=180°-57.50-67.5<,=45°,故④正確;

AZODH=ZBDC+ZCDF=67.5°,

AZOHD=1800-ZODH-ZDOH=67.5°,

AZODH=ZOHD,

AOD=OH=yBF；故③正確.

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定與性質以及正方形的性質.解答

此題的關鍵是作出輔助線，構造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質結合角平分

線的性質逐步解答.

二、填空題

11?2逐

【詳解】

由于點B與點D關于AC對稱，所以如果連接DE,交AC于點P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先計算出DE的長度，即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點

P,連接BD.

.??點B與點D關于AC對稱，

DE的長即為PE+PB的最小值，

AB=4,E是BC的中點，

CE=2,

在RtACDE中，DE=275.

考點：（1）、軸對稱-最短路線問題；（3）、正方形的性質.

12.272

【解析】

分析：過0點作OEJ_CA于E,OF_LBC于F,連接C。，如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得至I」OA=OP,/AOP=90。，則可證明△OAEW^OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據角平分線的性質定理的逆定理得到CO平分NACP,從而可判斷當P

從點D出發運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，接著證明

CE=y（AC+CP）,然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，從而計算它們的差即可得

到P從點D出發運動至點B停止時，點。的運動路徑長.

詳解：過0點作OEJ_CA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖,

VAAOP為等腰直角三角形，

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形，

AZEOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

/.△OAE^AOPF,

/.AE=PF,OE=OF,

JCO平分NACP,

???當P從點D出發運動至點B停止時，點0的運動路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

..CE=—(AC+CP),

AOC=72CE=^(AC+CP),

當AC=2,CP=CD=1時，0C=—x(2+1),

22

當AC=2,CP=CB=5時，OC=^x(2+5)=2^,

22

???當P從點D出發運動至點B停止時，點0的運動路徑長=述-迪=2&.

22

故答案為2/.

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何性質確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算.也考查了全等三角形的判定與性質.

13.3應或之加

22

【分析】

根據點尸在直線5c上，點。在直線CO上，分兩種情況：LP、Q點位于線段上；2.P、Q

點位于線段的延長上，再通過三角形全等得出相應的邊長，最后根據勾股即可求解.

【詳解】

解：當P點位于線段BC上，Q點位于線段CD上時：

???四邊形ABCD是矩形

AP上PQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

?「AP=PQ

ABP=PCQ

333

/.PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

?.AP=/(-)2+(-)2=1^

V222

當P點位于線段BC的延長線上，Q點位于線段CD的延長線上時:

四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

..ABP=PCQ

339

/.PC=AB=-，BP=BC+PC=3+-=-

222

...AP=J(3)2+(2)2=：M

V222

故答案為：與應或與加

22

【點睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質、勾股定理，熟練運用判定定理和性質定理是解題

的關鍵.

14.3或6

【詳解】

①NB'EC=90°時,如圖1,/BEB'=90°,

由翻折的性質得NAEB=/AEB=yx90°=45°,

「.△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

(2)ZEBrC=90°時，如圖2,

由翻折的性質NABZE=NB=90。，

??A、B\C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=，人&+BC?=dG+8?=10cm,

/.BzC=10-6=4cm,

設BE=B'E=x,則EC=8-x,

在RtAB'EC中，B'E2+B'C2=EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長為3或6cm.

故答案為3或6.

15.70；

【分析】

連接AO、BO、CO,過。作FO_LAO,交AB的延長線于F,判定△AOC^^FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根據AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接AO、BO、CO,過0作FOLAO,交AB的延長線于F,

V0是正方形DBCE的對稱中心,

ABO=CO,ZBOC=90°,

VFO±AO,

/.ZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

ZBAC=90o,

，在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

/.ZACO=ZFBO,

在AAOC和AFOB中，

ZAOC=ZFOB

<AO=FO,

/ACO=/FBO

/.△AOC^AFOB(ASA),

/.AO=FO,FB=FC=6,

/.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45°,

.?.AO=AFXCOS450=14X叵7&.

2

故答案為7啦.

【點睛】

本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質.本題的關鍵是通過作輔助線來構建

全等三角形，然后將已知和所求線段轉化到直角三角形中進行計算.

16.9或9(6+1).

【分析】

分兩種情況畫圖，利用等腰直角三角形的性質和勾股定理矩形計算即可.

【詳解】

解：①如圖1,延長EA交DC于點F,

???菱形ABCD的周長為24,

AAB=BC=6,

VZABC=60°,

，三角形ABC是等邊三角形，

，NBAC=60°,

當EA1BA時，AABE是等腰直角三角形，

AAE=AB=AC=6,ZEAC=900+60°=150°,

/.ZFAC=30°,

,/ZACD=60°,

/.ZAFC=90°,

1

/.CF=—AC=3,

2

則AACE的面積為：!AExCF=jx6x3=9；

22

由①可知：ZEBC=ZEBA+ZABC=90°+60,>=150o,

VAB=BE=BC=6,

/.ZBEC=ZBCE=15°,

/.ZAEF=450-15o=30o,ZACE=60°-15°=45%

/.AF=—AE,AF=CF=—AC=3J??

22

VAB=BE=6,

???AE=6&，

，EF=JAE2—AF2=35

???EC=EF+FC=3#+3近

則△ACE的面積為：!ECxAF=-x(3#+3&)x30=9(e+1).

22

故答案為：9或9(6+1).

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質，解決本題的關鍵

是掌握菱形的性質.

17.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情況討論：(1)當DB，=DC=16；(2)當B，D=B(時，作輔助線，構建平

行四邊形AGHD和直角三角形EGB',計算EG和B'G的長，根據勾股定理可得B'D的長；

【詳解】

?「四邊形ABCD是矩形，

DC=AB=16,AD=BC=18.

分兩種情況討論：

(1)如圖2,當DB，=DC=16時，即△CDB，是以DB為腰的等腰三角形

D

E

B"

(2)如圖3,當BD=B(時，過點B'作GHIIAD,分別交AB與CD于點G、H.

圖3

■「四邊形ABCD是矩形，

?ABHCD,ZA=90°

又GHIIAD,

???四邊形AGHD是平行四邊形,又/A=四。,

???四邊形AGHD是矩形，

AG=DH,ZGHD=90°,B|JB'HXCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-CD=8,AG=DH=8,

AE=3,

BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtAEGB，中，由勾股定理得：

GB'=J13?.5?=12,

/.B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RSHD中，由勾股定理得：BZD=7624-82=10

綜上，DB'的長為16或10.

故答案為：16或10

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質，勾股定理，等腰三角形一般需要分類討論.

18.6+6G

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及CE=CB=3E,得到△FEM是等邊三角形，根據含30。直

角三角形的性質以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設NE交AD于點K,

???四邊形ABCD是矩形，

AAD/ZBC,ZABC=90°,

AZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

.\ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

AZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

??.△FEM是等邊三角形，FM=FE=EM=2,

VEN±BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

/.ZNKA=ZMKE=30°,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

???在Rt^KME中，KE=4KM1-EM1=25/3*

ANE=NK+KE=6+，

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

.??BN=2NE=12+45

???BE=JBN?-NE?=6+6百，

，BC=BE=6+66，

故答案為：6+65/5

【點睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質，以及含30。直角三角形的性質與勾股定理的應用,

解題的關鍵是靈活運用30。直角三角形的性質.

19.4

【分析】

根據題意，當B、N、M三點在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+2j§，

由DMMLZWMZ,則BM=2jL利用勾股定理的逆定理，得到ZAMB=90。，貝|得到

2

△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.

【詳解】

解：如圖：連接BD,BM,則AC垂直平分BD,則BN=DN,

當B、N、M三點在同一條直線時，Z\DMN的周長最小為：BM+DM=2+2，§，

AD=AB=4,M是AD的中點，

/.AM=DM=-A￡)=2,

2

，BM=2G，

,:AM2+BM2=22+(2>/3)2=16=

??.△ABM是直角三角形,即NAMB=90°；

VBM是4ABD的中線，

/.△ABD是等邊三角形，

/.BD=AB=AD=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，以及三線合一定

理.解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確得到4ABD是等邊三角形.

20.5/2

【解析】

【分析】

根據折疊的性質可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性質可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【詳解】

由折疊的性質可知，ZDAF=ZBAF=45°,

,\AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

???四邊形EFCB為矩形，

/.FC=BE=1,

VAB/7FC,

AZGFC=ZDAF=45°,

,-.GC=FC=I,

???FG=VGC2+FC2=Vi+T=>/2?

故答案為：72.

【點睛】

本題考查了折疊變換，矩形的性質是一種對稱變換，理解折疊前后圖形的大小不變，位置

變化，對應邊和對應角相等是解決此題的關鍵.

三、解答題

21.(1)①120。；②BC=CD+CF；(