專題05難點探究專題：二次函數中求線段最值問題壓軸題三種模型全攻略

.【考點導航】

目錄

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'-1-*【典型例題】.............................................................................1

【考點一利用二次函數求單線段最值問題】...................................................1

【考點二二次函數中的將軍飲馬型最值問題】.................................................3

【考點三二次函數中的胡不歸最值問題】.....................................................7

尸;I

I*【典型例題】

【考點一利用二次函數求單線段最值問題】

例題：（2023?上海?九年級假期作業）如圖，已知拋物線耳：y=-x2+5,拋物線鳥與^關于點。，。）中心對

稱，耳與此相交于A,8兩點，點M在拋物線片上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線心上，也位于

點A和點8之間，且MNLx軸.

⑴求拋物線吊的表達式；

⑵求線段長度的最大值.

【變式訓練】

1.(2023?湖北襄陽,統考模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-矛-2與無軸交于點A,與y軸

交于點B,拋物線y=-(x-〃?)2+病的頂點為p,過點尸分別作x軸，y軸的垂線交AB于點v，Q,直線

交x軸于點N.

⑴若點尸在y軸的左側，且N為尸M中點，求拋物線的解析式；

⑵求線段尸。長的最小值，并求出當PQ的長度最小時點P的坐標；

(3)若尸，M,N三點中，任意兩點都不重合，且PN>MN,求機的取值范圍.

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2.(2023秋?福建龍巖?九年級校考開學考試)如圖，已知拋物線>左『9+〃圖象經過點4-1,0),且

3

對稱軸為直線％=

⑴求拋物線的解析式；

(2)若CG外加-D是拋物線上位于第一象限內的點，。是線段AB上的一個動點(不與A、B重合)，過點。

分別作DE〃3c交AC于E,DF〃AC交BC千F.

①求C點坐標；

②求證：四邊形DE(才是矩形；

③連接反，線段E尸的長是否存在最小值？若存在，求出所的最小值；若不存在，請說明理由.

【考點二二次函數中的將軍飲馬型最值問題】

例題：(2023秋?安徽滁州?九年級校聯考期末)已知：二次函數y=d+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,

其中A點坐標為(-3,0),與丁軸交于點C,點。(-2,-3)在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

⑵拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；

⑶若拋物線上有一動點尸，使三角形ARP的面積為6,求產點坐標.

【變式訓練】

1.（2023秋?安徽蕪湖?九年級校考階段練習）如圖，拋物線y=V+bx+c交無軸于點A（l,0）,點、B,交y軸

⑴點8的坐標為.

⑵求拋物線的解析式.

⑶點尸是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P,使△PAC的周長最小？若存在，求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

2.（2023?河北石家莊?校聯考模擬預測）如圖，拋物線j=ax1+bx+c（aw0）與x軸交于點A（-3,0）,B（2,0）.與

y軸交于點C,ZCAO=45°,直線V=丘交拋物線于點E,且AE=EC.

備用圖①備用圖②

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點M為直線y=l上一點，點N為直線EC上一點，求CW+MN的最小值；

⑶點尸為拋物線上一點，點。為平面內一點，是否存在點P,。，使得以E,C,P,。為頂點的四邊形是

矩形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2023秋?全國?九年級專題練習)如圖1所示，已知直線>=京+加與拋物線y=ax2+bx+c分別交于x軸

和y軸上同一點，交點分別是點3(6,0)和點C(0,6),且拋物線的對稱軸為直線x=4.

⑵如圖2,點Q是線段上一點，且CQ=40,點M是y軸上一個動點，求線段MQ+MA的最小值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使，PBC是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標，不存在請說明

理由.

4.(2023春?廣東湛江?九年級湛江市第二中學校考階段練習)如圖，已知拋物線y=-d+bx+c與y軸交于

點C,與x軸交于4-1,0),3(3,0)兩點.

⑴求拋物線的解析式.

⑵連接AC,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△ACP的周長最小？若存在，求出點尸的坐標和△ACP

的周長的最小值，若不存在，請說明理由.

⑶點M為拋物線上一動點，點N為x軸上一動點，當以A,C,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形時，直

接寫出點M的橫坐標.

5.（2023?廣東佛山?二模）己知拋物線>=加+法+3經過點4L0）和點8（-3,0）,與y軸交于點C.

⑴求該拋物線的表達式；

⑵如圖1,在對稱軸上是否存在一點E,使△AEC的周長最小.若存在，請求出點E的坐標和△AEC周長

的最小值；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,設點P是對稱軸左側該拋物線上的一點，點。在對稱軸上，當VBPQ為等邊三角形時，請直接寫

出符合條件的直線AP的函數表達式.

【考點三二次函數中的胡不歸最值問題】

例題：（2023?四川內江?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+6x+c與x軸交于B（4,0）,

C（-2,0）兩點.與y軸交于點A（0,-2）.

⑴求該拋物線的函數表達式；

⑵若點P是直線A3下方拋物線上的一動點，過點尸作x軸的平行線交43于點K,過點P作y軸的平行線

交x軸于點D,求與gPK+PD的最大值及此時點P的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△腸匕是以A3為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

【變式訓練】

1.（2023春?四川內江?九年級校考階段練習）如圖，已知拋物線y=加+bx+c（aW0）與y軸相交于點C（0,-2）,

與x軸分別交于點2（3,0）和點A,且tanNC4O=l,

⑴求拋物線解析式.

（2）拋物線上是否存在一點Q,使得/A4Q=ZABC,若存在，請求出點。坐標，若不存在，請說明理由.

⑶拋物線的對稱軸交X軸于點，在，軸上是否存在一個點。使日尸C+如的值最小，若存在‘請求出

最小值，若不存在，請說明理由.

2.(2023?山東濟南?統考三模)如圖1,拋物線＞=-/+云+。與無軸交于a,臺兩點，與y軸交于點C,已

知點A的橫坐標為-1,點C的縱坐標為3.

⑴求該拋物線的解析式，并寫出其對稱軸；

(2)設點P是拋物線對稱軸第一象限部分上一點，連接叢，將線段出繞點尸順時針旋轉90。，點A的對應

點為D若點。恰好落在該拋物線上，求點尸的坐標；

(3)如圖2,連接CB,若點。是直線上方拋物線上一點，點M為y軸上一點，當△QBC面積最大時，求

QM+^OM的最小值.

3.(2023?四川巴中?統考一模)如圖1,已知拋物線、=狽2+法+1經過點A(-LO)和點3,且與y軸交于點C,

直線y=-；x+〃z經過B點和點C.

⑴求直線和拋物線的解析式.

(2)若點P為直線上方的拋物線上一點，過點P作EEJL3c于點E,作P尸〃y軸，交直線BC于點尸,

當！PE尸的周長最大時，求點P的坐標.

⑶在第(2)間的條件下，直線CP上有一動點。，連接B。，求2。+半C。的最小值.

4.(2023,江蘇鎮江?校聯考一模)如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數y=-J尤2+bx+c的圖像與無軸交

于點4(-1,0)和點3(4,0),與y軸交于點C,頂點為點D

⑴求二次函數表達式和點D的坐標；

(2)連接AC、BC,求..ABC外接圓的半徑；

⑶點尸為x軸上的一個動點，