第九章統計與成對數據的統計分析第2節用樣本估計總體1.會用統計圖表對總體進行估計，會求n個數據的第p百分位數.2.會用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.百分位數一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有______的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值.p%2.眾數、中位數、平均數(1)眾數：一組數據中______________的那個數據，叫做這組數據的眾數.(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于________位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.

(3)平均數：把________________稱為a1，a2，…，an這n個數的平均數.出現次數最多最中間常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)對一組數據來說，平均數和中位數總是非常接近.(

)(2)一組數據的第p百分位數可以不唯一.(

)(3)方差與標準差具有相同的單位.(

)(4)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變.(

)×√×√解析(1)平均數指的是這組數據的平均水平；中位數指的是這組數據的中間水平，它們之間沒有必然聯系，故該說法錯誤.(3)方差是標準差的平方，故它們的單位不一樣.2.(必修二P180T1)為了合理調配電力資源，某市欲了解全市50000戶居民的日用電量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了300戶進行調查，得到其日用電量的平均數為5.5kW·h，則可以推測全市居民用戶日用電量的平均數(

) A.一定為5.5kW·h B.高于5.5kW·h C.低于5.5kW·h D.約為5.5kW·hD解析由樣本的數字特征與總體的數字特征的關系，可知全市居民用戶日用電量的平均數約為5.5kW·h.

3.(必修二P213T2改編)若數據x1，x2，…，x9的方差為2，則數據2x1，2x2，…，2x9的方差為(

) A.2

B.4

C.6 D.8D解析根據方差的性質可知，數據x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么數據2x1，2x2，…，2x9的方差為22s2＝8.4.某校體育節10名旗手的身高(單位：cm)分別為175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，則中位數為________.178.5解析把10名旗手的身高從小到大排列為175，175，176，176，178，179，179，179，180，180，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一總體百分位數的估計例1(1)一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數據的第75百分位數為________，第86百分位數為________.14.517解析∵75%×20＝15，∵86%×20＝17.2，∴第86百分位數為第18個數據17.(2)將高三某班60名學生參加某次數學模擬考試所得的成績(成績均為整數)整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數是________.(結果保留兩位小數)124.44解析由頻率分布直方圖可知，分數在120分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分數在130分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數一定位于[120，130)內.感悟提升1.計算一組數據的第p百分位數的步驟2.直方圖中可運用面積和求第p百分位數.訓練1(1)(2024·唐山模擬)某校高三年級一共有1200名同學參加數學測驗，已知所有學生成績的第80百分位數是103分，則數學成績不小于103分的人數至少為(

)A.220

B.240

C.250

D.300B解析∵1200×80%＝960，∴小于103分的學生最多有960人，則數學成績不小于103分的學生至少有1200－960＝240(人).(2)若數據3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數是4.5，則實數x的取值范圍是______________.[4.5，＋∞)解析因為8×65%＝5.2，所以這組數據的第65百分位數是第6個數據為4.5，所以應該有5個數據不大于4.5，則x≥4.5.考點二總體集中趨勢的估計角度1樣本的數字特征例2(1)(多選)給定一組數據5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數據(

)A.眾數為2 B.平均數為3C.方差為1.6 D.標準差為4BC解析由題中數據可得，眾數為2和3，故A錯誤；(2)(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則(

)A.x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數B.x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數等于3，根據中位數的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數是中間兩個數的算術平均數，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數的算術平均數，與x1，x2，…，x6的中位數相等，故B正確；根據極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確.角度2頻率分布直方圖中的數字特征例3

在新疆某地收購的一批棉花中隨機抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數分布表如下：纖維長度頻數頻率[0，50)40.04[50，100)80.08[100，150)100.10[150，200)100.10[200，250)160.16[250，300)400.40[300，350]120.12(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；解樣本的頻率分布直方圖如圖所示.(2)根據(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數、中位數與平均數，并對這批棉花的眾數、中位數和平均數進行估計.設中位數為x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位數為252.5mm；故平均數為222mm.由樣本的這些數據，可得購進的這批棉花的眾數、中位數和平均數分別約為275mm，252.5mm和222mm.感悟提升1.中位數、眾數和平均數分別反映了一組數據的“中等水平”“多數水平”和“平均水平”，我們需根據實際需要選擇使用.2.頻率分布直方圖中的數字特征(1)眾數：最高的矩形底邊中點的橫坐標.(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和是相等的.(3)平均數：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.訓練2(1)某大學共有12000名學生，為了了解學生課外圖書閱讀量情況，該校隨機地從全校學生中抽取1000名，統計他們每年閱讀的書籍數量，由此來估計全體學生當年的閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是(注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表)(

)A.中位數為6B.眾數為10C.平均數為6.88D.該校讀書不低于8本的人數約為3600C解析由圖知，中位數x在[4，8)內，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A錯誤；由圖知，眾數在[4，8)內，故眾數為6，B錯誤；平均數為4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正確；由圖知，該校讀書不低于8本的頻率之和為1－0.16×4＝0.36，所以該校讀書不低于8本的人數約為0.36×12000＝4320，D錯誤.(2)(2023·上海卷)國內生產總值(GDP)是衡量一個國家或地區經濟狀況和發展水平的重要指標.根據統計數據顯示，某市在2020年間經濟高質量增長，GDP穩定增長，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個季度的GDP逐季度增長，中位數與平均數相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.946解析依題意，將2020年四個季度的GDP數據分別記為a1，a2，a3，a4，則a1＝232，a4＝241，考點三總體離散程度的估計解由表格中的數據易得：感悟提升標準差(方差)反映了數據的離散與集中、波動與穩定的程度.標準差(方差)較大，數據的離散程度越大；標準差(方差)較小，數據的離散程度越小.訓練3(2024·濟南調研)甲、乙兩名學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：(1)求兩位學生預賽成績的平均數和方差；(2)現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是(

) A.樣本x1，x2，…，xn的標準差

B.樣本x1，x2，…，xn的中位數 C.樣本x1，x2，…，xn的極差

D.樣本x1，x2，…，xn的平均數AC解析由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；故選AC.2.從某中學抽取10名同學，他們的數學成績如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98(單位：分)，則這10名同學數學成績的眾數、第25百分位數分別為(

)A.92，85 B.92，88C.95，88 D.96，85B解析數據92出現了3次，出現的次數最多，所以眾數是92；這組數據已經按照由小到大的順序排列，計算10×25%＝2.5，取第三個數，所以第25百分位數是88.3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是(

)A.中位數 B.平均數C.方差

D.極差A解析中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數據，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極差均受影響.D5.(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數，則(

) A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同 C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同CD6.(多選)(2024·江蘇四市調研)某校1000名學生在高三一模測試中數學成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)，分數不低于X即為優秀，已知優秀學生有80人，則(

) A.a＝0.008 B.X＝120 C.70分以下的人數約為6人 D.本次考試的平均分約為93.6AD解析對于A，由題圖可知20×(0.002＋0.014＋a＋0.004＋0.020＋0.002)＝1，解得a＝0.008，故A正確；對于B，由題圖可知成績在[110，130)分的學生人數為1000×0.008×20＝160，成績在[130，150]分的學生人數為1000×0.002×20＝40，對于C，70分以下的人數為1000×20×(0.002＋0.004)＝120，故C錯誤；對于D，平均分為(0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120＋0.002×140)×20＝93.6，故D正確.7.(2024·T8聯考)某同學擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據5次的統計結果，可以判斷一定沒有出現點數6的是(

) A.中位數是3，眾數是2 B.平均數是3，中位數是2 C.方差是2.4，平均數是2 D.平均數是3，眾數是2C解析對于A，當擲骰子出現的結果為2，2，3，5，6時，滿足中位數為3，眾數為2，可以出現點數6，故選項A不正確；對于B，當擲骰子出現結果為1，1，2，5，6時，滿足平均數為3，中位數為2，可以出現點數6，故選項B不正確；所以當平均數為2，方差為2.4時，一定不會出現點數6，故選項C正確；對于D，當擲骰子出現結果為2，2，2，3，6時，滿足平均數為3，眾數為2，可以出現點數6，故選項D不正確.故選C.8.已知30個數據的60%分位數是8.2，這30個數據從小到大排列后第18個數據是7.8，則第19個數據是________.8.60解析根據眾數的定義知，百分率最高的是0.10.某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間.將測試結果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數約為______秒.16.5解析設成績的70%分位數為x，解由題意，求出zi的值如表所示，所以可認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.12.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如圖所示.(1)請根據頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數、中位數和平均數；(同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表)解由題圖可知，區間[80，90)的頻率最大，所以眾數為85.設中位數為x，則0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.(2)一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求).請問每天應該進多少千克蘋果？解日銷售量在區間[60，100)的頻率為0.875＜0.9，日銷售量在區間[60，110)的頻率為0.975＞0.9，故所求的量位于區間[100，110)內.由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，13.(多選)(2024·杭州調研)2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦了第19屆亞運會，為了宣傳亞運精神，紅星實驗學校組織了甲、乙兩個社團，利用一周的時間對外進行宣傳，將每天宣傳的次數繪制成如圖所示的頻數分布折線圖，則(

)ABDA.甲社團宣傳次數的眾數小于乙社團宣傳次數的眾數B.甲社團宣傳次數的極差大于乙社團宣傳次數的極差C.甲社團宣傳次數的平均數大于乙社團宣傳次數的平均數D.甲社團宣傳次數的方差大于乙社團宣傳次數的方差解析觀察每天宣傳次數的頻數分布折線圖，甲社團宣傳次數的眾數、乙社團宣傳次數的眾數分別為2，3，A正確；甲社團宣傳次數的極差、乙社團宣傳次數的極差分別為3，2，B正確；14.(多選)(2023·海南模擬)環境監測部門統計了甲、乙兩個城市去年每天的AQI(空氣質量指數)，數據按照(0，50]，(50，100]，…，(200，250]進行分組得到下面的頻率分布直方圖，已知0＜AQI≤50時空氣質量等級為優，則(

)ABDA.甲、乙兩城市AQI的中位數的估計值相等B.甲、乙兩城市AQI的平均數的估計值相等C.甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小D.甲城市空氣質量為優的天數比乙城市空氣質量為優的天數多解析A中，根據兩個頻率分布直方圖，甲、乙兩個城市去年每天的AQI的中位數均為125，A正確；B中，設甲、乙兩頻率分布直方圖中小矩形的高度數值如圖所示，則a×50×2＋b×50＋c×50×2＝1，即50(2a＋b＋2c)＝1，同理，50(2x＋z＋2y)＝1，甲城市的AQI的平均數為50c×25.5＋50a×75.5＋50b×125.5＋50a×175.5＋50c×225.5＝50(250c＋250a＋125.5b)＝50×125.5×(2c＋2a＋b)＝125.5，乙城市的AQI的平均數為50x×25.5＋50y×75.5＋50z×125.5＋50y×175.5＋50x×225.5＝50(250x＋250y＋125.5z)＝50×125.5×(2x