3新右考裁考，裁科新更義易徐合點用

-----------------------------------------------------OLH1O-----------------------------------------------------

題型一1

題型二3

題型三7

題型四8

題型五11

題型六18

題型七26

題型八35

好題訓練............................................................................40

高考真題訓練........................................................................69

題型一

1.（2024?黑龍江大慶?模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣的一列

數：1,1,2,3,5,8,…，該數列的特點是:從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和,人們把這樣的

一列數所組成的數列｛冊｝稱為“斐波那契數列"，則—+:+慮+…+*24是斐波那契數列中的第

02024

______項.

2.（2024?貴州遵義?模擬預測）（多選）數列｛冗｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…稱為斐波那契數列，又稱黃

金分割該數列,從第三項開始，各項等于其前相鄰兩項之和，即同+2=冗+i+Fn（n€N*），則下列選項正確

的是（）

=

A.2*io55B.用+用+耳+片++月3=月4

C.用+網+或+國+……+&24=琢25D.皆+琢+M2+理+……+琛=及.咒+1

3.（23-24高三上?河北廊坊?期末）意大利數學家斐波那契以兔子繁殖數量為例，引入數列：1,1,2,3,5,

8,該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即an+2=冊+i+冊⑺6N*）,故此數列稱為斐波那契數

歹U,又稱為“兔子數列”，其通項公式為a”=,設乃是不等式

Iog2［（l+〃K）”—（1—0出＞n+6的正整數解，則"的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2024?河南?模擬預測）我們把由0和1組成的數列稱為0-1數列，0-1數列在計算機科學和信息技術

領域有著廣泛應用，把斐波那契數列｛尺｝（E=鳥=L豆+2=同+冗+i）中的奇數換成0，偶數換成1可得

到0—1數列｛%｝，若數列｛冊｝的前九項和為S”,且S*=100，則k的值可能是（）

A.100B.201C.302D.399???

5.(24-25高二上?山東青島?階段練習)在數學上，斐波納契數列｛冊｝定義為：&=1,a?=1,冊+2=an+

an+1,斐波納契數列有種看起來很神奇的巧合,如根據an+2=an+a?+1可得冊=an+2—an+1，所以電+

H--\-an=(a3—?2)+(a4—?3)H-----F(a?+2—a?+i)=冊+2—a2=冊+2—1,類比這一方法，可得出+諼+…

硫=()

A.714B.1870C.4895D.4896

6.(2024?山東?模擬預測)(多選)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列

數：1,1,2,3,5,8,13,21,….該數列的特點如下:前兩個數均為1,從第三個數起，每一個數都等于它

前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用F(n)(nGN*)表示斐波那契

數列的第n項,則數列仍⑺｝滿足:F(l)=F(2)=1,F(n+2)=F(n+1)+F(n).則下列說法正確的

是()

A.F(10)=34

B.3尸(n)=F(n—2)+尸(九+2)(n>3)

C.F⑴+F⑵+…+1(2023)=斤(2025)-1

D.[F(l)]2+[F(2)]2+-+[F(2023)]2=F(2023)-F(2024)

題型二差數列及階差數列

7.(23-24高二上?云南昆明?期末)數學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了

一些新的高階等差數列.其中二階等差數列是一個常見的高階等差數列，如數列2,4,7,11,16從第二

項起,每一項與前一項的差組成的新數列2,3,4,5是等差數列，則稱數列2,4,7,11,16為二階等差數

歹U.現有二階等差數列｛飆｝,其前六項分別為1,3,6,10,15,21,則色當的最小值為

n+1---------

8.(23—24高三下?重慶?階段練習)定義:滿足*：—=g(q為常數，"CN*)的數列｛冊｝稱為二階等

比數列，q為二階公比.已知二階等比數列卜)的二階公比為方，電=1?2=方,則使得冊>2024成立

的最小正整數九為()

A.7B.8C.9D.10

9.(2024.全國.模擬預測)給定數列｛冊｝,稱｛an—為｛冊｝的差數列(或一階差數列)，稱數列｛a.—

小｝的差數列為｛冊｝的二階差數列……

(1)求｛2葉的二階差數列；

(2)用含小的式子表示｛2葉的m階差數列，并求其前幾項和.

???

10.（2024?四川自貢?一模）南末數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公

式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等,但是逐項差數之差或者高次

差成等差數列.對這類高階等差數列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有高階等差數列，其前

7項分別為3,7,13,23,39,63,97,則該數列的第8項（）

A.131B.139C.141D.143

11.（2024.四川南充.三模）對于數列｛%｝，規定^an為數列｛冊｝的一階差分，其中△飆=冊+i—%（九CN*）,規

定為數歹!J｛冊｝的k階差分，其中△%“="-%”+】一A-anSeN*）.若an=gT『T），則

△2?6=（）

A.7B.9C.11D.13

12.（2024?吉林長春?模擬預測）對于數列｛時｝,稱｛AaJ為數列｛aj的一階差分數列，其中Aan=an+1-

an（nEN*）.對正整數k（k>2）,稱｛△憶/為數歹U｛an｝的k階差分數列，其中=^an+1

_Lc1n已知數列｛%｝的首項?=1,且｛AM+I—七一2"｝為｛a?｝的二階差分數列.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）設勾=，稼_4+2）,｛4｝為數列｛%｝的一階差分數列，對VnGN*,是否都有之立&=源成立？

并說明理由；（其中G為組合數）

⑶對于（2）中的數列｛g｝,令%紅苧2，其中。Vt<2.證明：f%V2"-2r.

???

題型三

13.（23-24高三上?四川綿陽?階段練習）若數列｛cj滿足cn+1=或則稱｛cj為“平方遞推數列”.已知數

列｛冊｝是“平方遞推數列”，且電>0,電/1,則（）

A.｛Igaj是等差數列B.｛lg@+i—IgaJ■是等差數列

C.｛冊冊+1｝是“平方遞推數列”D.｛%+1+%｝是“平方遞推數列”

14.（2024.海南.模擬預測）（多選）已知數列｛4｝滿足:①IZ；②ViCN*,i&n,a,+i=取，kCN*,則稱

數列｛冊｝為“類平方數列”，若數列｛6?｝滿足:①數列｛bn｝不是“類平方數列”;②將數列｛bn｝中的項調整

一定的順序后可使得新數列成為“類平方數列”，則稱數列｛0｝為“變換類平方數列”，則（）

A.已知數列an=n（l<n<7,n6N*）,則數列｛冊｝為“類平方數列”

B.已知數列｛冊｝為：3,5,6,H,則數列｛aj為“變換類平方數列”

C.已知數列｛冊｝的前八頂和為a3+箕2+9,則數列｛%｝為“類平方數列”

D.已知a“=sin等，n=l,2,3,4.則數列｛時｝為“變換類平方數列”

題型四

15.（2024?江西新余?模擬預測）我們規定:若數列｛除｝為遞增數列且｛4｝也為遞增數列，則｛鼠｝為“X-數

歹

/Q\n3

2

（1）已知：an=,bn=log3n,cn=n，數列｛aj,｛bj,｛cj中其中只有一個X—數列，它是：；請從另

外兩個數列中任選一個證明其不是X-數列.

（2）已知數列｛斯｝滿足：n（an+1—an）=an+a19Qi=l,Sh為｛%｝的前n項和，試求｛an｝的通項并判斷數

列｛點｝是否為X—數列并證之.

（3）已知數列｛冊｝、｛圖｝均為X—數列，且的>0,仇>0,求證:數列G,=ajb”也為X—數列.

???

16.（24-25高三上?河南?開學考試）若數列｛冊｝的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數/Q）確定，則稱/Q）

為｛an｝的遞歸函數.設｛冊｝的遞歸函數為/Q）=—砂十力.

⑴若0VQIVLan+i=/（an）（nEN*）,證明:｛an｝為遞減數列；

⑵若M+i=/（M）+5。九+境,且電=~|~,｛an｝的前n項和記為Sz

①求s“；

②我們稱gQ）=同為取整函數，亦稱高斯函數,它表示不超過C的最大整數，例如[1.2]=1,[-1.3]=

_若丁四—2024

2=y—，求

■右Zg(Z).

nhs-ai+li=l

17.（2024.廣東深圳.模擬預測）已知｛冊｝是各項均為正整數的無窮遞增數歹U，對于kCN*,定義集合瓦=

｛iCN*a〈A;｝,設d為集合瓦中的元素個數，特別規定:若瓦=0時，既=0.

⑴若冊=2",寫出仇，匕2及的值；

（2）若數列｛bn｝是等差數歹U,求數列｛an｝的通項公式；

（3）設集合S=｛s|s=n+a?,n€A/-*｝,T=｛玳=71+0,?167\/'*｝,求證：SUT=N*且SClT=0.

???

題型五數列的凹凸性

18.（2024.安徽池州.模擬預測）定義:若對V%CN*,R>2,耿_】+加+iW2aA恒成立，則稱數列｛冊｝為“上凸數

列”.

⑴若冊=商二I,判斷｛詼｝是否為“上凸數列”，如果是，給出證明；如果不是,請說明理由.

⑵若｛an｝為"上凸數列"，則當m>ri+2（m,7iCN*）時，與+a”W0mT+an+1.

（i）若數列S”為｛aj的前幾項和,證明：S”>葭4+冊）；

.____

（ii）對于任意正整數序列/i,g,g,…m，…，為（n為常數且n>2,nEN*）,若媛—1>

i=l

-A\—1恒成立，求的最小值.

19.（24-25高三上?安徽亳州?開學考試）已知數列｛an｝,對于任意的八CN*,都有冊+an+2>2an+1,則稱數

列｛aj為“凹數列”.

（1）判斷數列飆=2”是否為“凹數列”，請說明理由；

（2）已知等差數列｛0｝,首項為4,公差為d,且｛乎｝為“凹數列”，求d的取值范圍；

（3）證明:數列｛cj為“凹數列”的充要條件是“對于任意的k,m,nEN*,當Vn時，有包子<

m—k,

GiCm,,

n—m

???

20.（24—25高二上?上海?階段練習）已知數列｛冊｝,對于任意的正整數八，都有a“+a“+2>2a”+i則稱數列

｛an｝是嚴格凹數列.

⑴若數列｛時｝,｛bn｝的通項公式分別為a“=—44=3”,判斷數列｛4｝,｛0｝是否為嚴格凹數歹U，無需

說明理由；

（2）證明：''對于任意正整數的k,m,n,當卜時，有上務<上為”是“數列｛品｝為嚴格凹數

m—kn—m

歹U”的充要條件；

（3）函數夕=/（乃是定義在正實數集上的嚴格增函數,/（1）=0且數列｛/（"）｝是嚴格凹數列，嚴格增數

N/N\

列X1,X2,…，HN（正整數N為常數且N>2）各項均為互不相等的正整數，若￡以諭</2^-^恒成

i=l'i=l）

立,求實數/I的取值范圍.

???

題型六數列的周期性

21.（2024.上海青浦.二模）若無窮數列｛冊｝滿足:存在正整數T,使得an+T=an對一切正整數n成立，則稱

｛冊｝是周期為T的周期數列.

（1）若冊=sin（3場+f）（其中正整數m為常數,nCN,n?,判斷數列｛aJ是否為周期數列,并說明

理由；

（2）若a?+i=an+sinan（nGN,n>1）,判斷數列｛aj是否為周期數歹U,并說明理由；

（3）設｛bn｝是無窮數列，已知an+1=bn+sinajnGN,n>1）.求證:“存在電,使得｛aj是周期數列”的

充要條件是“｛0｝是周期數列”.

22.（2024.廣東珠海.一模）對于數列｛aj，若存在常數T,如（下,%6N*），使得對任意的正整數n>處,恒有

冊+7=M成立，則稱數列｛%｝是從第n0項起的周期為T的周期數列.當為=1時,稱數列｛an｝為純周

期數列；當九。>2時,稱數列｛時｝為混周期數列.記［x］為不超過c的最大整數,設各項均為正整數的數

劃「一"山［號，冊為偶數

歹！｛冊｝滿足：冊+,一皿..

11=<［烏ay+2口嗨%］,冊為奇數

（1）若對任意正整數"都有M￥1,請寫出三個滿足條件的電的值；

（2）若數列｛冊｝是純周期數列，請寫出滿足條件的電的表達式，并說明理由：

m

（3）證明：不論電為何值，總存在m,nGN*使得an=2—l.

???

23.（2024.湖南長沙.一模）對于數列｛冊｝,如果存在正整數T,使得對任意"SCN*）,都有冊+7=M,那么數

列｛%｝就叫做周期數列，T叫做這個數列的周期.若周期數列｛0｝,｛品｝滿足:存在正整數上對每一個

i（i4比iCN*）,都有也=q,我們稱數列?｝和｛cn｝為“同根數列”.

1,71=1

（1）判斷數列冊=sin7wr、bn=h，7i=2是否為周期數列.如果是，寫出該數列的周期，如果不

力,一—與-2,

是，說明理由；

（2）若｛冊｝和｛0｝是“同根數列”，且周期的最小值分別是小+2和m+4（/nCN*）,求％的最大值.

24.（24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習）對于數列｛%｝,若存在常數T,n0｛T,n0GN*），使得對任意的

正整數口>叫,恒有％+T=%成立,則稱數列｛冊｝是從第no項起的周期為T的周期數列.當如=1時,

稱數歹U｛冊｝為純周期數列；當為>2時，稱數歹U｛冊｝為混周期數列.記同為不超過x的最大整數,設

除冊為偶數

各項均為正整數的數列｛%｝滿足：an+1=I馬尹+2口。&溫,冊為奇數

（1）若對任意正整數"都有M￥1,請寫出三個滿足條件的電的值；

（2）若數列｛時｝是常數列，請寫出滿足條件的電的表達式，并說明理由；

m

（3）證明：不論Qi為何值，總存在m,nETV*使得an=2—l.

???

25.（23-24高三上?北京豐臺?期末）對于數列｛斯｝,如果存在正整數T,使得對任意n（n€N*），都有an+T=

a“，那么數列｛aj就叫做周期數列，T叫做這個數列的周期.若周期數列｛0｝,｛6｝滿足:存在正整數

私對每一個i（i＜瓦iCN*），都有bi=q,我們稱數列｛bn｝和｛cn｝為“同根數列”.

（1）判斷下列數列是否為周期數列.如果是，寫出該數列的周期，如果不是，說明理由；

[1,71=1,

①a“=sinnit；②勾=＜3,71=2,

九＞3.

（2）若｛冊｝和｛bj是“同根數列”，且周期的最小值分別是3和5,求證：RW6；

（3）若｛an｝和｛bn｝是“同根數列”，且周期的最小值分別是小+2和巾+4（巾GN*）,求％的最大值.

???

題型七數列的新概念

26.（2024.江蘇南通.模擬預測）定義：已知數列｛%｝⑺CN*）的首項a1=1,前幾項和為S”.設義與k是常數,

若對一切正整數九，均有S%—SJ=加%成立，則稱此數列為“4&%”數列.若數列｛飆｝meN*）是

“今&2”數列,則數列｛冊｝的通項公式冊=（）

O

1(71=1)1(n=l)

A.3x4"-2C.4x3時2

3x4-2(介)2)4X3"-2(n)2)

27.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）對于無窮數列｛%｝,若對任意小,nGN*,且小#九，存在％GN*,使

得cm+c?=cfc成立,則稱｛冊｝為“G數列”.

（1）若數列｛&｝的通項公式為0=2幾,試判斷數列｛0｝是否為“G數列”，并說明理由；

（2）已知數列｛%｝為等差數列，

①若｛a?｝是"G數列"，0，1=8,a2CN*,且a?〉電,求a2所有可能的取值；

②若對任意nCN*,存在kCN*,使得念=S”成立,求證:數列｛an｝為“G數列”.

???

28.（2024?遼寧?三模）若實數列｛an｝滿足VnCN*,有冊+an+2>2an+1,稱數列｛冊｝為“T數列”.

⑴判斷飆="4=1皿是否為“T數列”，并說明理由；

（2）若數列｛a｝為“T數列”，證明：對于任意正整數瓦出且A;V小Vn,都有馬>蟲子

nn—mm—K,

2024

（3）已知數列｛QJ為“T數列”，且2。尸0.令Al=max｛|aJ,|Q2024|｝，其中max｛a,b｝表示Q,b中的較大

i=l

者.證明：VkC｛l,2,3,…,2024｝,都有—需

29.（2024?福建泉州?模擬預測）若無窮數列｛冊｝滿足:對于VneN*,a"1—硬=p,其中p為常數，則稱數列

｛4｝為P數列.

（1）若一個公比為q的等比數列｛g｝為“P數列”，求q的值；

（2）若ai=1,p=2,｛勿｝是首項為1,公比為3的等比數列，在以與yk+1之間依次插入數列｛成｝中的卜項

構成新數列｛cn｝:yx,al,y2,al,al,y3,al,al,al,yi,...，求數列｛c?）中前30項的和S30.

（3）若一個"P數列"｛%｝滿足ai=2,a2=2V2,an>0,設數列［工）的前幾項和為方.是否存在正整數

小,3使不等式北>用肝I-1對一切nCN*都成立？若存在，求出小水的值;若不存在，說明理由.

30.（2024.北京東城.二模）設無窮正數數列｛an｝,如果對任意的正整數打，都存在唯一的正整數小，使得am=

5+a2+a3+…+冊,那么稱｛冊｝為內和數歹!J,并令圖=巾,稱｛圖｝為｛an｝的伴隨數列，則（）

A.若｛冊｝為等差數列，則｛冊｝為內和數列

B.若｛冊｝為等比數列，則｛廝｝為內和數列

C.若內和數列｛冊｝為遞增數列,則其伴隨數列｛葭｝為遞增數列

D.若內和數列｛冊｝的伴隨數列｛b“｝為遞增數歹！J,則｛冊｝為遞增數列

31.（2024?湖北荊州?三模）“H數列”定義:數列｛冊｝的前幾項和為S”,如果對于任意的正整數九，總存在正整

數小使Sn=am,則稱數列｛冊｝是“H數列”.

（1）若數列｛鼠｝的前幾項和為方=2",求證:數列｛幻｝是“H數列”；

（2）已知數列｛6｝是數列”，且數列｛%｝是首項為1,公差小于0的等差數列,求數列｛品｝的通項公

式；

（3）若數列｛dn｝滿足：dn=bncn,求數列｛dn｝的前ri項和Dn.

—

32.（2024?黑龍江?二模）如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數列為“G型

數列”.

（1）若數列｛冊｝滿足2%=S”+1,判斷｛冊｝是否為“G型數列”，并說明理由；

（2）已知正項數列｛aj為“G型數列”,5=1,數列｛6?｝滿足K=4+2,以CN*,｛.｝是等比數列，公比

為正整數,且不是“G型數列”，求數列｛冊｝的通項公式.

33.（2024?全國?模擬預測）定義:若對于任意的nCN*,數列｛冊｝滿足a“+i-a”>1,則稱這個數列是“T數

列”.

2

（1）已知首項為1的等差數列｛飆｝是“T數列”，且出+a?+…+冊<n+n恒成立,求a2的取值范圍.

（2）已知各項均為正整數的等比數列｛冊｝是“T數列”，數列（舞1不是“T數列”.記晨=馬匹，若數列

I2Jn

｛0｝是“T數列”.

①求數列｛b?｝的通項公式.

②是否存在正整數度,§,*「<5<%），使白,（,（成等差數列？若存在，求出r,s,力的所有值;若不存在，

brbsbt

請說明理由.

??

題型八數列的新性質

34.（2024.山東青島?三模）（多選）若有窮整數數列An：ai,a2,???a?（n^3）滿足：ai+1-a,G

｛-l,2｝（i=l,2,…,n—1）,且5=冊=0,則稱4具有性質丁.則（）

A.存在具有性質T的A4

B.存在具有性質T的As

C.若Ao具有性質T,則…,中至少有兩項相同

D.存在正整數Q使得對任意具有性質T的力A，有542,…，耿T中任意兩項均不相同

35.（2024.河南.三模）已知數列｛冊｝的前n項和為S”,若存在常數A（A>0），使得Aan>Sn+1對任意nCN*都

成立，則稱數列｛冊｝具有性質尸口）.

（1）若數列｛冊｝為等差數列，且S3=—9,S5=—25,求證:數列｛④｝具有性質P（3）；

（2）設數列｛冊｝的各項均為正數，且｛%｝具有性質P0.

①若數列｛%｝是公比為q的等比數列，且4=4,求q的值；

②求4的最小值.

???

36.（23-24高二下?安徽六安?期末）如果無窮數列｛4｝滿足“對任意正整數i,/（i￥/）,都存在正整數k,使得

ak=a：,則稱數列｛冊｝具有“性質P”.

（1）若等比數列｛冊｝的前幾項和為S”,且公比q>1,S2=12,S4=120,求證:數列｛冊｝具有“性質P”；

（2）若等差數列｛bj的首項法=1,公差dCZ,求證:數列｛晨｝具有“性質P”,當且僅當dEN；

（3）如果各項均為正整數的無窮等比數列｛品｝具有“性質P”,且213,5%415,1012四個數中恰有兩個出現在

數列｛品｝中，求5的所有可能取值之和.

37.（2024?湖北?模擬預測）若項數為小（巾>3）的數列｛4｝滿足兩個性質：①ai=l,&eN*（i=2,3,…,R）；

〃f｛l,2｝,IWRWn-l

②存在nC｛2,3,…,m—1｝,使得」e（f1]，并記max｛i&是數列｛耿｝的最

大項，IWkWn｝.則稱數列｛aj具有性質Q.

（1）若巾=4,a4=2,寫出所有具有性質Q的數列｛a』；

（2）數列｛aj具有性質若巾=2025,a2025=16,求｛冊｝的最大項的最大值；

（3）數列｛冊｝具有性質若a”=22期,%,=1,且｛冊｝還滿足以下兩條性質：（i）對于滿足1Ws<tW

M'的項a,和a”在｛a“｝的余下的項中，總存在滿足14pVqWM'的項電,和&,使得a$?電=4?電；（ii）

對于滿足A1Ws<tWm■的項a$和a”在｛a?）的余下的項中，總存在滿足Af<q的項a?和aq,

使得CLt=5，%.求滿足上述性質的m的最小值.

（明駁制秣）

一、填空題

1.（2023?陜西銅川?一模）定義“等和數列”:在一個數列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數，那

么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.已知數列｛%｝是等和數列，且的=-1,公和為

1,那么這個數列的前2024項和$2024=

2.（2024?北京通州?三模）若數列｛勾｝、｛c.｝均為嚴格增數列，且對任意正整數",都存在正整數小,使得臉

€&G+J，則稱數列｛，,｝為數列｛品｝的“河數列”.已知數列｛冊｝的前八項和為S”,則下列結論中正

確的是.

①存在等差數列｛冊｝,使得｛%｝是｛SJ的數列”

②存在等比數列｛冊｝,使得｛飆｝是｛SJ的數列”

③存在等差數列｛冊｝，使得｛8｝是｛冊｝的數列”

④存在等比數列｛%｝,使得｛Sn｝是｛冊｝的數列”

3.（2024?全國?模擬預測）將正整數n分解為兩個正整數自，k2的積，即八=自治，當自，無兩數差的絕對值最

小時，我們稱其為最優分解.如12=1x12=2x6=3x4,其中3x4即為12的最優分解，當自，的是打

的最優分解時，定義/（n）=|自—可，則數列｛/（2“）｝的前2024項的和為（）

A.21011-1B.21011C.21012-1D.21012

4.（2024.江蘇鎮江.三模）若對項數為71的數列｛an｝中的任意一項出,十也是該數列中的一項，則稱這樣的

數列為“五團）可倒數數列”.已知正項等比數列｛鼠｝是“R（5）可倒數數列”，其公比為g,所有項和為

彳，寫出一個符合題意的q的值.

5.（2024?江蘇南通?模擬預測）定義首項為1且公比為正數的等比數列為數列”.已知數列｛&?｝（nG

N*）的前n項和為S”,且滿足仇=1,2=片—4.設m為正整數.若存在“河?數列”｛%｝伍€N*）,

與bnOn+i

對任意正整數R,當RW小時，都有瓢WdWck+1成立,則m的最大值為.

二、多選題

6.（2024?江蘇南通?模擬預測）在數列｛an｝中，若對VnCN*,都有小丁I=q（q為常數）,則稱數列

Qyi+1-an

｛冊｝為“等差比數列"，q為公差比,設數列｛%｝的前幾項和是S”,則下列說法一定正確的是（）

A.等差數列｛&｝是等差比數列

B.若等比數列｛冊｝是等差比數歹U,則該數列的公比與公差比相同

C.若數列｛Sj是等差比數列，則數列｛冊+J是等比數列

D.若數列｛%｝是等比數列，則數列｛SJ等差比數列???

7.（23-24高三上?上海普陀?期末）對于無窮數列｛4｝,給出如下三個性質：①?V0；②對于任意正整數n,

s，都有an+as<an+s；③對于任意正整數n,存在正整數t，使得飆h>“定義：同時滿足性質①和②的數

列為“s數列”，同時滿足性質①和③的數列為>數列”，則下列說法正確的是（）

A.若｛狐｝為“s數列”，則｛%｝為“力數列"B.若4=（—］）"，則｛冊｝為“力數列”

C.若冊=2n—3,則｛冊｝為％數列”D.若等比數列｛冊｝為>數歹/則｛冊｝為％數列”

8.（2024?河北承德?二模）對于給定的數列｛冊｝,如果存在實數p,q,使得an+1=pan+q對任意nWN*成立,

我們稱數列｛冊｝是“線性數列”，則下列說法正確的是（）

A.等差數列是“線性數列”

B.等比數列是“線性數列”

C.若p￥1且的=q,則冊=「--

1—p

D.若pWl且電=9,則｛冊｝是等比數列｛gp"T｝的前71，項和

9.（2024?湖南衡陽?模擬預測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保

自己的風險,這種變化的價格類似于我們數學中的數列，定義如果存在正數河，使得對一切正整數",都

有|冊|則稱｛3｝為有界數列，數列收斂指數列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數列稱為

收斂數列，如數列冊=（，顯然對一切正整數n都有|冊|W1，而：的極限為0，即數列｛冊｝既有界也收

斂.如數列bn=（-1廠,顯然對一切正整數"都有瓦|W1,但不存在極限，即數列也｝有界但不收斂.下列

數列是有界數列但不收斂的數列有（）

A.an=sin（rz7r+-^-）B.an=cos（ri7r+^）

c—_冊-1n-sin（n7r+1）

.CLy—2,—J,Qyi—U.CLn—

%—2n

10.（2024?河南?一模）對于數列｛aj（a“CN+）,定義既為電，a?,…，耿中最大值（fc=1,2,-,n）（nGNQ,把

數列｛0｝稱為數列｛an｝的“雙值數列”.如數列2,2,3,7,6的“又值數列”為2,2,3,7,7,則（）

A.若數列｛4｝是遞減數列,則｛勾｝為常數列

B.若數列｛冊｝是遞增數列，則有an=bn

C.滿足｛0｝為2,3,3,5,5的所有數列｛冊｝的個數為8

100

D.若冊=（―2廠（九eN+），記Sn為他｝的前n項和，則S100=4（2-1）

O

三、解答題

11.（2024?內蒙古包頭?二模）已知數列｛冊｝為有窮數列，且a”CN*,若數列｛冊｝滿足如下兩個性質，則稱數

列｛冊｝為小的R增數列：

①的+a2+a3H=m；

②對于1<i</Wn,使得a｛<電的正整數對（i,j）有A;個.

（1）寫出所有4的1增數列；

（2）當九=5時,若存在Hi的6增數列，求nz的最小值.

12.（23-24高二下?廣東深圳?階段練習）若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把

所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.現對數列1,2進行構造，第一次得到數列1,3,2；第二

次得到數列1,4,3,5,2；依次構造，第九（neN*）次得到的數列的所有項之和記為―

⑴設第72次構造后得的數列為1,±1,22,…，g,2,則冊=3+21+/2H----1■軟,請用含Xi,X2,…，欲的代數

式表達出冊+i，并推導出a?+i與。?滿足的關系式；

（2）求數列｛冊｝的通項公式an；

（3）證明：——F——F——I----1--—<《

。2。3Q/iJ

??

13.（2024?貴州貴陽?二模）給定數列｛冊｝,若滿足的=a（a>0且a￥1）,對于任意的n,mEN*,都有an+m=

%?%,則稱數列｛冊｝為“指數型數列

⑴已知數列｛an｝滿足電=l,a?=2anan+1+3an+1（nEN*），判斷數列是不是“指數型數列"?若

是，請給出證明，若不是,請說明理由;

（2）若數列｛冊｝是“指數型數列"，且的=事（aeN*）,證明:數列｛aj中任意三項都不能構成等差數

OJIO

列.

14.（2024?湖北?模擬預測）若正整數小，n只有1為公約數，則稱小，n互質，歐拉函數是指,對于一個正整數

九，小于或等于n的正整數中與n互質的正整數（包括1）的個數,記作0（力，例如44）=2"（5）=4.

（1）求R⑹，W（3"）,w（4"）；

⑵設v寸播冷E'”--求數列｛%｝的前幾項和飛

⑶設勾=—,"eN*,數列也｝的前幾項和為黑,證明：黑<!，

2口（4九）一1y

??

15.(23-24高三下.云南昆明.階段練習)(a,b)表示正整數a,b的最大公約數，若山咫，…以仁|1,2,-m|

(k,mGN*),且VTG\x1,x2---xk\,(x,m)=1,則將A;的最大值記為<p(rn)，例如：？⑴=1,夕⑸=4.

⑴求R(2),.(3),3⑹;

⑵設M=0(2").

⑴求數列|aj的通項公式，

(譏)設bn="+2n—1)?冊,求數列歷/的前n項和Tn.

16.(2024.全國.模擬預測)設滿足以下兩個條件的有窮數列aiQ,…,a"為"5=2,3,4,…)階“曼德拉數列”:

①ai+a2+a3H----Fan=0；②|aj+|a2|+血|4-b|an|=1.

(1)若某2fe(fc6N*)階“曼德拉數列”是等比數列,求該數列的通項a?(lWnW2M用瓦門表示)；

(2)若某2R+l(kCN*)階“曼德拉數列"是等差數列,求該數列的通項a?(lWnW2k+1,用表示)；

(3)記九階“曼德拉數列”{%}的前％項和為5展3=1,2,3,…，n)，若存在mC{1,2,3,…,n},使Sa=y,

試問：數列{5}(i=l,2,3,…,九)能否為八階“曼德拉數列”？若能，求出所有這樣的數列;若不能，請說明

理由.

??

17.（2024?廣東梅州二模）已知｛M｝是由正整數組成的無窮數列，該數列前幾項的最大值記為喝,即喝=

max｛ai,a2,｝;前幾項的最小值記為？ri”,即小八二min｛ai,a2,…,冊｝,令外=監一小支n=1,2,3,-??）＞

并將數列｛Pn｝稱為M的“生成數列”.

（1）若冊=3”,求其生成數列｛p?｝的前71項和；

（2）設數列｛pn｝的“生成數歹『'為｛q"｝,求證：“=qn；

（3）若｛p?｝是等差數列，證明:存在正整數叫,當八＞為時，牝，冊+i，冊+2，…是等差數列.

18.（2024.山東濰坊.二模）數列｛an｝中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數列｛冊+「冊｝稱為

｛狐｝的一階差數列,記為｛*）｝，依此類推，｛*）｝的一階差數列稱為｛冊｝的二階差數列,記為｛&2）｝，….

如果一個數列｛冊｝的p階差數列｛a^｝是等比數列,則稱數列｛冊｝為p階等比數列（pCN*）.

（1）已知數列｛aj滿足的=1,%+i=2%+1.

（i）求源）,姨,嫂；

（苴）證明：｛飆｝是一階等比數列；

（2）已知數列｛0｝為二階等比數列，其前5項分別為1,筌，斗，華,T，求舞及滿足勾為整數的所有八

yyyy

值.

???

19.（2024.貴州.模擬預測）若給定一個數列｛冊｝,其連續兩項之差構成一個新數列：a?—5,a3—a2,a4—。3,

■■■,an+1-an,…，這個數列稱為原數列｛冊｝的“一階差數列”，記為｛圖｝，其中bn=an+1-an.再由｛bn｝的

連續兩項的差得到新數列演一仇，仇一3b,-b3,…，0+i—b“，…，此數列稱為原數列｛冊｝的“二階差數

列”,記為｛品｝，其中cn=bn+1-bn.以此類推,可得到｛冊｝的“p階差數列”.如果數列小｝的“p階差數

歹『'是非零常數數列，則稱｛冊｝為“p階等差數列”.

⑴證明由完全立方數13,23,33,……，meN*）組成的數列｛%｝是“3階等差數列”；

（2）若an=n\k>3且A;CZ,nCN*）,證明數列｛a?｝是”階等差數列”，并且若將｛冊｝的“階差數列”

記作｛a?，｝,則a￡）=卜!=1x2x3x---xk（nEN*）.

20.（2024?河南鄭州?模擬預測）設任意一個無窮數列｛時｝的前4項之積為雪,若VnGN*,AC｛%｝,則稱

｛冊｝是T數列.

（1）若｛冊｝是首項為—2,公差為1的等差數列,請判斷｛冊｝是否為T數列？并說明理由；

（2）證明：若｛an｝的通項公式為an=n-2%則｛冊｝不是T數列；

（3）設｛an｝是無窮等比數列，其首項a1=5,公比為q｛q>0）,若｛%｝是T數歹!J,求q的值.

???

21.（2024.廣東佛山?模擬預測）定義:一個正整數n稱為“漂亮數”,當且僅當存在一個正整數數列ae....

耿,滿足①②：

①?Va2V…<afc_1<aJt=n（A:^2）；

②工+▲+...+工=L

（1）寫出最小的“漂亮數”；

（2）若n是“漂亮數”，證明：那是“漂亮數”；

（3）在全體滿足k=4的“漂亮數”中，任取一個“漂亮數”日,求九-1是質數的概率.

22.（24-25高三上.河南焦作.開學考試）對于一個正項數列｛%｝，若存在一正實數九使得VnCN*且九〉

2,有a1+Q2H--Fan-i>4冊,我們就稱｛aj是4—有限數列.

（1）若數歹U｛冊｝滿足電=1,。2=1，勰=。九一1+為一2⑺>3）,證明：數列｛aj為1一有限數列；

（2）若數列｛冊｝是A-有限數列，mM>0,使得VneN*且n>2,%WM,證明：f士>2+

或at

上仁_______1____