高二12月份階段性檢測數學試題

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線‘過點則直線.的傾斜角為（）

A.30°B,45°c,60°D,120°

【答案】A

【解析】

【分析】先用斜率公式求得斜率，然后利用直線的傾斜角與斜率的關系即可求解.

【詳解】因為直線.過點（°」）、（",）

上=±L正

所以直線，斜率為;.

設直線，的傾斜角為d

3史.

所以3,即6=30.

故選：A.

xy.

2.已知橢圓C：43的左、右焦點分別為尸I,仍，過點后作直線/交橢圓C于N兩點，則

因僅'的周長為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由四“N的周長為=陋卜1幽卜1A司+陋1+囚用+此I,結合橢圓的定

義，即可求解.

3

cXy*1

C'=11

【詳解】由題意，橢圓43,可得了=4,Bpa-2,

如圖所示，根據橢圓的定義，可得亞的周長為，-4=網+陶1+1幽I

=網+網+網+網=%+i=4?=8

故選：D.

3.已知圓CH）+（y+2）=1與圓gU-7）+（.r-l）=16,則兩圓的位置關系是（）

A.外切B.內切C.相交D.相離

【答案】A

【解析】

【分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.

【詳解】對圓C仆一3'+11'+21=I,其圓心G(3.-21,半徑一=1.

對圓仃("°7)MD=16,其圓心6(7,1),半徑弓=4；

又卜￡|=丁-79+(-”19=5=八+,故兩圓外切.

故選：A.

4.在平行六面體加2-44/4中，M為AC與8。的交點，若44=1,4A=b,4<=三，則

下列向量中與瓦M相等的向量是().

I.1r.

—ad—b+c

B.22

1.1r.

—a—o+c

D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.

4nr?r>4sr,nBM■―BD?—(AD—ABI■—(4A—44I

【詳解】因為在平行六面體質8-4瓦34中，222,

=B?+BM=4Z+T44—45j=—三4曷+彳49+4Z=—彳

所以---

故選：A.

5.若拋物線F二］四的焦點與雙曲線/-J=1的右焦點重合，則.〃=()

A.2B.4C二6D.C

【答案】C

【解析】

【分析】先求出雙曲線？-寸二?的右焦點，此焦點是拋物線F=::嚴的焦點，求出「

【詳解】在雙曲線？-『=】中，1=1+1=2,所以右焦點月(工°),

p)~=P—iW

心是拋物線?」=~DT的焦點，

故選：C

6.已知A(2,1),拋物線C：：,="丫的焦點為R尸是拋物線C上任意一點，則APAF周長的最小值為

()

A.30B.l+C.3+75D.3+2V2

【答案】c

【解析】

【分析】借助拋物線的定義，將.叩轉化成PH,4尸三點共線時，周長最小.

拋物線的準線、=-1,過點尸作垂直于準線，由題可知，△尸AF的周長為

AF+PA+PF=AF+PA+PH,

經=心,易知當4只日三點共線時，周長最小，且最小值為3+W.

故選：c.

±_±=1

7.已知雙曲線/(?>0,5>0),點尸為其右焦點，點3(°，捫，若8尸所在直線與雙曲線的

其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為()

,^5+1^5*1

A.V^+lB.2C,2D,4-1

【答案】B

【解析】

⑷上7

【分析】由已知條件可得Ic)a,b'=c'-￡,所以c'-ac--=O,即/-。-1=0,解方

程即可求解.

,_b-Q_b九

【詳解】右焦點“(,°,點‘(°㈤，所以上"一晨￡一_￡<

若SF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直,

J2

a,可得b'=",

又因為=所以c'-a'=ac,即，，r-l=O,

g_5/5+1_1-V5

解得：--或"2(舍)

5+1

所以該雙曲線的離心率為2,

故選：B.

-+-a-=1>6>0)

8.已知O為坐標原點，尸是橢圓C:、：‘匕’的左焦點，A,8分別為C的左，右頂點.P為

C上一點，且尸尸，尤軸.過點A的直線/與線段尸尸交于點M,與y軸交于點E.若直線3M經過OE的中

點，則C的離心率為

112N

A.3B.2C.ID.4

【答案】A

【解析】

L2

,4—a.0).M(~c.^―)=

【詳解】試題分析：如圖取尸與“重合，則由c直線

Q

AM:y=―-—(x+a)=E(O.2—)

—c+aa-c同理由

J

=>a=3c=>e=

3，故選A.

考點：1、橢圓及其性質；2、直線與橢圓.

【方法點晴】本題考查橢圓及其性質、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數形結合思想和轉化化歸思

想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.

二、多選題(本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求)

Ci:―=1Cj―—-=-1

9.關于雙曲線916與雙曲線916,下列說法正確的是（）.

A.它們有相同的漸近線B.它們有相同的頂點

C.它們的離心率不相等D.它們的焦距相等

【答案】CD

【解析】

【分析】根據雙曲線的幾何性質，逐一分析選項即可.

cy=±-,雙曲線0》的漸近線方程為:

【詳解】雙曲線1的漸近線為：.故A錯誤;

雙曲線C的頂點坐標為（±3，°）,雙曲線°：的頂點坐標為（±4「，故8錯誤;

165

雙曲線°的離心率3,雙曲線0〉的離心率

,%工叼，故c正確;

雙曲線C的焦距2c=10,雙曲線0】的焦距2c=10,故D正確.

故選：CD.

【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查學生對基礎知識的掌握程度，屬基礎題.

—=l（ieR）

10.已知曲線C的方程為上+】5-上，則下列結論正確的是（）

A.當*=二時，曲線C為圓

B.曲線C為橢圓的充要條件是-1<上<5

C.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，貝肽<-【

D.存在實數上使得曲線C為拋物線

【答案】AC

【解析】

【分析】根據圓、橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的特征即可逐項判斷求解.

【詳解】對于A,當大-二時，曲線C的方程為/十1'=3,此時曲線C表示圓心在原點，半徑為有的

圓，所以A正確；

對于B,若曲線c為橢圓，則k+「>0,5T>0且先+”5-七，所以B錯誤；

對于C,若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則上+1<0,5-i>0,解得上<-1,所以C正確；

對于D,曲線C不存在X,y的一次項，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤.

故選：AC.

Q\+1=l（a>6>0）

11.已知橢圓,則下列結論正確的是（）

A.若"=則橢圓Q的離心率為二

B.若橢圓0的離心率越趨近于0,橢圓越接近于圓

C.若點尸「凡分別為橢圓。的左、右焦點，直線/過點耳且與橢圓。交于A,8兩點，則"空耳的周長

為4。

D.若點4?4分別為橢圓C的左、右頂點，點尸為橢圓0上異于點4?4的任意一點，則直線尸尸4的

J>3

斜率之積為a-.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據橢圓的方程和幾何性質，逐項驗證得出結果.

cJ3

【詳解=且解得離心率a2,選項A錯誤；

根據橢圓離心率的性質“離心率越小橢圓越圓”，選項B正確；

根據橢圓的定義，1盟1+席卜刈即|+此卜%

所以“8居的周長為卜4+解|+|3瑪1=1.|+附|+|即|+|34I=3,選項c正確；

x3y1

根據題意，4（-a，°），4（a，°）,設點尸（MJ'i,其中不與一

yy_y_a2[

kk=__L=_L

所以"Mv+ay-ax2-a2A3-a1a2,選項D正確.

故答案為：BCD.

12.已知正方體，奶。。外用/口的棱長為4,點￡斤//分別是sc,且4,3尻的中點，則（）

A.異面直線4。與E尸所成的角的正切值為0

B.平面截正方體所得截面的面積為18

C.四面體曲6E的外接球表面積為"兀

D.三棱錐工一小紀:。1的體積為~3~

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A中，取5c的中點區，取反弓的中點G,連接4°,證得4G“B，把異面直線

4。與E尸所成的角轉化為直線4。與4G所成的角，在直角的玲中，可判定A正確；延長

交于點月，連接。月交兒§于點M連接孫兒8!,掙得多平面DM。截正方體所得截面為

等腰梯形AWDCi,求得其面積，可判定B正確；畫出以￡尸為對角線的長方體，得到該長方體的外接球

即為四面體4E&V的外接球，結合長方體的性質和球的表面公式，可判定C正確；結合

’39A=,可判定D錯誤.

【詳解】對于A中，取5C的中點號，連接即，再取員工的中點G,連接43,

因為4尸〃EG且4尸=SG,所以四邊形4FEG為平行四邊形，所以4G〃所，

所以異面直線4。與￡尸所成的角，即為直線4口與AG所成的角，即2G4°,

因為正方體-如CD一型￡4的棱長為4,可得4G=DG=::底&=4史,

可得」1DG為等腰三角形，取4。的中點GI,則g"。,

4

在直角從毀中，可得四=JAG'-AG；=4所以3n一。"4Gl2^2"

直線40與￡尸所成的角的正切值為0,所以A正確;

對于B中，延長GMC8交于點兒連接。月交須于點M連接孫網

因為38J/CG,“為的中點，所以可得m為月。的中點,

又因為幺3//CD,所以N1為A6的中點，所以MM//45!,

因為aC\,所以期CQ為平行四邊形，所以盟〃

所以MNIg,平面口g截正方體所得截面為等腰梯形,

在等腰梯形MWDC；中，DC\=忠MN=*.DN=M^=*

所以梯形的高為?的SY-30

iz?ix（4V2+2^）x3V?=1S

所以梯形孫“1的面積為二，所以B正確.

對于c中，畫出以E尸為對角線的長方體MES-FPQR,

則該長方體的外接球即為四面體4砌'的外接球，

可得外接球的直徑為*->/川+AB'+BE3=7?+7+?=2氓,

PP

4K/?3=4兀K(----)A=24K

所以外接球的表面積為2,所以c正確；

對于D中，連接g竭C,則g"1"吊C,

因為加/平面3cq%4°u平面BCC31,所以/_1%，

又因為用ng=3且應gu平面必7上，所以J■平面必汨,

因為“為的中點，

所以三棱錐”-4能的高為押=仃

所以33,所以D錯誤.

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.若坐標原點到拋物線J的準線距離為2,則巾=

土二

【答案】8

【解析】

【分析】

根據拋物線性質可得結果.

33：產」|-2J=2

【詳解】由「=""化為標準方程m',準線方程.Am,故由題意I4k,

m=±—

得8.

±1

故答案為：8

14.已知雙曲線的漸近線方程為!一士則雙曲線的離心率為.

【答案】■或亍

【解析】

?=J1+-T

【分析】分兩種情況，焦點在,軸上，焦點在軸上，兩種情況，分別代入V"即可求解.

g-±=i—=v?=「

【詳解】當雙曲線為。b時，a,e….

￡

故答案為：。=力或2.

15.直線與雙曲線丁-4】"=4相交于48兩點，若點尸T.lI為線段的中點，則直線的方程是.

【答案】》一尸3=°

【解析】

【分析】由中點坐標公式可知t+±=s,ri+,'-］；利用點差法可求得直線斜率**1,進而得到直

線方程.

【詳解】設41"/，"（?'?''」

:P4J）為心中點..丸+4=8,］\+丁）=2

X-4y；=4

由1》；-44=4兩式作差可得：（再+與）區fl=4（“+”心\一.匕?

4一町4（j，］+》J

直線斜率

直線方程為：廠1=1/7|,即=°

故答案為J］」3=°

【點睛】本題考查根據弦中點求解直線方程的問題，關鍵是能夠熟練應用點差法，將直線的斜率與中點坐

標之間的關系表示出來，從而求得直線斜率.

16.已知拋物線C的方程為：］一=4T,尸為拋物線C的焦點，傾斜角為45?的直線；過點尸交拋物線c于

A、B兩點,則線段AB的長為

【答案】8

【解析】

【分析】根據給定條件求出拋物線C的焦點坐標，準線方程，再求出點48的橫坐標和即可計算作答.

【詳解】拋物線C：.'=4、的焦點尸(1,0),準線方程為、=-［,

x-l

依題意，直線/的方程為：，=TT,由丁消去x并整理得：Y-6」+】=0,

設題》期).8⑸、)則七+與=6,于是得?"卜|“?+1如卜西+】+,+1=g

所以線段的長為&

故答案為：8

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知在平面直角坐標系‘0丫中，圓「二.

⑴過點H?.拘作圓的切線，求切線方程；

(2)求過點的圓的弦長的最小值.

【答案】(1)"舟-《二。

(2)272

【解析】

【分析】(1)先根據點"(,"I在圓。上，求出直線4。的斜率；再根據圓的性質可得出所求切線的

斜率和方程.

(2)先根據點3仁/)在圓C內，求出圓心二到點口的距離；再利用幾何法可得圓心二到直線AW

距離的最大值；最后利用勾股定理即可求出過點‘二」，的圓的弦長的最小值.

【小問1詳解】

由圓c。-】尸+『=4可得：圓心C(L°),半徑r=

..(2-1)'+(一)=4

點'C在圓。上，即點/(工業為切點.

晨.=旦="

?.?直線4。的斜率為2-1

￡=-1=-叵

所求切線斜率為Lc3.

rJ3

3'-x/3=--Ix-2)zr-n

切線方程為3，即T+J牙-5=0.

【小問2詳解】

aa

v(2-l)+l=2<4

點E,D在圓。內.

設直線2仆【過點“'二」'，圓心0到直線AW距離為d,

?.?圓C半徑，,-2

則的=

???結合圖形可知當時，a取得最大值，為四卜Jc-1)'+P=8

過點叫口的圓的弦長的最小屋「面=/詞="

18.(1)焦點在\軸上的橢圓過點IL,離心率,2,求橢圓的標準方程；

(2)已知雙曲線過點"°二1I*二?T

,它的漸近線方程為,V,求雙曲線的標準方程.

一+:-=[___-

【答案】⑴3627；(2)188

【解析】

【分析】

(1)設橢圓的標準方程，代入已知點，再由離心率.三及f=9+1可解得基本量.

(2)由漸近線方程可設雙曲線方程為9，代入〃點的坐標即可.

【詳解】(1)設橢圓標準方程為:,則

,又聯立解得°=6力=3&,

所以橢圓標準方程為：36^27

,2x2y2.

jp匚i,^x?=4

(2)由雙曲線的漸近線方程.3,可設雙曲線方程為：94

…6：仁切，

又雙曲線過點“W'L所以于一4解得以=2,

x2/1

所以雙曲線的標準方程為：ISS

【點睛】此題為基礎題，考查橢圓和雙曲線標準方程的求法.

19.如圖，在長方體ABC。-421C1D1中，AD=AAi^l,AB=2,點E在棱AB上移動.

(2)若EB3,求二面角Di-EC-。的大小.

【答案】(1)見解析(2)30°.

【解析】

【分析】(1)以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

設(0SW2),證明40=。即得證；(2)利用向量法求二面角。1-EC-。的大小.

【詳解】證明：(1)以。為原點，DA,DC,ODi所在直線分別為無，》z軸，建立空間直角坐標系,

設AE=f,(0<Z<2),則。I(0,0,1),E(1,t,0),Ai(1,0,1),￡)(0,0,0),

口E=(i,r,-i),4?=(-1,0,-1),

所以AE40=o,

：.DiE±AiD.

(2)；EB3,：.E(1,23,0),C(0,2,0),

_一近一

：(1,3,0),CA=(0,-2,1),

設平面CEDi的法向量5=(x,?z),

\——

nCE=x-——v=0

.3.

則bS=Yj'+二=°,取y=3,得彳=(A,6),

平面CAE的法向量而=(0,0,1),

設二面角Di-EC-D的平面角為0,

則cos。網同相’2,所以0=30。,

二面角Di-EC-D的大小為30°.

【點睛】本題主要考查空間線面位置關系的證明，考查空間二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理

解掌握水平和計算能力.

（。中』

20.已知橢圓Jb2經過I

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線'、-丁-1=°交橢圓E于不同兩點A,P,。是坐標原點，求A。,45的面積.

3

x31

一+V=1

【答案】（1）4■

4

（2）5

【解析】

【分析】（1）將兩點坐標代入橢圓方程中，求出方的值，可求出橢圓的方程；

（2）直線，方程與橢圓方程聯立，消去1,得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標》】，

5=-|0P|ly,-rJ

v設直線，與1軸交于點P,利用-","進行求解.

【小問1詳解】

伊=1

+=1

E*1=1(0.1)/j3,1^|4-T

橢圓a，6*經過卜-A將兩點坐標代入橢圓方程中，得49,解得:

,6=1,

^―+r=1

即橢圓E的方程為4*；

【小問2詳解】

記底玉.內），可設心的方程為X="1,

P+4yl=43

由L=「+l,消去、得5y3=0,解得1,33~5,

D”nsS=—lOPlIr.-vJ=-x1x-=-

直線,與'軸交于點尸（L0）,則21I"'J|255.

21.如圖，在五面體ABCDE中，平面BCDJ,平面ABC,AC1BC,ED//AC,且

<4C=BC=2￡Z）=2,DC=DB=6

(1)求證：平面/L5E」平面H8U.

(2)線段BD上是否存在一點尸，使得平面，4CW與平面的夾角的余弦值等于H?若存在，求

DF

布的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

DF,

(2)存在，FB

【解析】

【分析】(1)首先根據垂直關系，建立空間直角坐標系，分別求平面488和平面■位C的法向量，證明

法向量垂直，即可證明面面垂直；

(2)首先求平面且「尸的法向量，根據法向量的夾角的余弦值，即可求解點尸的位置.

【小問1詳解】

如圖，設BC中點為o,過。作。

由于4cH,所以。x_LBC,由于DC=D8,則有D018C,

又平面3CDJ■平面4BC,平面BCDCI平面45。=8。,兇u平面BCD,

所以DOJ?平面/BC,又Qru平面45。，所以DO_LOx.

又0alEC,故0T,OB,8三條直線兩兩垂直.

如圖，以。為原點，Oy,QB,0D分別為-】、二軸，建立空間直角坐標系°一D二,

依題意可得山-T叫E（L6?,B（0,1.0）,

^45=（-2.2.0）

，，

設平面的法向量為=4-I

AEnt=0,-覆+“+V^i=0

則有3%=°,即1一乂+比=°,令玉=1,得一=（LL。），

取平面4SC的一個法向量嗎=（.°」），

因為一工=。，所以平面ABEJ平面4BC；

【小問2詳解】

設方=2五（0s2wh,

由（1）知D（0.0.V2|C（0,-1.0iMO.l.O）,CD=（O.1.V2|PB=（O.L-V2|

所以方=24gi,

而麗=而+而=（o.】.VT）+|（u.-Vii）=（（u+i.b-6i

則，

CF標=0

設平面4?尸的法向量”二（卬.匕二力則有［AC山=0,

因為工「=T.0,C?,

X]=0

U+1M+S-0gMo

所以o,即4+t

令二廣用，可得月=則而=(o.6"ir+il

因為平面工CF與平面，如8的夾角的余弦值等于11.

-碼