第13講一次函數(shù)

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.理解一次函數(shù)的定義；

2.學(xué)會(huì)觀察一次函數(shù)圖像并分析，判斷函數(shù)值隨自變量的變化而變化；

3.掌握求一次函數(shù)解析式方法并解決簡單的幾何面積問題；

4.理解并體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系；

||豳基礎(chǔ)知識(shí)'：

---------------------IIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIII-----------------------

知識(shí)點(diǎn)1:一次函數(shù)的定義

如果y=kx+b（k,b是常數(shù)，k#0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，k叫比例系數(shù)。

注意：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b變?yōu)閥=kx,正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)2：一次函數(shù)圖像和性質(zhì)

一次函數(shù)圖象與性質(zhì)用表格概括下：

k>0k<0

增減

性從左向右看圖像呈上升趨勢(shì)，y隨x的增大從左向右看圖像呈下降趨勢(shì)，y隨x的增大而較

而增大少

b=0b<0b<0b=0b<0

b>0

圖像*個(gè)y

*

（草千

圖）干不

經(jīng)過

、--?、一、三、四一、二、四二、四二、三、四

象限

與y軸

的交

b>0,交點(diǎn)在y軸正半軸上；b=0,交點(diǎn)在原點(diǎn)；b<0,交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上

點(diǎn)位

置

【提分要點(diǎn)】：

1.若y「kx+ba產(chǎn)o）與丫2=]<2*+"左產(chǎn)o）兩直線平行，則k=kz；

2.若丫二卜產(chǎn)+久左產(chǎn)o）與y/kzX+b（左產(chǎn)°）兩直線垂直，則krk7

知識(shí)點(diǎn)3：一次函數(shù)的平移

1、一次函數(shù)圖像在X軸上的左右平移。向左平移n個(gè)單位，解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=k（x+n）+b；向右平

移n個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=k（x-n）+b。

口訣：左加右減（對(duì)于y=kx+b來說，對(duì)括號(hào)內(nèi)x符號(hào)的增減）（此處n為正整數(shù)）。

2、一次函數(shù)圖像在y軸上的上下平移。向上平移m個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=kx+b+m；

向下平移m個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=kx+b-mo

口訣：上加下減（對(duì)于y=kx+b來說，只改變b）（此處m為正整數(shù)）

知識(shí)點(diǎn)4：求一次函數(shù)解析式

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟：

基本步驟：設(shè)、歹U、解、寫

⑴設(shè)：設(shè)一般式y(tǒng)=kx+b

⑵列：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于k、b的方程（組）

⑶解：解出k、b；

⑷寫：寫出一次函數(shù)式

知識(shí)點(diǎn)4：一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

直線y=kx+b（厚0）與%軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程kx+b=0（摩0）的解.求直

線y=kx+b（原0）與x軸交點(diǎn)時(shí)，

h

（1）可令y=0,得到方程kx+b=0（摩0）,解方程得_x=——___________,

k

（2）直線y=kx+b交x軸于點(diǎn)_（0,-匕）_______,就是直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐

k

標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)5：一次函數(shù)與一元一次不等式

（1）由于任何一介'一■元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為砒+匕>0或ov+Z?<0或或

0（。、匕為常數(shù)，。#0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)y=ox+b的

值大于0（或小于。或大于等于0或小于等于0）時(shí)求相應(yīng)的自變量的取值范圍.

（2）如何確定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系

ax+b>cx+d（a#c,且理70）的解集='=以+》的函數(shù)值大于丁=6+1的函數(shù)值時(shí)的

自變量X取值范圍o直線丁=以+"在直線產(chǎn)B+d的上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍.

考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：一次函數(shù)的定義

例1.（2022秋?九江期末）下列關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)的是（）

A.y=x2+lB.y，C.y=xD.y=x（x-1）

【答案】C

【解答】解：A、y=1+l,是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.x在分母中，不是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、y=x是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、y=x（x-1）=f-x是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：C.

【典例1-2】（2022秋?拱墅區(qū)期末）函數(shù)y=（必-l）x+3是一次函數(shù)，則上的取值范圍是（）

A.k^lB.左W-1C.2。D.左W±1

【答案】D

【解答】解：由題意得：I/O,

解得：LW±1,

故選：D.

【變式1-1]（2022秋?任城區(qū)校級(jí)期末）下列函數(shù)中，一次函數(shù)是（）

A.y=1+2B.y=-2x

C.y=x2+2D.y=mx+nGn,n是常數(shù)）

【答案】B

B.y=-2x是一次函數(shù)，符合題意；

C.丁=/+2中自變量的次數(shù)為2,不是一次函數(shù)，不符合題意;

D.y=mx+n（m,〃是常數(shù)）中機(jī)=0時(shí)，不是一次函數(shù)，不符合題意;

故選：B.

【變式1-2］（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（)

A.yAB.y=~5x+3C.y=x1+3x-5D.y=V2x+4

【答案】B

【解答】解：4是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B,符合一次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；

C、是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、等式中含有根號(hào)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1-3］（2022春?江門校級(jí)期中）已知尸（加-2）的「U4是一次函數(shù)，則機(jī)的值為（）

A.1B.2C.-2D.±2

【答案】C

【解答】解：?.，=（m-2）x心1+4是一次函數(shù),

：.\m\-1=1,且“Z-2W0,

±2,且

??TYl^~~2.

故選：C.

考點(diǎn)二：判斷一次函數(shù)圖像所在象限

小例2.

（2022春?香坊區(qū)校級(jí)期中）一次函數(shù)y=2x+5的圖象經(jīng)過（)

A.第一、二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

【答案】B

【解答】解：：左=2>0,

一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限,

,"=5>0,

函數(shù)圖象與y軸正半軸相交，

函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限.

故選：B.

【變式2-1］（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x-1經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

【答案】C

【解答】解：,直線y=2x-1,k=2>Q,b=-KO,

???該直線經(jīng)過第一、三、四象限，

故選：C.

【變式2-2］（2022秋?修水縣期中）一次函數(shù)y=-x+2的圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解答】解：?.次=-1<0,

???函數(shù)圖象經(jīng)過第二四象限，

'：b=2>0,

???函數(shù)圖象與y軸正半軸相交，經(jīng)過第一象限，

???函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限.

故選：D.

【變式2-3］（2021秋?岱岳區(qū)期末）下列函數(shù)其圖象經(jīng)過第一、二、四象限的是（）

A.y=-2x+lB.y=3x+5C.y--x-3D.y=4x-3

【答案】A

【解答】解：A選項(xiàng)，圖象過第一、二、四象限，符合題意；

5選項(xiàng)，圖象過第一、二、三象限，不符合題意；

C選項(xiàng)，圖象過第二、三、四象限，不符合題意；

。選項(xiàng)，圖象過第一、三、四象限，不符合題意；

故選：A.

考點(diǎn)三：一次函數(shù)圖像的性質(zhì)

例3.（2022秋?簡陽市期末）對(duì)于函數(shù)y=-2x+3的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)（1,1）

B.圖象經(jīng)過第一、二、四象限

C.與x軸的交點(diǎn)為（0,3）

D.若兩點(diǎn)A（1,yi）,B（3,"）在該函數(shù)圖象上，則>1>丁2

【答案】C

【解答】解：A.當(dāng)％=1時(shí)，y=-2Xl+3=l,

???一次函數(shù)y=-2x+3的圖象必過點(diǎn)（1,1）,選項(xiàng)A不符合題意；

B.'：k=-2<0,。=3>0,

???一次函數(shù)y=-2x+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，選項(xiàng)5不符合題意；

C.當(dāng)y=0時(shí)，-2x+3=0,

解得：x=3,

2

???一次函數(shù)y=-2x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)為（|_,0）,選項(xiàng)C符合題意；

D.'：k=-2<0,

???y隨x的增大而減小，

又?.?點(diǎn)A（1,yi）,B（3,*）在一次函數(shù)y=-2x+3的圖象上，且1<3,

'.y\>y2,選項(xiàng)。不符合題意.

故選：C.

【變式3-1］（2022秋?南海區(qū)期末）關(guān)于一次函數(shù)y=2x-3,下列說法正確的是（）

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）

B.圖象經(jīng)過第二象限

C.圖象與x軸交于點(diǎn)（-3,0）

D.函數(shù)值y隨x的增大而增大

【答案】D

【解答】解：A.當(dāng)％=2時(shí)，尸2X2-3=1W-1,

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,選項(xiàng)A不符合題意；

B."：k=2>0,b=-3<0,

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，選項(xiàng)3不符合題意；

C.當(dāng)y=0時(shí)，2無-3=0,

解得：x=3,

2

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)0）,選項(xiàng)C不符合題意；

D.'：k=2>0,

函數(shù)值y隨x的增大而增大，選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【變式3-2]（2022春?安鄉(xiāng)縣期末）對(duì)于直線y=-lx-1的描述正確的是（）

2

A.y隨x的增大而增大B.與y軸的交點(diǎn)是（0,-1）

C.經(jīng)過點(diǎn)（-2,-2）D.圖象不經(jīng)過第二象限

【答案】B

【解答】解：A.'：k=-1<Q,

2

???y隨x的增大而減小，選項(xiàng)A不符合題意；

B.當(dāng)尤=0時(shí)，y=-AxO-1=-1,

2

???直線y=-1與y軸的交點(diǎn)是（0,-1）,選項(xiàng)8符合題意；

C.當(dāng)尤=-2時(shí)，y=--X（-2）-1=0,

2

二直線y=--kr-1經(jīng)過點(diǎn)（-2,0）,選項(xiàng)C不符合題意；

2

D.,:k=-1<0,b=-1<0,

2

.?.直線丁=-占-1經(jīng)過第二、三、四象限，選項(xiàng)。不符合題意.

-2

故選：B.

【變式3-3]（2022?南京模擬）關(guān)于一次函數(shù)y=-x+1的描述，下列說法正確的是（）

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,1）

B.圖象經(jīng)過第一、二、三象限

C.y隨x的增大而增大

D.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,1）

【答案】D

【解答】解：A.當(dāng)％=-2時(shí)，-IX（-2）+1=3,

一次函數(shù)y=-x+1的圖象不過點(diǎn)（-2,1）,

???選項(xiàng)A不正確，不符合題意；

B.,:k=-1<0,。=1>0,

.?.一次函數(shù)y=-X+1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

選項(xiàng)3不正確，不符合題意；

C.,:k=-1<0,

???丁隨x的增大而減小，

???選項(xiàng)C不正確，不符合題意；

D.當(dāng)x=0時(shí)，y=-1XO+1=1,

???一次函數(shù)y=-x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,1）,

選項(xiàng)。正確，符合題意.

故選：D.

考點(diǎn)四：根據(jù)一次函數(shù)增減性求含參取值范圍

例4.（2023?西安二模）若一次函數(shù)y=（a-2）x-6的圖象中y值隨x值的增大而增

大，則。的值可以是（）

A.4B.2C.-2D.-6

【答案】A

【解答】解：???一次函數(shù)y=（a-2）x-0的圖象中y值隨x值的增大而增大，

.".a-2>0,

故選：A.

【變式4-1]（2022秋葉B江區(qū)期末）若一次函數(shù)y=（冽-2）x-2的函數(shù)值y隨x的增大而

增大，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<0B.m>0C.m<2D.m>2

【答案】D

【解答】解：要使函數(shù)值y隨x的增大而增大，

貝！J加-2>0,

解得：m>2.

故選：D.

【變式4-2]（2022秋?鄲都區(qū)期末）已知正比例函數(shù)丁=（m-3）x,其中y的值隨x的值增

大而減小，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m>0D.m<0

【答案】A

【解答】解：?..正比例函數(shù)y=（m-3）x,其中y的值隨x的值增大而減小,

.'.m-3V0,

故選：A.

【變式4-3］（2022秋?慈溪市期末）一次函數(shù)丁=（3左的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，

則左的取值范圍是（）

A.k>3B.0<k<3C.k<0D.k<3

【答案】B

【解答】解：???一次函數(shù)y=（3-左）x-左的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，

.*.3-%>0且-k<0,

：.0<k<3.

故選：B

考點(diǎn)五：根據(jù)k、b值判斷一次函數(shù)圖像的

例5.（2022秋?市南區(qū)期末）一次函數(shù)丁=履+。的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=-bx+k

的圖象大致是（）

【答案】B

【解答】解：由一次函數(shù)丁=履+。的圖象可知，k<0,b>0,

：.-b<0,

.?.一次函數(shù)y=-/+左的圖象經(jīng)過二、三、四象限.

故選：B.

【變式5-1］（2022秋?長興縣期末）已知幼＜0且6＜0,則一次函數(shù)丁=履+。的圖象大致是

【答案】B

【解答】解：妨＜0.且。V0,

：.k>0,

...一次函數(shù)丁=履+。的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,

故選：B.

【變式5-2］（2022秋?江北區(qū)期末）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作一次函數(shù)和”=-bx+a

【答案】D

【解答】解：A、?.?一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限,

.e.(2>0,b>0,

：.-b<09

???一次函數(shù)券=-法+a圖象應(yīng)該經(jīng)過一、二、四象限，故不符合題意；

8、?.?一次函數(shù)yi=ax+6的圖象經(jīng)過一、二、四象限，

.*.<7<0,b>0,

：.-b<0,

???一次函數(shù)券=-法+a圖象應(yīng)該經(jīng)過二、三、四象限，故不符合題意；

C、一次函數(shù)yi=ax+6的圖象經(jīng)過二、三、四象限，

.,.a<0,b<0,

：.-。>0；

??.一次函數(shù)丁2=-法+a圖象應(yīng)該經(jīng)過一、三、四象限，故不符合題意；

?一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，

/.6z<0,b<0,

：.-b>0,

???一次函數(shù)X=-法+a圖象應(yīng)該經(jīng)過一、三、四象限，與函數(shù)圖象一致，符合題意；

故選：D.

【變式5-3]（2022秋?相山區(qū)校級(jí)期末）一次函數(shù)=（.m,〃是常數(shù)）與丁2="+加在

【答案】B

【解答】解：由一次函數(shù)yi=s+〃圖象可知m<0,〃>0,由一次函數(shù)中=?%+加可知〃<0,

m=0,矛盾，故A不合題意;

由一次函數(shù)〃圖象可知m>0,n<Q,由一次函數(shù)>2=依+加可知〃<0,m>Q,一致,

故3符合題意；

由一次函數(shù)yi—mx+n圖象可知m<0,n>0,由一次函數(shù)y2=nx+〃z可知〃>0,m>0,矛盾,

故C不合題意;

由一次函數(shù)yi=mx+n圖象可知m>0,n>0,由一次函數(shù)>2=依+〃2可知〃<0,m>0,矛盾,

故。不合題意;

故選：B.

考點(diǎn)六：比較一次函數(shù)值的大小

，例6.（2023?濟(jì)南模擬）已知點(diǎn)A（xi,yi）,B（必y2）,C（羽，"）三點(diǎn)在直線y

=7x+14的圖象上，且xi>X3>X2,則yi,yi,中的大小關(guān)系為（）

A.>1>*>丁3B.yi>yi>yiC.丁2>>1>"D.”>*>>1

【答案】B

【解答】解：y=7x+14,

，：k=7>0,

.'.y隨x的增大而增大，

'-'A（xi,yi）,B（龍2,經(jīng)），C（X3,”）在直線y=7x+14的圖象上，且xi>X3>無2,

.'.yi>y3>y2.

故選：B.

【變式6-1]（2022秋?內(nèi)丘縣期末）若點(diǎn)（-2,yi）、（3,工）都在函數(shù)y=-x+8的圖象

上，則yi與"的大小關(guān)系（）

A.yi>y2B.yi<yiC.yi=y2D.無法確定

【答案】A

【解答】解：在一次函數(shù)y=-x+0中，

■:k=-1<0,

；?函數(shù)y隨x的增大而減小，

".y\>yi.

故選：A.

【變式6-2]（2022秋?義烏市校級(jí)期末）若一次函數(shù)y=（加-3）x-4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（為，

yi）和點(diǎn)3（X2,yi）,當(dāng)xi>K2時(shí)，yi>yi,則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.mW3D.m?3

【答案】B

【解答】解：..,一次函數(shù)尸（m-3）x-4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（xi,yi）和點(diǎn)B（X2,券），當(dāng)

x\>X2時(shí)y\>yi,

...一次函數(shù)尸Cm-3）x-4的圖象是y隨x的增大而增大，

'.m-3>0,

故選：B.

考點(diǎn)七：一次函數(shù)的變換問題

［、］例7.把函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移1個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式是（）

A.y=3x+3B.y=3x-1C.y=3x+lD.y=3x+5

【答案】C

【解答】解：將函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移1個(gè)單位長度后，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y

=3x+2-l=3x+l,

故選：C.

【變式7-1］（2021秋?阜陽月考）將一次函數(shù)y=-3x的圖象沿y軸向下平移4個(gè)單位長度

后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=-3（x-4）B.y=-3x+4C.y=-3（x+4）D.y=-3x-4

【答案】D

【解答】解：由上加下減”的原則可知，將直線y=-3x沿y軸向下平移4個(gè)單位后的直

線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是：y=-3x-4.

故選：D.

【變式7-2］（春?大冶市期末）將直線y=3x-1向上平移1個(gè)單位長度，得到的一次函數(shù)解

析式為（）

A.y=3xB.y=3x+lC.y=3田2D.y=3^+3

【答案】A

【解答】解：由“上加下減”的原則可知，

將直線y=3x-1向上平移1個(gè)單位長度，得到的一次函數(shù)解析式為y=3x-1+1=3元

故選：A.

考點(diǎn)八：求一次函數(shù)解析式

,\例8.（2022秋?無錫期末）已知一次函數(shù)丁=履+4當(dāng)尤=-4時(shí)，y=0-,當(dāng)x=4時(shí),

L-3=4.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求這個(gè)一次函數(shù)的圖象與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

【解答】解：（1）由題意得，-4左+。=0且44+。=4.

.,.b=2,k=—.

2

...這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為丁=/*+2?

（2）由（1）得，這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=/x+2,其函數(shù)圖象如下圖所示:

.?.這個(gè)一次函數(shù)的圖象與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S^AOB-|oA-0B=yX2X4=

4.

【變式8-1]（2022秋?宿豫區(qū)期末）一次函數(shù)7=依-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3）.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y>0?

【解答】解：（1）將（1,-3）代入尸依-2,

-3=k-2,解得：k--1,

???這個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x-2；

（2）當(dāng)y>0時(shí)，有-x-2>0,

解得：x<-2,

...當(dāng)-2時(shí)，y>0.

【變式8-2](2022秋?鄭縣期末)已知y-2與x成正比例，且當(dāng)x=-2時(shí)，y=-4.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；

(3)求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：⑴設(shè)y-2=日，

把x=-2,y=-4代入得-4-2=-2k,

解得％=3,

，函數(shù)解析式是y=3x+2；

(2)把x=4代入y=3x+2得，y=3X4+2=14；

(3)在y=3x+2中，令y=0,則3x+2=0,

解得x=-2,

3

函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,o).

3

【變式8-3](2022秋?張店區(qū)校級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過原點(diǎn)。和

點(diǎn)A(2,1),經(jīng)過點(diǎn)A的另一條直線交x軸于點(diǎn)5(4,0).

(1)求直線/的函數(shù)解析式；

(2)求△A3。的面積；

(3)在直線/上求一點(diǎn)尸，使SAAOBVS^ABP,求點(diǎn)P坐標(biāo)?

【解答】解：(1)設(shè)直線/的函數(shù)解析式為y=丘,

將A(2,1)代入可得：2k=1,解得仁1，

2

...直線/的函數(shù)解析式為：y=L；

-2

(2)由題意可得：°B=4,SAsn±<)BXl=2；

⑶設(shè)p(t,今

當(dāng)尸在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，SAABP=SAAB0-SAB0P=2^X|X4=2-f

??1

,SAAOB^2'SAABP,

2卷(2-tA

解得t=-2,

：.P（-2,-1）,

當(dāng)P在A點(diǎn)的右側(cè)SAABp=SABOp-SAABOVx|x4-2=52，

■SAAOB^2'SAABP，

2^-（t-2）;解得t=6,

：.P（6,3）,

綜上所述，P（-2,-1）或（6,3）.

考點(diǎn)九：一次函數(shù)與一元一次方程

例9.（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖一次函數(shù)丁=履+2的圖象分別交y軸,x軸于點(diǎn)A、

B,則方程依+2=0的解為（）

【解答】解：一次函數(shù),=京+2的圖象交x軸于點(diǎn)（2我，0）.

；?方程日+2=0的解為x=2?.

故選：C.

【變式9-1］（2023?平遠(yuǎn)縣校級(jí)開學(xué)）一次函數(shù)y=ax+6交x軸于點(diǎn)（-5,0）,則關(guān)于x的

方程ax+0=0的解是（）

A.x=5B.x=-5C.x=QD.無法求解

【答案】B

【解答】解：由題意可知：當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)值為0；

因止匕當(dāng)尤=-5時(shí)，ax+b=0,

即方程ax+b=Q的解為：x=-5.

故選：B.

【變式9-2］（2022春?西昌市校級(jí)月考）如圖，已知直線丁=依+0,則方程以+。=-1的解x

等于（）

A.0B.2C.4D.1

【答案】A

【解答】解：根據(jù)圖形知，當(dāng)y=T時(shí)，x=0,即ox+A=T時(shí)，x=0.

方程以+。=-1的解x=0,

故選：A.

【變式9-3］（2022春?西昌市校級(jí)月考）已知一次函數(shù)y=ax+0（a,人為常數(shù)），x與y的部

分對(duì)應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y6420-2-4

那么方程ax+人=0的解是（）

A.0B.1C.2D.-2

【答案】B

【解答】解：根據(jù)圖表可得：當(dāng)x=l時(shí)，y=0；

因而方程ax+b=0的解是x=l.

故選：B.

例10.（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線y=2x與相交于點(diǎn)尸（機(jī)，2）,

則關(guān)于x的方程kx+b=2的解是（）

y

A.x=—B.x=1C.x=2D.x=4

2

【答案】B

【解答】解：,直線y=2x與丁=履+。相交于點(diǎn)P(m,2),

2=2n2,

??in1y

：.P(1,2),

關(guān)于X的方程履+。=2的解是x=l,

故選：B.

【變式10-1】(2023?臨渭區(qū)一模)已知直線y=-3x與y=fcc+2相交于點(diǎn)P(機(jī)，3),則關(guān)

于x的方程kx+2=-3x的解是()

A.x=-1B.x=lC.x=2D.x=3

【答案】A

【解答】解：???直線y=-3x和直線y=kr+2的圖象相交于點(diǎn)尸(加3),

.'.3--3m,解得m—~1,

：.P(-1,3),

，關(guān)于x的方程kx+2=-3x的解是為x=-1,

故選：A.

【變式10-2】(2022秋?平桂區(qū)期中)已知方程2x-1=-3x+4的解是x=l,則直線y=2x

-1和y=-3x+4的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(1,1)C.(-1,-3)D.(-1,1)

【答案】B

【解答】解：..”=1是方程2x-l=-3x+4的解，

.,.把x=l代入y=2xT,得y=2Xl-l=l.

交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).

故選：B

考點(diǎn)十：一次函數(shù)與一元一次不等式

例11.（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線y=-2x+。與x軸交于點(diǎn)（3,0）,那么

不等式-2x+b<0）的解集為（）

【答案】D

【解答】解：根據(jù)圖象可得，一次函數(shù)y=-2x+。在x軸下方部分對(duì)應(yīng)的x的范圍是x>3,

???關(guān)于x的不等式-2x+AV0的解集為x>3.

故選：D.

【變式11-1】（2022秋?竦州市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁=依+。經(jīng)過A,

3兩點(diǎn)，若點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,0）,則不等式ax+6>0的解集是（）

A.x>0B.x>3C.x<0D.x<3

【答案】D

【解答】解：由圖象可得，

一次函數(shù)丁=依+。的圖象y隨x的增大而減小，與x軸的交點(diǎn)為（3,0）,

???不等式ax+b>0的解集是x<3,

故選：D.

【變式11-2】（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知一次函數(shù)7=依+。（左、人為常數(shù)）的圖象如圖

所示，那么關(guān)于x的不等式依+。>0的解集是（）

%<2D.x>2.

【答案】c

【解答】解:函數(shù)丁=履+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,并且函數(shù)值y隨X的增大而減小,

所以當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)值大于0,即關(guān)于x的不等式履+。>0的解集是x<2.

故選：C.

【變式11-3】（2023?天橋區(qū)一模）若一次函數(shù)丁=日+。（左，6為常數(shù)，且左力0）的圖象經(jīng)過

點(diǎn)A（0,-1）,B（1,1）,則不等式依+。>1的解集為（）

A.x<1B.x>lC.x>0D.x<0

【答案】B

【解答】解：如圖所示：不等式履+。>1的解為：x>l.

故選：B.

x

|例12.（2023?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖,直線yi=x+b與第=區(qū)-1相交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為-1,則關(guān)于X的不等式x+0>履-1的解集是（)

A.G-1B.x>-1C.-1D.x<-1

【答案】B

【解答】解：當(dāng)了>-1時(shí)，x+b>kx-1,

即不等式x+b>kx-1的解集為x>-1.

故選：B.

【變式12-1】（2022秋?寧波期末）如圖，直線>1=入+0與直線”=膽-n交于點(diǎn)PCl,m),

則不等式WX-72>入+。的解集是（）

A.x>0B.x<0C.x>1D.x<1

【答案】C

【解答】解：不等式HU-〃>京+。的解集為x>l.

故選：C.

【變式12-2]（2022春?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知一次函數(shù)yi=kix+b與”=/+岳交于

點(diǎn)A,根據(jù)圖象回答，yi>>2時(shí)，x的取值范圍是（）

【答案】C

【解答】解：由函數(shù)圖象得：當(dāng)X<-1時(shí)，V在"上方，即71>?，

故選：C.

【變式12-3】（2022春?順德區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知一次函數(shù)yi=fcn+Oi與一次函數(shù)丁2=履2+岳

【答案】C

【解答】解：一次函數(shù)yi=kix+Ai與一次函數(shù)丁2=4”+岳的圖象相交于點(diǎn)（1,2）,

所以不等式k\x+bi<-kvc+bi的解集是x<l.

故選：C.

［域真題演I1

----------------------illllllllllilllllllllllllllllllilllllllll------------------------

1.（2023?陜西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)〉=6和y=苫+。（a為常數(shù)，。<0）的圖象可能是（）

【解答】解：-：a<0,

函數(shù)y=辦是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，經(jīng)過第二、四象限，

函數(shù)y=/a是經(jīng)過第一、三、四象限的直線，

故選：D.

2.（2023?樂山）下列各點(diǎn)在函數(shù)y=2x-1圖象上的是（）

A.（-1,3）B.（0,1）C.（1,-1）D.（2,3）

【答案】D

【解答】解：A.當(dāng)x=-1時(shí)，y=2義（-1）-1=-3,

...點(diǎn)（-1,3）不在函數(shù)y=2尤-1圖象上；

B.當(dāng)尤=0時(shí)，y=2X0-l=-l,

...點(diǎn)（0,1）不在函數(shù)y=2x-1圖象上；

C.當(dāng)x=l時(shí)，y=2X1-1=1,

...點(diǎn)（1,-1）不在函數(shù)y=2尤-1圖象上；

D.當(dāng)x=2時(shí)，y=2X2-1=3,

...點(diǎn)（2,3）在函數(shù)y=2x-1圖象上；

故選：D.

3.（2023?新疆）一次函數(shù)>=無+1的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解答】解：在一次函數(shù)y=x+l中，笈=1>0,b=l>0,

...一次函數(shù)y=x+l經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.

故選：D.

4.（2023?巴中）一次函數(shù)y=（4-3）x+2的函數(shù)值y隨x增大而減小，則上的取值范圍是（）

A.左>0B.k<0C.k>3D.k<3

【答案】D

【解答】解：??,一次函數(shù)》="-3）尤+2的函數(shù)值y隨x增大而減小，

；.左-3c0,

：.k<3,

故選：D.

5.（2023?臺(tái)灣）坐標(biāo)平面上，一次函數(shù)y=-2x-6的圖象通過下列哪一個(gè)點(diǎn)（）

A.（-4,1）B.（-4,2）C.（-4,-1）D.（-4,-2）

【答案】B

【解答】解：A.當(dāng)x=-4時(shí)，y--2X（-4）-6—2,所以一次函數(shù)y--lx-6的圖象不過（-4,

1）點(diǎn)，因此選項(xiàng)A不符合題意；

B.當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2X（-4）-6=2,所以一次函數(shù)y=-2x-6的圖象過（-4,2）點(diǎn)，因此選

項(xiàng)8符合題意；

C.當(dāng)尤=-4時(shí)，y=-2X（-4）-6=2,所以一次函數(shù)y--2x-6的圖象不過（-4,-1）點(diǎn)，因

此選項(xiàng)C不符合題意；

D.當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2X（-4）-6=2,所以一次函數(shù)y=-2尤-6的圖象不過（-4,-2）點(diǎn)，因

此選項(xiàng)O不符合題意；

故選：B.

6.（2022?六盤水）如圖是一次函數(shù)、=履+6的圖象，下列說法正確的是（）

A.y隨x增大而增大B.圖象經(jīng)過第三象限

C.當(dāng)x20時(shí)，yWbD.當(dāng)尤<0時(shí)，y<0

【答案】c

【解答】解：由圖象得：圖象過一、二、四象限，則％<0,b>0,

當(dāng)上<0時(shí)，y隨尤的增大而減小，故A、8錯(cuò)誤，

由圖象得：與y軸的交點(diǎn)為（0,b）,所以當(dāng)尤》。時(shí)，從圖象看，yW6,故C正確，符合題意；

當(dāng)x<0時(shí)，y>b>0,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

7.（2022?蘭州）若一次函數(shù)y=2x+l的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-3,力），（4,以），則以與"的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2B.y\>yiC.yiW”D.y\^yi

【答案】A

【解答】解：?.?一次函數(shù)y=2x+l中，k=2>0,

隨著x的增大而增大.

?..點(diǎn)（-3,力）和（4,”）是一次函數(shù)y=2x+l圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，-3<4,

故選：A.

8.（2022?廣安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=3尤+2的圖象向下平移3個(gè)單位長度，所得的函數(shù)的解

析式是（）

A.y=3x+5B.y—3x-5C.y—3x+lD.y—3x-1

【答案】。

【解答】解：將函數(shù)y=3尤+2的圖象向下平移3個(gè)單位長度后，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y=3x+2-3=

3x-1,

故選：D.

9.（2022?遼寧）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=%ix+6i與>=壇計(jì)歷的圖象分別為直線公

和直線/2,下列結(jié)論正確的是（）

A.ki'k2<0B.所+近<0C.bi-歷<0D.b!"b2<0

【答案】D

【解答】解：???一次函數(shù)y=任葉久的圖象過一、二、三象限，

：.k!>0,bi>0,

??.一次函數(shù)y=比龍+岳的圖象過一、三、四象限，

，％2>0，岳<0,

；.A、ki-k2>Q,故A不符合題意；

B、ki+k2>0,故3不符合題意；

C、bi-b2>0,故C不符合題意；

D、乩％2<0,故。符合題意；

故選：D.

10.(2023?路橋區(qū)一模)如圖，直線y=ax+6(aWO)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則關(guān)于尤的方程辦+6=0

的解為()

【答案】A

【解答】解：???直線y=ax+6(aWO)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

關(guān)于x的方程ax+b=O的解為x=l.

故選：A.

11.(2023?臨渭區(qū)一模)已知直線y=-3x與>=丘+2相交于點(diǎn)P(%3),則關(guān)于x的方程無+2=-3x

的解是()

A.x=-1B.x=lC.x=2D.x=3

【答案】A

【解答】解：:直線y=-3x和直線y=fcv+2的圖象相交于點(diǎn)P。小3),

.,.3=-3m,解得m=-1,

：.P(-1,3),

關(guān)于x的方程fcc+2=-3尤的解是為x=-1,

故選：A.

12.（2023?淹橋區(qū)校級(jí)四模）如圖，一次函數(shù)y=kx+b與y=x+2的圖象相交于點(diǎn)P（m,4）,則關(guān)于x

的方程kx+b=4的解是（）

C.x=3D.尤=4

【答案】B

【解答】解：把尸（m,4）代入y=x+2得初+2=4,解得根=2,

所以一次函數(shù)>=依+6與y=x+2的圖象的交點(diǎn)尸為（2,4）,

所以關(guān)于x的方程kx+b=4的解是x=2.

故選：B.

ax+b<。的解集是）

13.（2023?祁東縣校級(jí)模擬）如圖，可以得出不等式組（

cx+d〉0

C.-l<x<4D.尤>4

【答案】D

【解答】解：???直線y=ax+6交x軸于點(diǎn)（4,0）,

.,."+6<0的解集為：尤>4,

,直線y=cx+d交x軸于點(diǎn)（-1,0）,

：.cx+d>0的解集為：x>-1,

ax+b：O的解集是：

.?.不等式組4x>4

cx+d〉0

故選：D.

14.（2023?郴州）在一次函數(shù)y=（左-2）x+3中，y隨尤的增大而增大，則人的值可以是3（答案不唯

一）（任寫一個(gè)符合條件的數(shù)即可）.

【答案】3（答案不唯一）.

【解答】解：?..在一次函數(shù)y=（4-2）x+3的圖象中，y隨尤的增大而增大，

：.k-2>0,

解得：k>2.

，左值可以為3.

故答案為：3（答案不唯一）.

15.（2023?廣西）函數(shù)y=fcv+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,5）,則k=1.

【答案】L

【解答】解：將點(diǎn)（2,5）代入y=fcv+3中，得5=24+3,

解得k=L

故答案為：1.

16.（2023?蘇州）已知一次函數(shù)y=fcv+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）和（-1,2）,則,-久=-6.

【答案】-6.

【解答】解：由題意得，將點(diǎn)（1,3）和（-1,2）代入y=Ax+b得：

（3=k+b,

\2=-k+b

[k=l

K2

解得"匚，

142

k2-b2=（y）2-（-|-）=-6'

另一種解法：由題意得，將點(diǎn)（1,3）和（-1,2）代入得：

（3=k+b,

l2=-k+b，

.9.k2-b2=（k+b）（k-b）=-（k+b）Q-k+b）=-3X2=-6.

故答案為：-6.

17.（2023?天津）若直線y=%向上平移3個(gè)單位長度后經(jīng)過點(diǎn)（2,m）,則m的值為5.

【答案】5.

【解答】解：將直線>=尤向上平移3個(gè)單位，得到直線y=x+3,

把點(diǎn)（2,m）代入，得MI=2+3=5.

故答案為：5.

18.（2022?陜西）如圖，是一個(gè)“函數(shù)求值機(jī)”的示意圖，其中y是x的函數(shù).下面表格中，是通過該“函

數(shù)求值機(jī)”得到的幾組尤與y的對(duì)應(yīng)值.

輸入X???-6-4-202

輸出y???-6-22616

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的v值為8；

（2）求k,b的值；

（3）當(dāng)輸出的y值為。時(shí)，求輸入的充值.

輸入X

當(dāng)￡1時(shí)當(dāng)逢1時(shí)

輸出F

【答案】⑴8;

（2）2,6；

（3）輸入的x值為-3.

【解答】解：（1）當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的y值為y=8尤=8義1=8,

故答案為：8；

（2）將（-2,2）（0,6）代入尸fcc+b得［2=-2k+b,

\6=b

解得，k=2；

Ib=6

（3）令y=0,

由y=8x得0=8x,

：.x=0<l（舍去），

由y=2x+6,得0=2x+6,

.\x=-3<1,

，輸出的y值為。時(shí)，輸入的尤值為-3.

19.（2022?陜西）在測浮力的實(shí)驗(yàn)中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動(dòng)浸入水里的過程

中，彈簧測力計(jì)的示數(shù)尸拉力（N）與石塊下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）求A8所在直線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）當(dāng)石塊下降的高度為8a”時(shí)，求此刻該石塊所受浮力的大小.

（溫馨提示：當(dāng)石塊位于水面上方時(shí)，尸拉力=G重力；當(dāng)石塊入水后，F(xiàn)拉力=G重力-F浮力.）

【答案】（1）

（2）當(dāng)石塊下降的高度為8c機(jī)時(shí)，該石塊所受浮力為旦N.

4

【解答】解：（1）設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為/拉力=履+6,將（6,4）,(10,2.5)代入得:

%k+b=4

,10k+b=2.5

：.AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為FL-馬+至；

84

（2）在尸拉力=-當(dāng)+生■中，令x=8得f拉力=-旦義8+生

84844

V4-11=2（N）,

44

當(dāng)石塊下降的高度為8cm時(shí)，該石塊所受浮力為

4

|］晝過關(guān)檢測

----------------------llllllllllllllllllllllllllllilllillllllll------------------------

1.（2023?沅江市校級(jí)模擬）已知函數(shù)y=-2x+。，當(dāng)x=l時(shí)，y=5,則Z?的值是（）

A.-7B.3C.7D.11

【答案】c

【解答】解：?.?當(dāng)尤=1時(shí)，尸5,

；.5=-2X1+6,

解得:6=7,