高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省A9協作體2025屆高三上學期8月暑假返校聯考數學試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的地方.3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解，得，所以，所以，故選：A.2.設復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，，所以，，故C正確.故選：C.3.已知平面向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因為，所以，，則，所以，故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，則，故選：B5.函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數在區間上單調遞增，所以在上單調遞增，則，即.故選：A6.方程在的根的個數為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】在同一坐標系內畫出和圖象，因為，，，，所以與圖象在區間上有三個不同的交點，即方程有三個不同的根，故選：B．7.一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出其軸截面，設圓柱的底面半徑為，高為，由，則，所以，因為，令，則，易知時，單調遞增，時，單調遞減，所以.故選：C.8.已知函數，且若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由逆推得，所以，.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量服從正態分布，則以下選項正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】AC【解析】A選項：，故A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：由正態分布密度曲線知其關于對稱，利用對稱性知，故C正確；D選項：因為，所以，，故D錯誤.故選：AC10.三次函數敘述正確的是（）A.函數可能只有一個極值點B.當時，函數的圖象關于點中心對稱C.當時，過點的切線可能有一條或者兩條D.當時，在點處的切線與函數的圖象有且僅有兩個交點【答案】BD【解析】對于A選項：，令，即，當時，方程有兩個不同根，有兩個極值點；當時，無個極值點，故A錯誤；對于B選項：，又是奇函數，關于點對稱，所以函數的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于C選項：設切點x1,fx1因為過點x0,fx即，整理得，所以，或，由于，則兩根相等，即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；對于D選項：在點x0,fx與曲線聯立方程組化簡得，，所以，或，由于，則方程組有兩個不同解，即有兩個不同交點，故D正確.故選：BD.11.數學家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數學表達式：，克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關系式和可將信中表達式轉化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點，則（）A.B.曲線經過點C.當點在曲線上時，D.當點在曲線上時，【答案】ABD【解析】因為，所以，利用關系式得，…（*）A選項：因曲線圖象過點，所以此時，代入（*）得，所以，故A正確；B選項：因為，所以（*）化為，所以直角坐標系下的曲線方程為，代入點滿足，故B正確；C選項：，設，則，令，得或，時，，所以，時，，則有極值，由對稱性，所以，故C錯誤；D選項：方法1：由兩邊平方整理得:，令，則（*），由判別式，得.令，由于方程（*）在有解，（1）當對稱軸，即或時，由得，所以；（2）當對稱軸，即時，由，得，所以，綜上，.故D正確.方法2：，所以.故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為13.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實數______.【答案】【解析】對于，易知，切線斜率為，切點為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設切點，由，解得.故答案為：214.嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設郡縣，古稱剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來無數文人墨客都醉心于嵊州的山水風景之中，李白曾夢到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩曰：剡溪蘊秀異，欲罷不能忘，其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要歷史文化名片，現有甲、乙兩人到達高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千年唐詩路之謝靈運垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個景點，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點的概率為______.【答案】【解析】甲乙打卡相同景點的概率為，所以甲、乙打卡不相同景點的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且，.（1）證明：；（2）若，求邊上中線的長.（1）證明：因為，由正弦定理得，，所以，因為，由余弦定理，，代入得，，化簡得，所以，即證；（2）解：因為，所以，所以，，在中，由余弦定理，故.16.已知三棱錐平面，為的中點，為延長線上一點.（1）證明：；（2）當二面角余弦值大小為時，求的長.（1）證明：因為平面平面，所以，又，，平面，所以平面，因為面，所以，又因為為的中點，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以；（2）解：如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，設，取平面的法向量，設平面的法向量，因為，由，則，令，解得，所以，由，得，解得或，故或.17.已知橢圓的上頂點，點在橢圓上，斜率為的直線過點交橢圓于另一點.（1）求橢圓的方程；（2）當的面積是時，求.解：（1）因為橢圓的上頂點為，所以，則橢圓方程為，因為在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，設直線的方程為，，聯立消去并整理得，由，得，則，到直線的距離，則，解得或.18.設函數.（1）求的最大值；（2）若函數的極小值點為，證明：；（3）若恒成立，證明：.（1）解：令，，當時，，當時，，所以f'x在單調遞增，在上單調遞減，所以，f'x的最大值為（2）證明：由（1）知，f'x在又由函數零點存在定理可得必然存在唯一的，使得，且當時，f'x<0，當時，f所以，函數的極小值點滿足.（3）證明：由，得，設，，①當時，必然存在使得，故不符合題意；②當時，Fx在單調遞減，單調遞增，則，即，所以，令，則，所以上單調遞增，上單調遞減，所以，，即19.設為大于3的正整數，數列是公差不為零的等差數列，從中選取項組成一個新數列，記為，如果對于任意的，均有，那么我們稱數列為數列的一個數列．（1）若數列為，寫出所有的數列；（2）如果數列公差為，證明：；（3）記“從數列中選取項組成一個新數列為數列的數列”的概率為，證明：．（1）解：由數列的定義知，的數列為：2，3，1，4；3，2，4，1．（2）證明：對于項的數列一個數列，因為對于，均有，所以，所以不是所有項中的最大值或最小值，所以為的最