集合的概念數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。明確研究對象、確定研究范圍是研究數學問題的基礎為了簡潔、準確地表達數學對象及研究范圍，我們需要使用集合的語言和工具。自然數的集合：

同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合（即圓）

大家在小學和初中階段接觸過哪些集合呢？看下面的例子:

(1)1-10之間的所有偶數;

(2)立德中學今年入學的全體高一學生;

(3)所有的正方形;

(4)到直線l的距離等于定長d的所有點;

(5)方程x2-3x+2=0的所有實數根;

(6)地球上的四大洋；

思考：例(1)中，我們把1~10之間的每一個偶數作為元素，這些元素的全體就是一個集合;同樣地，例(2)中，把立德中學今年入學的每一位高一學生作為元素，這些元素的全體也是一個集合.

思考：例（3）例（6）也都能組成集合嗎？他們的元素分別是什么？思考：集合（集）：研究對象組成的整體。

集合表示：大寫字母A、B、C……

元素：研究對象

元素表示：小寫字母a,b,c……

集合A={a、b、c}

常用的數集及其記法

元素與集合的關系常用的數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*或N+ZQR關系語言描述記法讀法屬于a是集合A中的元素a∈Aa屬于集合A不屬于a不是集合A中的元素a?Aa不屬于集合A集合元素的三個特性：

確定性：a?A，a∈A有且僅有一個成立

互異性：{a，b}中，a≠b

無序性：{a，b}={b，a}集合的表示方法：

1.自然語言法小于10的所有自然數組成的集合

2.列舉法

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3.描述法{x∈A|P(x)}{x∈N|x＜10}

{x∈N;x＜10}“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋);

“方程x2-3x+2=0的所有實數根”組成的集合可以表示為{1，2}.

像這樣把集合的所有元素一一列舉岀來，并用花括號“{

}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

列舉法：不等式x-7＜3的解是x＜10，因為滿足x<10

的實數有無數個，所以x-7＜3的解集無法用列舉法表示，但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即:x是實數，且

x＜10，把解集表示為{x∈R|

＜10}.

又如，整數集Z可以分為奇數集和偶數集.對于每一個

x∈Z，如果它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式，那么x除以2的余數為1，它是一個奇數;反之，如果x是一個奇數，那么x除以2的余數為1，它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式.所以x=2k+1(k∈Z)是所有奇數的一個共同特征，于是奇數集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.

一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法.

描述法：例1

用列舉法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然數組成的集合

由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此一個集合可以有不同的列舉方法。例如，集合A還可以寫成A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}做一做：解：A={0，l，2，3，4，5，6，7，8，9}.

解：設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B，那么集合B={0，1}.

例1

用列舉法表示下列集合:(2)方程x2=x的所有實數根組成的集合做一做：例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有實數根組成的集合A做一做：

例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合:(2)由大于10且小于20的所有整數組成的集合B

做一做：解：(2)設x∈B，則x是一個整數，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示為B={x∈Z|10<x<20}.

大于10

且小于20

的整數有11，12，13，14，15，16，17，18