PAGE1-2.4最大值與最小值問題，優化的數學模型學習目標：1.理解最值概念，并能應用柯西不等式、平均值不等式求函數的最值.2.能利用不等式解決有關的實際問題．教材整理最值問題，優化的數學模型1．最值設D為f(x)的定義域，假如存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，則稱f(x0)為f(x)在D上的最大(小)值，x0稱為f(x)在D上的最大(小)值點．尋求函數的最大(小)值及最大(小)值問題統稱為最值問題，它屬于更一般的問題——極值問題的一個特殊的狀況．2．分別常數法分別常數法就是在分子中湊出與分母相同的項，然后約分．這在求含有分式的最值問題時常常用到．這種類型的最值問題也可以用去分母的方法轉化成關于x的二次方程，然后利用判別式求最值．用平均值不等式來解此類問題時，特殊要留意等號成立的條件．1．已知0＜x＜1，則x(1－x)取最大值時x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)[解析]∵0＜x＜1，∴x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up14(2)＝eq\f(1,4)，當且僅當x＝eq\f(1,2)時取等號．[答案]B2．已知t＞0，則函數y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為________．[解析]∵t＞0，∴y＝eq\f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2－4＝－2.[答案]－2利用柯西不等式求最值【例1】設x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，l，m，n是給定的正數，并且ax＋by＋cz＝δ為常數，求ω＝eq\f(l,x)＋eq\f(m,y)＋eq\f(n,z)的最小值．[精彩點撥]題設中的ω與δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．[自主解答]由柯西不等式得ω·δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(l,x))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(m,y))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n,z))))eq\s\up14(2)·[(eq\r(ax))2＋(eq\r(by))2＋(eq\r(cz))2]≥(eq\r(al)＋eq\r(bm)＋eq\r(cn))2，所以ω≥eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).由柯西不等式成立的條件得x＝keq\r(\f(l,a))，y＝keq\r(\f(m,b))，z＝keq\r(\f(n,c)).其中，k＝eq\f(δ,\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)).它們使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ)，所以ω的最小值為eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).利用柯西不等式求最值時，必需驗證等號成立的條件是否滿意．1．設x，y，z∈R，且eq\f(x－12,16)＋eq\f(y＋22,5)＋eq\f(z－32,4)＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解]依據柯西不等式，知[42＋(eq\r(5))2＋22]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,4)))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,\r(5))))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)))≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4·\f(x－1,4)＋\r(5)·\f(y＋2,\r(5))＋2·\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)，當且僅當eq\f(x－1,16)＝eq\f(y＋2,5)＝eq\f(z－3,4)，即x＝eq\f(21,5)，y＝－1，z＝eq\f(19,5)或x＝－eq\f(11,5)，y＝－3，z＝eq\f(11,5)時等號成立．∴25×1≥(x＋y＋z－2)2.∴|x＋y＋z－2|≤5，∴－3≤x＋y＋z≤7，即x＋y＋z的最大值為7，最小值為－3.利用二次函數求最值【例2】某地區地理環境偏僻，嚴峻制約著經濟發展，某種土特產品只能在本地銷售，該地區政府每投資x萬元，所獲利潤為P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋10萬元，為順應開發大西北的雄偉決策，該地區政府在制訂經濟發展十年規劃時，擬開發此種土特產品，而開發前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元，若開發該產品，必需在前5年中，每年從60萬元專款中拿出30萬元投資修建一條馬路，且5年可以修通，馬路修通后該土特產品在異地銷售，每投資x萬元，可獲利潤Q＝－eq\f(159,160)(60－x)2＋eq\f(119,2)(60－x)萬元．問：從10年的總利潤來看，該項目有無開發價值？[精彩點撥]分別求出開發前、后該項目10年利潤的最大值，比較大小即可．[自主解答]若按原來投資環境不變，由題設知，每年只需從60萬元中拿出40萬元投資，可獲最大利潤10萬元．這樣10年總利潤最大值為W＝10×10＝100(萬元)．若對該產品開發，則前5年中，當x＝30時，Pmax＝eq\f(75,8)，前5年總利潤為W1＝eq\f(75,8)×5＝eq\f(375,8)(萬元)；設后5年中，x萬元用于本地銷售投資，60－x萬元用于異地銷售投資，則總利潤W2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,160)x－402＋10))×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(159,160)x2＋\f(119,2)x))×5＝－5(x－30)2＋4500，當x＝30時，(W2)max＝4500.∴10年總利潤最大值為eq\f(375,8)＋4500(萬元)．因eq\f(375,8)＋4500>100，故該項目具有極大的開發價值．1．本題事實上是兩個二次函數的疊加問題，疊加后的二次函數最值要比疊加前的二次函數最值大，從而得解．本題的現實意義也很大．2．解不等式應用題的步驟(1)仔細審題，抓住問題中的關鍵詞，找準不等關系；(2)引入數學符號，用不等式表示不等關系，使其數學化；(3)求解不等式；(4)還原實際問題．2．某農貿公司按每擔200元收購某農產品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，安排可收購a萬擔，政府為了激勵收購公司多收購這種農產品，確定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預料收購量可增加2x個百分點．(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數關系式；(2)要使此項稅收在稅率調整后，不少于原安排稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．[解](1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農產品的收購量為a(1＋2x%)萬擔，收購總金額為200a(1＋2x%)萬元．依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原安排稅收為200a·10%＝20依題意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范圍是0<x≤2.利用不等式解決實際問題[探究問題]利用不等式解決實際問題的步驟是什么？[提示]利用不等式解決實際應用問題，一般可分四個步驟：(1)閱讀理解材料，弄清問題背景．(2)建立合理的數學模型，將實際問題轉化為數學問題．(3)運用不等式的學問、手段探討不等式關系．(4)做出結論．然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函數等方法來求最值．【例3】如圖所示，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線翻折成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？[精彩點撥]設切去的小正方形的邊長為x，由題意可知，折成的盒子的底面邊長為a－2x，高為x，這時盒子的容積為V＝(a－2x)2x，再利用三個正數的算術－幾何平均值不等式，變形為xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))eq\s\up14(3)求解即可．[自主解答]設切去的小正方形的邊長為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,2)))，無蓋方底盒子的容積為V，則V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)·(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2x＋a－2x＋4x,3)))eq\s\up14(3)＝eq\f(2a3,27).當且僅當a－2x＝a－2x＝4x，即當x＝eq\f(a,6)時，不等式取等號，此時V取最大值eq\f(2a3,27)，即當切去的小正方形邊長是原來正方形邊長的eq\f(1,6)時，折成的盒子容積最大．在解決實際問題時，閱讀理解題意，建立數學模型是關鍵，在求解數學模型時，平均值不等式是常用的手段之一．3.用一塊鋼錠澆鑄一個厚度勻稱且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設容器的高為h米，蓋子邊長為a米．(1)求a關于h的函數解析式；(2)設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值．(求解本題時，不計容器的厚度)[解](1)設h′為正四棱錐的斜高，由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4·\f(1,2)h′a＝2，,h2＋\f(1,4)a2＝h′2，))解得a＝eq\f(1,\r(h2＋1))(h>0)．(2)由V＝eq\f(1,3)ha2＝eq\f(h,3h2＋1)(h>0)，易得V＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,h)))).∵h＋eq\f(1,h)≥2eq\r(h·\f(1,h))＝2，∴V≤eq\f(1,6).等號當且僅當h＝eq\f(1,h)，即h＝1時取得．故當h＝1米時，V有最大值，V的最大值為eq\f(1,6)立方米．1．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．4[解析]∵4＝lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)，∴lgx·lgy≤4.[答案]D2．已知a，b為正數，且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6) B．eq\r(6)C．6 D．12[解析](eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，當且僅當eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．[答案]D3．數列{an}的通項公式an＝eq\f(n,n2＋90)，則數列{an}中的最大項是()A．第9項 B．第8項和第9項C．第10項 D．第9項和第10項[解析]an＝eq\f(n,n2＋90)＝eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(n×\f(90,n)))＝eq\f(1,6\r(10))，當且僅當n＝eq\f(90,n)，即n＝3eq\r(10)時等號成立．又n為正整數，檢驗可知選D.[答案]D4．函數y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值為________．[解析]因為函數的定義域為[1,5]，且y>0，則y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(2)·eq\r(5－x)≤eq\r(52＋\r(2)2)×eq\r(\r(x－1)2＋\r(5－x)2)＝eq\r(27×4)＝6eq\r(3).當且僅當eq\r(2)·eq\r(x－1)＝5·eq\r(5－x)時，等號成立，即x＝eq\f(127,27)時，函數取最大值6eq\r(3).[答案]6eq\r(3)5．(1)求函數y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值；(2)求函數y＝cos2x(1＋sinx)的最大值；(3)設x>1，求函數y＝log2x＋logx4的最小值．[解](1)設l＝eq\r(x2＋4)，則l≥2，于是y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝l＋e