雙曲線必會十大基本題型講與練09雙曲線與平面向量的交匯問題典例分析類型一：以平面向量數(shù)量積為條件情境1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在雙曲線上且，若的內(nèi)切圓的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線定義知，再利用垂直關(guān)系知，再結(jié)合的等面積法即可求解.【詳解】由點(diǎn)A在雙曲線上，由雙曲線定義知，又，，，，即，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由的等面積法知，即的內(nèi)切圓的半徑為，2．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的漸近線為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過得到，結(jié)合題干中的斜率條件表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求解與的關(guān)系，求解漸近線方程.【詳解】因為，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因為，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則，設(shè)，，由勾股定理得：，解得：，故，把A點(diǎn)代入雙曲線方程，得：，解得：，顯然=0，所以，所以雙曲線的漸近線為3．以橢圓＋＝1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則（

）A．2 B．4C．1 D．－1【答案】A【解析】由題意可得雙曲線方程，轉(zhuǎn)換條件為，進(jìn)而可得F1M平分∠PF1F2，再由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得點(diǎn)M(2,1)就是△F1PF2的內(nèi)心，即可得解.【詳解】由題意，雙曲線方程為，|PF1|－|PF2|＝4，由，可得，所以F1M平分∠PF1F2，設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為，如圖，則，所以點(diǎn)為雙曲線右頂點(diǎn)，△F1PF2的內(nèi)心在直線x＝2上，所以點(diǎn)M(2,1)就是△F1PF2的內(nèi)心，△F1PF2內(nèi)切圓的半徑為1，故.類型二：以平面向量數(shù)量積為問題情境1．、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義可求得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，則、，因為直線過點(diǎn)，由圖可知，直線的斜率存在且不為零，，則為直角三角形，可得，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，聯(lián)立，解得，因此，.【點(diǎn)睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．2．已知拋物線與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上方且在雙曲線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線方程可求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得雙曲線方程；設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及點(diǎn)在雙曲線上可將表示為，由在軸上方知，由二次函數(shù)最值求法可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，，解得：；設(shè)，，，，在軸上方且在雙曲線上，且，，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線中的平面向量數(shù)量積的最值求解問題，易錯點(diǎn)是容易忽略題目中雙曲線位于軸上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，從而造成最值點(diǎn)求取錯誤.3．已知點(diǎn)，若為雙曲線的右焦點(diǎn)，是該雙曲線上且在第一象限的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)，根據(jù)題中所給的雙曲線方程，寫出其右焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后求得，之后應(yīng)用線性規(guī)劃的思想，結(jié)合是該雙曲線上且在第一象限的動點(diǎn)，從而求得其范圍.【詳解】設(shè)，因為為雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，所以，令，則是與漸近線平行的直線，直線過時，，直線為漸近線時，，因為是該雙曲線上且在第一象限的動點(diǎn)，所以，即所求的取值范圍為.4．（多選題）已知雙曲線，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設(shè)點(diǎn)，可得或，且有，求得，設(shè)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得函數(shù)在上的值域，由此可得出合適的選項.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則或，且有，可得，，，，令，其中或，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時；②當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時.綜上所述，函數(shù)在上的值域為.因此，的值可以是、、.5．在平面直角坐標(biāo)系中，過方程所確定的曲線C上點(diǎn)的直線與曲線C相切，則此切線的方程.（1）若，直線過點(diǎn)被曲線C截得的弦長為2，求直線的方程；（3）若，，過坐標(biāo)原點(diǎn)斜率的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限，點(diǎn)P在x軸上的投影為E，延長QE交C于點(diǎn)R，求的值.【答案】（1）或；（2）0.【分析】（1）利用圓的弦長公式計算求解，注意先驗證直線斜率不存在的情況；（2）設(shè)P(x1,y1),R(x2,y2),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),寫出EQ的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，根據(jù)Q，R的橫坐標(biāo)-x1,x2是這個方程的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而計算可得.【詳解】（1）當(dāng)時，曲線C的方程為,這是以原點(diǎn)為圓心，r=2為半徑的圓，直線l過點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為,代入圓的方程得,，∴直線l被圓所截得弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k,則直線l的方程為，即,由弦長為2，半弦長為1，圓的半徑為2，所以圓心到直線l的距離為,由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得,所以直線l的方程為：；（2）設(shè),則),則直線EQ:代入曲線C的方程并整理得：,Q，R的橫坐標(biāo)是這個方程的兩實(shí)數(shù)根，∴,∴,,,由于,∴類型三：以平面向量共線向量為條件情境1．已知直線與雙曲線（）交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則的值為A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再由找到A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a的方程，從而求得選項.【詳解】由直線方程與雙曲線方程聯(lián)系得，設(shè)，∵，∴，∴，，，∴，，，∴，解得，【點(diǎn)睛】本題是考查雙曲線和直線位置關(guān)系的綜合題目，解題的關(guān)鍵是如何利用已知的向量條件構(gòu)造關(guān)于a的方程，還考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并且對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高，屬于中檔題.2．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率．【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，3．（多選題）已知雙曲線且成等差數(shù)列，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，，則直線l的斜率的可能取值為（

）A． B．－ C． D．－【答案】AB【分析】利用成等差數(shù)列，求得，設(shè)左焦點(diǎn)為，則．令，利用余弦定理求得的值，從而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，從而求得直線的斜率.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，所以．設(shè)左焦點(diǎn)為，則．令，則，即，將代入解得，從而解得，故，而是直線l的傾斜角或傾斜角的補(bǔ)角，所以直線l的斜率的值為－或．類型四：以平面向量共線向量、數(shù)量積為條件情境的綜合性問題1．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與的右支交于，兩點(diǎn)，若，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合平面向量坐標(biāo)表示公式、斜率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，，由題可知，是線段的中點(diǎn)，，∴，∵，分別是雙曲線右支上的點(diǎn)，∴兩式相減并整理得，∴，即，又，∴，∴.2．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是和，雙曲線的右支上有A、B在第一象限兩點(diǎn)，滿足，并且，則直線的斜率是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量知識推出，得為線段的靠近的一個三等分點(diǎn)，根據(jù)得到，設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義求出和，再根據(jù)勾股定理可得，在直角三角形中，求出即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以為線段的靠近的一個三等分點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義可知，，因為，所以，在直角三角形中，由勾股定理得，得，所以，所以，即直線的斜率是.3．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】易知，可得，再結(jié)合雙曲線的漸近線，可得為正三角形，且，從而可知為線段的中點(diǎn).【詳解】由，可知，則，因為雙曲線的漸近線為，所以，，故為正三角形，且，所以為的中位線，為線段的中點(diǎn)，即，故.4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與其左支交于點(diǎn)，若存在，使，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量垂直的數(shù)量積為零，結(jié)合直線的傾斜角得到△為等腰直角三角形，所以在軸上，根據(jù)向量的投影的概念，結(jié)合已知向量等式得到,進(jìn)而判定△為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的定義得到關(guān)于的關(guān)系，進(jìn)而求得斜率.【詳解】存在，使，說明為線段上的點(diǎn)，說明，即為直角，過且斜率為的直線與其左支交于點(diǎn)，說明，所以△為等腰直角三角形，所以在軸上，是在上的投影，是在上的投影，分別是線段和的長度，，說明,∴,∴△≌△,∴△為等腰直角三角形，,∴雙曲線的離心率為,5．（多選題）已知雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，直線與的一個交點(diǎn)為，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A選項的正誤；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，求出該雙曲線的離心率，可判斷B選項的正誤；求出的值，可判斷C選項的正誤；利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷D選項的正誤.【詳解】由已知得，設(shè)，由，得，所以軸，即，A正確；不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，易知，，，即點(diǎn)，設(shè)，由，得，所以，所以，即．因為點(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得，所以，解得或（負(fù)值舍去），B正確；，故C的漸近線的斜率的平方為，C錯誤；不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，所以，D錯誤．6．已知是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若.則以為圓心，為半徑的圓的面積為________.【答案】【分析】延長交于點(diǎn)，由向量數(shù)量積和線性運(yùn)算可知為線段的垂直平分線，結(jié)合雙曲線定義可求得，利用中位線性質(zhì)可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】延長，交于點(diǎn)，如下圖所示：，為的角平分線，又，，為線段的垂直平分線，.由雙曲線定義知：，，，分別為中點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓的面積.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)和定義的綜合應(yīng)用，涉及到平面向量數(shù)量積和線性運(yùn)算的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠通過平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算確定垂直和平分關(guān)系.類型五：共線向量、數(shù)量積與線探索性問題交匯1．設(shè)定點(diǎn)，常數(shù)，動點(diǎn)，設(shè)，，且．（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)直線：與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在．見解析【分析】（1）根據(jù)向量的表達(dá)式,可推斷出點(diǎn)到兩個定點(diǎn),的距離之差為4,根據(jù)雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)和,求得,即可求得動點(diǎn)的軌跡方程．（2）設(shè)將直線的方程代入橢圓的方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求得值,從判斷的值是否存在．【詳解】（1）由題意,∴動點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,方程為；（2）由直線:與點(diǎn)的軌跡方程,聯(lián)立可得設(shè),,則,∵∴∴∴,∵,∴檢驗時,所以不存在2．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線交于M，N兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；；定點(diǎn)．【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立方程組，用“設(shè)而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點(diǎn)Q.【詳解】(1）由題意，，解得，．∴雙曲線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立，得．∴，且，解得且．設(shè)，，∴，，∴，．∴為常數(shù)，與無關(guān)，∴，即，此時．∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.類型六：共線向量與定值交匯問題1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)N．設(shè)，，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義和焦距的概念求出a、c，進(jìn)而得出結(jié)果；(2)設(shè)，，，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立雙曲線方程并消去y，利用韋達(dá)定理得出表達(dá)式；將點(diǎn)N坐標(biāo)代入直線方程，結(jié)合可得，同理求得，進(jìn)而化簡計算即可.【解析】(1)設(shè)C的焦距為，則，即，，；由雙曲線的定義，得，即，所以，故C的方程為．設(shè)，，，顯然直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為，代入，得．由過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，得，由韋達(dá)定理，得，；

①由在直線上，得，即；

②由在直線AB上，得．

③由，得，即解得．同理，由，得，結(jié)合①②③，得．故是定值．方法點(diǎn)撥1、平面向量作為解題工具在解析幾何中有廣泛的應(yīng)用，通過向量形式給出題目條件，體現(xiàn)向量在圓錐曲線中的滲透，也是高考設(shè)置綜合題的一個特色，如2020年全國卷ⅠT20，利用向量求橢圓方程，2019年全國卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦長|AB|的值，2018年全國卷ⅢT20(2)，題中給出條件eq\o(FP,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝0，證明|eq\o(FA,\s\up7(→))|，|eq\o(FP,\s\up7(→))|，|eq\o(FB,\s\up7(→))|成等差數(shù)列等．解答此類問題除對知識熟練外，還要具備很強(qiáng)的知識間的交匯和遷移變通能力．2、遇到向量數(shù)量積問題，想到向量的坐標(biāo)表示，向量相等的條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．如：點(diǎn)B在以線段F1F2為直徑的圓上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化．鞏固練習(xí)1．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，是虛軸的一個端點(diǎn)，線段與的右支交于點(diǎn)，若，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.【詳解】設(shè)，因為雙曲線的右焦點(diǎn)為，是虛軸的一個端點(diǎn)，則，所以，因為，所以，解得，因為點(diǎn)M在雙曲線上，所以，解得，所以漸近線的斜率為，2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件可得，由雙曲線的定義可得，又，由余弦定理得出的余弦值，再由向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.則焦點(diǎn)到漸近線的距離為因為以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，所以所以,由雙曲線的定義有又，由余弦定理得，，3．經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】先依題意寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算計算即得結(jié)果.【詳解】由雙曲線的方程可知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的直線方程可設(shè)為，設(shè)，，則，聯(lián)立可得，，，，．4．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，其漸近線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】雙曲線的漸近線方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，5．過雙曲線（，）的右焦點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點(diǎn)，且滿足，則雙曲線離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用漸近線的斜率，求出，，進(jìn)而利用相似和求出點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入到雙曲線方程中，得到關(guān)于的方程，求出離心率即可【詳解】因為雙曲線漸近線方程為，所以，如圖，在直角三角形中，，，又因為故，，過、A分別作的垂線，垂足分別為、，則由得：，又，故，，故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以，整理得，解得，6．已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，，是的兩個焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】由題知，，所以==，解得.7．已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為零對應(yīng)的垂直關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義求解出的長度，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求解出橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可求解出的縱坐標(biāo)，通過用表示出，則的值可求.【詳解】不妨設(shè)為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，橢圓方程為，，由雙曲線定義可知：，又因為，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓方程為，又因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，解得，8．過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，垂線交軸于點(diǎn)，且.若的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意及點(diǎn)到直線距離公式可得，，由可得，根據(jù)面積公式可得，又根據(jù)垂線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用勾股定理可得，結(jié)合聯(lián)立解出a、b即可得雙曲線方程.【詳解】過右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，漸近線方程即.，，又可得，則.①.又垂線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，中，②.由①②及，得，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.9．設(shè)雙的線（，）的右焦點(diǎn)是F，左?右頂點(diǎn)分別是，，過F做的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求得，，再由，可得，從而可得，進(jìn)而可求得結(jié)果【詳解】由題意得，當(dāng)時，，得，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則,所以，因為，所以，化簡得，所以，，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的斜率為，10．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，過的左頂點(diǎn)作一條與漸近線平行的直線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，當(dāng)分別取得最小值和最大值時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別記為、，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得當(dāng)取最小值和最大值時對應(yīng)的值，可求得、的值，即可得解.【詳解】由題意可得，，、，雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，易得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，，，所以，，故當(dāng)時，取得最小值，此時，當(dāng)時，取得最大值，此時，因此，.11．已知雙曲線，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是直線在第一象限上的動點(diǎn)，直線與雙曲線的一條漸近線在第一象限上的交點(diǎn)為，若，則__________．【答案】．【解析】【分析】設(shè)，，，由，可求出，從而可求出點(diǎn)坐標(biāo)，得出答案.【詳解】在雙曲線中，則即，所以右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，雙曲線的漸近線方程為：由，則點(diǎn)在直線上.,，所以，解得，則，所以12．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，，則______.【答案】1【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得B（，），寫出F1B的方程，與聯(lián)立求得A點(diǎn)坐標(biāo)，得到A為B、F1的中點(diǎn)，可得結(jié)論．【詳解】如圖，因為B在漸近線上，∴設(shè)B（，）,且，，∵，∴，則B（，）∴F1B：y（x+2），聯(lián)立，解得A（，），即A為B、F1的中點(diǎn)∴．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．13．設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.若在雙曲線上，有且只有個不同的點(diǎn)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，求出雙曲線的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用推出的表達(dá)式并轉(zhuǎn)化為圓的方程，通過分析圓和雙曲線的位置關(guān)系，列出關(guān)于的不等式，即可求解的取值范圍.【詳解】設(shè)，在雙曲線上，，，雙曲線方程為的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.，，，，，表示以為圓心，以為半徑的圓.由題意可知：在雙曲線上有且只有個不同的點(diǎn)使得成立，即圓與雙曲線有個交點(diǎn)，如圖：點(diǎn)到點(diǎn)間的距離大于半徑，且點(diǎn)到雙曲線左頂點(diǎn)點(diǎn)間的距離小于半徑，，，.實(shí)數(shù)的取值范圍是:14．在直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）的離心率，其漸近線與圓交軸上方于兩點(diǎn)，有下列三個結(jié)論：①；②存在最大值；③．則正確結(jié)論的序號為_______.【答案】①③【分析】根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得兩條漸近線夾角的范圍，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系及弦長，即可得答案；【詳解】，，對①，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合，可得成立，故①正確；對②，，由于，沒有最大值，沒有最大值故②錯誤；對③，當(dāng)時，，，又，，，故③正確；15．雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(diǎn)（P在第二象限，Q在第一象限），則雙曲線C的離心率為______．【答案】【分析】由，得到點(diǎn)在圓上，聯(lián)立方程組，求得，再根據(jù)，求得的坐標(biāo)，把點(diǎn)代入上，結(jié)合離心率的公式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，因為，可得，及，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)在圓上，又因為點(diǎn)在漸近線，聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，因為，可得，即，解得，即，又由點(diǎn)在漸近線上，可得，化簡可得，所以.16．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個焦點(diǎn)(1)求雙曲線方程；(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【解析】(1)設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．(2)∵直線l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時，，代入雙曲線可得：，∴．綜上所求直線l的方程為：或．17．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過的直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn)、.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)過的直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到韋達(dá)定理，求出，再根據(jù)的范圍求解.【解析】(1)雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為∵雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，∴，，∵

∴，∴雙曲線的方程為.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過的直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可得消去可得①，不符合題意，舍去；②時，得.設(shè)，，則，∴∴.∵，,∴，∴或∴或∴或.18．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，是它的一個頂點(diǎn).是它的一條漸近線的一個方向向量.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)，M為雙曲線右支上動點(diǎn)，當(dāng)|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；(3)若過點(diǎn)任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不同于點(diǎn)D），求證:為定值.【答案】(1)；(2)；(3)定值0，證明見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出雙曲線C的方程，利用待定系數(shù)法計算得解.(2)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)M到直線DP距離，再借助三角形面積公式計算即得.(3)設(shè)出直線AB方程：，聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，借助韋達(dá)定理計算即可作答.【解析】(1)因雙曲線C的中心在原點(diǎn)，一個頂點(diǎn)是，則設(shè)雙曲線C的方程為：，于是得雙曲線C的漸近線方程為，而雙曲線C的一條漸近線的一個方向向量是，則有，所以雙曲線C的方程為.(2)依題意，設(shè)點(diǎn)，則，即，，當(dāng)時，，此時，點(diǎn)M到直線DP：的距離為，而，如圖，四邊形ODMP的面積，所以四邊形ODMP的面積為.(3)顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程：，由消去x得：，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則有，，因此，，所以為定值0.19．點(diǎn)是雙曲線E：上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求的值；（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上的一點(diǎn)，滿足，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程，即可得到，再表示出直線，的斜率，從而得到，即可得解；（2）由（1）可得雙曲線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，設(shè)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，化簡即可得到，從而得解；【詳解】（1）因為點(diǎn)是雙曲線E：上一點(diǎn)，所以，又，，由直線