6/6橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．2、通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．四、學(xué)習(xí)過(guò)程(一)橢圓概念的引入問(wèn)題：圓的幾何特征是什么？你能否可類(lèi)似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．”“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．”教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等……在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢(xún)啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F(2)點(diǎn)的集合：由定義不難得出橢圓集合為：P=(3)代數(shù)方程:(4)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；整理后，再平方得:a為使方程對(duì)稱(chēng)和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義示橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)（1）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，焦點(diǎn)是（-c，0）、F2(c，0)，這里c（2）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，焦點(diǎn)是（0，-c）、F2(0，c)，這里c教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，(三)例題與練習(xí)例題平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2練習(xí)1寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)2下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是[]由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)