期末復習(壓軸題60題)

1.已知直線y=―：久+8與無軸、y軸分別交于點力和點B,"是。B上的一點，若將AABM沿AM折疊，點B

恰好落在x軸上的點次處，則點M的坐標是()

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

2.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(1,1),B(-l,1).C(-l,-2),。(1,一2)把一根長為2019個單位

長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在A處，并按478一。7。一4...的規律緊

繞在四邊形4BCD的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標是.

3.若方程組15的解中久+y=2024,貝也等于（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

4.如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為S1、52、53，貝”1、52、S3的關系是

()

22

A.S】+S2=S3B.S/+S2=S3

C.Sj_+S2>S3D.Si+S2<S3

5.如圖，三角形紙片力BC中，乙4=65。，Z.B=70°,將NC沿DE對折，使點C落在△4BC外的點C，處，若

zl=20。，則乙2的度數為()

CEB

1

A.80°B.90°C.100°D.110°

6.將一根24cm的筷子置于底面直徑為15cm,高為8cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露在杯子外面的長

A.h<17B.7</i<16C.15</i<16D.h>8

7.甲、乙二人從A、5兩地同時出發相向而行，乙到達A地后立即返回5地，兩人與A地的距離s（單

位：km）與所用時間/（單位：min）之間的函數關系如圖所示，則甲、乙兩人在途中兩次相遇的間隔

8.如圖，481CD于點。，點E、F分別是射線。4、OC上的動點（不與點。重合），延長FE至點G,Z.BOF

的角平分線及其反向延長線分別交4FE。、NGE。的角平分線于點M、N.若AMEN中有一個角是另一

個角的3倍，則"F。為（）.

A.45?；?0。B.30?；?0。C.45?；?0。D.67.5?；?5。

9.如圖，在△ABC中，AO是高，AE是角平分線，ZF是中線，則下列說法中錯誤的是（）

A.BE=CFB.ZC+^CAD=90°

2

C.乙BAE=Z-CAED.S“BC=2S44BF

10.如圖，已知BE、CE分另lj是乙4BD和乙4CD的角平分線，乙4=40。，z￡>=30°,則NE的度數為（）

11.如圖，在四邊形4BCD中，4DAB=4BCD=90°,分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個正方

形，面積分別為a,b,c,d.若a=2,b+c=12,貝！Id為（）

12.如圖，在學校工地的一根空心鋼管外表面距離左側管口2?111的點M處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管

內表面距離右側管口5（?的點N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm,長為15cm,則小蜘蛛需要爬

行的最短距離是（）

13.如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中2E=

5,BE=12,貝忸尸的值是（）

A.7V2B.V13C.2V3D.7

14.如圖，一個質點在第一象限及x軸、y軸上運動，在第一秒鐘，它從原點（0,0）運動到（0,1）,然后接著按

3

圖中箭頭所示方向運動，即（0,0）-（0,1）-（1,1）-（1,0）,且每秒移動一個單位長度，那么第99秒時質

點所在位置的坐標是（）

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A2,43，…和點當，B2,B3,…分別在直線y=N+b和x軸

上，直線y=1久+b與x軸交于點△。力/「△B14B2，△B2&B3，…都是等腰直角三角形，如

16.已知：如圖，直線y=r+4分別與x軸，y軸交于4B兩點，從點P（2,0）射出的光線經直線A8反射

后再射到直線。B上，最后經直線08反射后又回到P點，則光線所經過的路程是（）

A.2V10B.6C.3V3D.4+2企

17.如圖，^ABC=AACB,BD、CD、4D分別平分N4BC、乙4CF、^EAC.以下結論，其中正確的是

()

?AD\\BC；?Z.ADB=|z/lCF；③4BAC=24BDC；?/-ADC+^ABD=90°.

RF

4

A.①②B.②③④C.①③④D.①②③④

18.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.分別以48、AC.BC為邊在AB的同側作正方形

ABEF、ACPQ.BCMN,四塊陰影部分的面積分別為S>S2>S3、S4.則S[+S2+S3+S4等于()

M

二、填空題

19.已知a,b分別是5-遍的整數部分和小數部分，那么2a-6的值為.

20.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,4和B是這個臺階的兩個相

對的端點，點4上有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，請你想一想，這只螞蟻從點4出發，沿著臺

階面爬到點B,最短路線長度是cm.

21.如圖，在平面直角坐標系中，點N】(l,l)在直線=x上，過點N1作NiMill,交x軸于點過點

作MlMlX軸，交直線于M；過點N2作N2M2，Z,交X軸于點M2；過點用2作M2N3軸，交直線I于

點N3；…，按此作法進行下去，則點“2022的坐標為—.

22.如圖，在坐標軸上取點4(2,0),作支軸的垂線與直線y=2x交于點/，作等腰直角三角形4/142；又

過點42作X軸的垂線交直線y=2x于點殳，作等腰直角三角形42B24…如此繼續，則點4023的坐標

是.

5

23.某周末，小明到彩云湖公園畫畫寫生，小明家到彩云湖公園的路程為3.5千米，步行20分鐘后，在家

的小明媽媽發現小明畫畫的某工具沒拿，立即通知小明等著自己把工具送過去，小明媽追上小明把工

具給了小明后立即以原速返回，同時小明以原來1.2倍的速度前往目的地，如圖是小明與小明媽距家的

路程(千米)與小明所用時間(分鐘)之間的函數圖象，則小明媽返回家的時間比小明到達目的地

24.在筆直的鐵路上4、8兩點相距25km,C、。為兩村莊，DA=10km,CB=15km,D414B于4,

CB1AB于B,現要在AB上建一個中轉站E,使得C、D兩村到E站的距離相等.貝何應建在距4

km.

AEB

3c

\15

D\

C

25.若關于x、y的二元一次方程組二；：的解是二;，那么關于a、6的二元一次方程組

，3(a+6)-a(a-b)=16的解是

(2(a+6)+以a—6)=15"勝正-----'

26.如圖，在平面直角坐標系中，將△28。繞點4順時針旋轉到△A%Q的位置，點。分別落在點當、

G處，點名在x軸上，再將△4/6繞點當順時針旋轉到△4/1的位置，點在X軸上，將△4/13

繞點。2順時針旋轉到A&B2c2的位置，點兒在久軸上，依次進行下去…，若點4(3,0),5(0,4)，則點

/00的坐標為?

6

27.如圖，AE1AB,且4E=4B,BC1CD,且BC=CD,請按照圖中所標注的數據計算圖中實線所圍

28.如圖，AB=1,以4B為斜邊作直角△4BC,以△4BC的各邊為邊分別向外作正方形，EM1KH于

M,GNLKH于N,則圖中陰影面積和的最大值為

29.已知甲、乙兩車分別從A、8兩地同時以各自的速度勻速相向而行，兩車相遇后，乙車減慢速度勻速

行駛，甲車的速度不變，甲車出發5小時后，接到通知需原路返回到C處取貨，于是甲車立即掉頭加

快速度勻速向C處行駛，甲追上乙后又經過40分鐘到達C處，甲車取貨后掉頭以加快后的速度趕往

8地，又經過十、時，甲、乙兩車再次相遇，相遇后各自向原來的終點繼續行駛（接通知、掉頭、取貨

物的時間忽略不計）甲、乙兩車之間的距離y（千米）與甲車行駛時間無（小時）的部分函數圖象如圖

30.如圖，直線y=-1尤+4交x軸、y軸于點4、B,點P在第一象限內，且縱坐標為4.若點P關于直線

AB的對稱點P恰好落在左軸的正半軸上，則點P的橫坐標為

7

31.如圖，直線4B的解析式為y=—x+b分別與x,y軸交于48兩點，點4的坐標為（3,0）,過點B的直

線交久軸負半軸于點C,且。B:OC=3:1,在K軸上方存在點。，使以點a,B,。為頂點的三角形與△

4BC全等，則點。的坐標為.

32.如圖，直線y=2尤—4與x軸和y軸分別交與A,B兩點，射線于點A,若點C是射線2P上的

一個動點，點。是無軸上的一個動點，且以A,C,。為頂點的三角形與AAOB全等，貝UOD的長

33.在ATIBC中，AB=AC,點。是射線CB上一動點（不與點3、C重合），以4。為邊在其右側作4

ADE,使得/W=4E、/.DAE=Z.BAC,連接CE.

8

(1汝口圖①，點。在線段CB上，求證：AABDWAACE.

(2)設NB4C=a,乙DCE=0.當點O在射線C8上移動時，探究a與/之間的數量關系，并說明理

由.

34.(1)如圖(1),已知：在AaBC中，ABAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,BD1_直線機，CE_1直

線相，垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且

有=/.AEC=/-BAC=a,其中。為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立？如成

立，請你給出證明；若不成立,請說明理由.

35.材料：如何將雙重二次根式Ja土2班(a>0,b>0,a±>0)化簡呢？如能找到兩個數n

(m>0,n>0),使得=a,即m+n=a,且使后^^=仍，即=那么

a±2Vb=(Vm)2+(Vn)2±2y/m-Vn=(Vm±Vn)2

?1.Va±2VF=|Vm±Vn|,雙重二次極式得以化簡.

例如化簡：53±2如,因為3=1+2且2=1x2

9

3±2V2=(VT)2+(V2)2±2V1xV2J3±=|1±V2|.

由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成JI五后的形式，且能找到n(m>0,n>0)使

得機+n=a,且=那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式.請同學們通過閱

讀上述材料，完成下列問題：

(1)填空：75±2V6=,V12±2V35=；

(2)化簡：79±672；

(3)計算：73-V5+72+V3

36.閱讀材料：

像(逐+V2)(V5—V2)=3.Va-Va=a(a>0)、(VF+1)(VF-1)=b-l(b>0)...兩個含有二

次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式.

例如，苗與百、魚+1與魚-1、2百+3而與2必-3遍等都是互為有理化因式.在進行二次根式

計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.

根據以上閱讀材料回答下列問題：

⑵計算:隔+V2+V3+V3+2+V2024+V2025

37.2023年7月五號臺風“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區受到嚴重影響，據報道，這是今年以來對我國影

響最大的臺風，風力影響半徑250km(即以臺風中心為圓心，250km為半徑的圓形區域都會受臺風影

響)，如圖，線段BC是臺風中心從C市向西北方向移動到8市的大致路線，A是某個大型農場，且

ABIAC.若A,C之間相距300km,A,B之間相距400km.

10

北

(1)判斷農場A是否會受到臺風的影響，請說明理由.

⑵若臺風中心的移動速度為25km/h,則臺風影響該農場持續時間有多長?

38.“漏壺”是一種古代計時器，在社會實踐活動中，某小組同學根據“漏壺”的原理制作了如圖①所示的液

體漏壺，漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻運實驗開始時圓

柱容器中已有一部分液體.漏到圓柱容器中，

01234567895（小時）

(1)表是實驗記錄的圓柱體容器液面高度y(厘米)與時間無(小時)的數據：在如圖2所示的直角坐

11

標系中描出上表的各點，用光滑的線連接；

(2)請根據(1)中的數據確定y與x之間的函數表達式；

(3)如果本次實驗記錄的開始時間是上午9:00,那么當圓柱體容器液面高度達到12厘米時是幾點？

39.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，直線y=—4(k為常數)的圖象經過點4(2,0),點P

在直線y=--4上一動點，且P的橫坐標為小，以力P為對角線構造團力BPC,B、C分別在x軸、y軸

上.

⑴求k的值；

(2)當點P縱坐標為2,求點B的坐標；

(3)當P在第一象限時，回力BPC的面積是AAOC的面積的4倍，求點P的坐標；

(4)回力BPC的面積為2,直接寫出小的值.

40.甲，乙兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品，春節期間兩家超市進行促銷活動，促銷方式如

下：

甲超市：所有商品按原價打8折.

乙超市：一次購物不超過200元的按原價付款，超過200元后超過的部分打7折.

(1)設分別在兩家超市購買原價為比(%>200)元的商品后，實付金額為y甲,y乙元，分別求出y甲,y乙

與x的函數關系式.

(2)當一次購物的商品原價為700元時，在哪家超市購買更省錢？請說明理由.

41.港珠澳大喬是一座連接香港，廣東珠海和澳門的跨海大橋，總長55km,當游輪到達8點后熄滅發動

機，在離水面高度為5m的岸上，開始時繩子BC的長為13m.(假設繩子是直的，結果保留根號)

12

(1)若工作人員以1.5m/s的速度收繩，4s后船移動到點。的位置，問此時游輪距離岸邊還有多少m?

(2)若游輪熄滅發動機后保持0.8m/s的速度勻速靠岸，10s后船移動到￡點，工作人員手中的繩子被收

上來多少米？

42.一條筆直的路上依次有M、P、N三地，其中M、N兩地相距1000米.甲機器人從M地出發到N地,

乙機器人從N地出發到〃地，甲、乙兩機器人同時出發，勻速而行.圖中線段。4、BC分別表示甲、

乙機器人離M地的距離y(米)與行走時間無(分鐘)的函數關系圖象.

(2)求乙機器人離M地的距離y與行走時間x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)甲機器人到達尸地后，再經過1分鐘乙機器人也到達P地，求P、加兩地間的距離.

43.為落實“雙減”政策，豐富體育活動，學校計劃到甲、乙兩家體育用品商店其中一家購買一批體育用

品，兩個商店優惠活動如下：

甲：所有商品按原價的8.5折出售；

乙：一次性購買商品總額不超過1000元的按原價付費，超過1000元的部分打7折.

設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實際付y甲元，去乙商店購買實際付y乙元，其

13

(1)若學校一次性購買800元體育用品，到甲商店需元，到乙商店需_____元；

(2)直接寫出y甲，y乙關于尤的函數解析式；

(3)求圖象中交點A的坐標，并根據圖象直接寫出選擇去哪個體育商店購買體育用品更合算.

44.請根據函數的學習路徑，對函數為=2|%-引-1的圖象與性質進行探究，并解決相關問題.

X0123456

y5m1-113n

(1)表格中：m=,n-

(2)根據表格已有數據，描點，連線.在平而直角坐標系中畫出該函數圖象(可依據題意補方格).

y/k

⑶觀察圖象，回答問題：

①當尤時，y隨x的增大而減小；

②該函數的最小值為；

③已知直線先過點(1,3)和(4,1),直接寫出當y】W>2的x取值范圍是

45.【問題提出】

(1)如圖1,在RtAdCB中，乙4cB=90。，AC=3,BC=4,D為邊4B的中點，連接CD,貝UCD的長

為.

【問題探究】

(2)如圖2,在四邊形4BCD中，^ABC=90°,AB=6,BC=8,CD=4,且P為4。的中點，連接

BP,求線段BP的最大值.

14

【問題解決】

（3）為了落實國家關于勞動實踐教育的政策，使同學們掌握勞動技能和科學知識，體驗勞動的快

樂，某學校計劃利用學校內一塊四邊形空地4BCD規劃建立勞動教育綜合實踐基地.如圖3,E是CD的

中點，力E把四邊形分成了兩部分，其中四邊形48CE內種植油葵，△的￡1內種植豌豆，力￡是步行通

道.為方便種植，要讓步行通道AE最長.若CD=60米，Z.B=90°,AB=AD,且NC+AD=180。，

修建步行通道每米花費500元，則學校修建步行通道4E最多需要花費多少錢？（參考數據：五儀

1.4）

46.【綜合與實踐】桿秤是一種生活中常見的稱重工具，它的設計巧妙地運用了物理原理，使得測量物體

質量變得簡單而準確.桿秤的物理原理，包括杠桿原理、力的平衡以及刻度與讀數等方面的內容.某

興趣小組想利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行

調試，請完成下列方案設計中的任務.

【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤蛇可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：（60+租）」=〃?

（a+y）.其中秤盤質量Hi?？?，重物質量機克，秤坨質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為2厘米，秤紐

與零刻線的水平距離為a厘米，秤蛇與零刻線的水平距離為y厘米.

【方案設計】目標：設計簡易桿秤.設定加0=10,M=100,最大可稱重物質量為1000克，零刻線

與末刻線的距離定為50厘米.

任務一：確定Z和a的值.

15

當秤盤不放重物，秤坨在零刻線時，桿秤平衡；

當秤盤放入質量為1000克的重物，秤蛇從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡;

(1)求1和a的值.

任務二：確定刻線的位置.

(2)根據任務一，求y關于M的函數解析式.

秤紐桿秤示意圖

1

JLL.?.、_________________

47.大家知道魚是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此魚的小數部分我們不可能全部寫出來，于是

小明用a-1來表示證的小數部分，因為魚的整數部分是1,將魚減去其整數部分，差就是其小數部

分.請解答：

⑴請寫出舊的整數部分和小數部分各是多少？

(2)如果病的小數部分為a,g的整數部分是6,求ab-逐的值；

(3)己知：10+V3=x+y,其中x是整數部分，y是小數部分，且0<y<l,求x—y的相反數.

48.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-|x+6分別交x軸，y軸于點B,A,直線。C14B,垂足為點

C,D為線段。4上一點(不與端點重合)，過點。作直線“1%軸，交直線2B于點E,交直線OC點F.

(2)當。E=EF時，求點。的坐標；

(3)若直線/過點C,點M為線段OC上一點，N為直線［上的點，已知OM=CN,連接力N,AM,求線段

16

4V+4M的最小值.

49.5月12號是全國防災減災日，學校對校園隱患進行了排查，發現放學時，七、八年級所處的教學樓樓

梯口空間窄，人流量大，極易發生擁堵，從而出現不安全因素、通過觀察，發現七年級學生從放學時

刻起，準備通過樓梯口的人數月(人)與時間x(分鐘)滿足關系：力=[_」嗎黑八年級

學生從放學時刻起，準備通過樓梯口的人數為(人)與時間尤(分鐘)滿足如圖的關系.已知兩個年級同

時準備通過樓梯口的人數超過70人，就會發生擁堵.

必(人)

O\5(分)

(1)試寫出八年級學生準備通過樓梯口的人數、2(人)和時間道分鐘)之間的函數關系式；

(2)若七、八年級學生同時放學，幾分鐘后樓梯口開始擁堵？

(3)為了解決擁堵問題，排除校園安全隱患，學校決定讓八年級學生延遲5分鐘放學，請通過計算說明

學校的這一舉措是否有效.

50.一輛貨車從力地運送一批物資到B地，一輛客車從B地運送一批乘客到4地，兩車同時出發，圖中心12

分別表示兩車相對于4地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的關系.

Ay(km)

450k------------

O4.59x(h)

(1)根據圖象，直接寫出心％對應的函數關系式;

(2)求兩車同時出發后的相遇時間;

(3)當x為何值時，兩車相距150km?

17

51.如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過點A(-l,3)的直線交無軸正半軸于點8,交y軸

于點C,OB=0C,直線4D交x軸負半軸于點。(一3,0)

(2)橫坐標為他的點尸在線段4B上(不與點A,8重合)，過點尸作無軸的平行線交4D于點E,設PE的

長為y(y^O),求y與相之間的函數關系式并直接寫出相應的根的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在x軸上是否存在點F,使APEF為等腰直角三角形？若存在，求出點歹的坐

標，若不存在，請說明理由.

52.【模型建立】

(1)如圖1,等腰直角AABC中，乙48c=90。，BC=BA,直線ED經過點B,過點4作2。1ED于點

D,過點C作CE1ED于點E,求證：4CEBaBDA.

【模型應用】

(2)如圖2,已知直線":y=3久-3與無軸交于點4與y軸交于點B,將直線％繞點2順時針旋轉45。

至直線6,求直線"的函數表達式；

(3)直線y=-2x+4與y軸交于點C,點P是x軸上的動點，平面內有一點D(a,a-2).試探究△

CPD能否成為等腰直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標，若不能，請說明理

由.

18

o-x>

備用圖

53.如圖，在平面直角坐標系中，直線人的解析式為y=-x,直線6與L，交于點4(-a,a),與y軸交于點

B(0,b),且(a-2)2+VF?=0.

(1)求直線"的解析式；

(2)若第二象限有一點P(m,8),使得S-op=SfOB，請求出點尸的坐標；

(3)線段04上是否存在一個點使得N2B。+NM8。=45。，若存在，求出點M的坐標；若不存在,

請說明理由.

54.如圖1,已知函數y=^x+2與x軸交于點A,與y軸交于點2,點C與點A關于y軸對稱.

(1)求直線BC的函數解析式;

19

⑵設點M是x軸上的一個動點，過點〃作y軸的平行線，交直線力B于點P,交直線BC于點Q.

①若APQB的面積為會求點M的坐標；

②連接BM,如圖2,若乙BMP=4BAC,求點尸的坐標.

55.［方法儲備］如圖1,在△力BC中，CM為△ABC的中線，若2C=2,BC=4,求CM的取值范圍.中線倍

長法：如圖2,延長CM至點D,使得=連結BD,可證明，由全等得到8。=2C=2,從而

在△BCD中，根據三角形三邊關系可以確定CD的范圍，進一步即可求得CM的范圍.

在上述過程中，證明AaCMmaBOM的依據是,CM的范圍為

［思考探究］如圖3,在△力BC中，Z4CB=90°,M為2B中點，D、E分別為AC、BC上的點，連結

MD、ME、DE,Z.DME=90°,若BE=1,AD=2,求DE的長；

［拓展延伸］如圖4,C為線段4B上一點，AC>BC,分另ij以4C、BC為斜邊向上作等腰Rt△ACD和等腰

RtACBE,M為48中點，連結DM,EM,DE.

①求證：ADME為等腰直角三角形；

②若將圖4中的等腰RtZkCBE繞點C轉至圖5的位置（4B,C不在同一條直線上），連結48,M為

力B中點，且D,E在AB同側，連結DM,EM.若AD=5,EB=3,求△D14M和△EBM的面積之差.

圖4圖5

56.【閱讀下列材料1

若a>0,b>0,則a=(①)?，6=(VF『，/.(yja-Vfe)=a+b-2y/ab.(注：Va-Vfe=VaF)

20

V(Va-Vb)2>0,￡1+6—2而20,，61+622而.“4+622而”稱為“基本不等式”，利用它

可求一些代數式的最值及解決一些實際問題.(a、b為正數；積定和最小；和定積最大；當a=6時，

取等號.)

【例】：若a>0,b>0,ab=16,求a+b的最小值.

解：a>0,b>0,ab—16.,.a+b—2y[ab>0,

.'.a+b>2>/ab=8.

a=b=4時，a+b的最小值為8.

【解決問題】

(1)用籬笆圍成一個面積為100m2的長方形菜園，當這個長方形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短

籬笆的長是多少；

(2)用一段長為100m的籬笆圍成一個一面靠墻(墻足夠長)的長方形菜園，當這個長方形的邊長是多

少時，菜園面積最大？最大面積是多少；

(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點。，AAOD、△BOC的面積分別為2和3,求四邊形

4BCD面積的最小值.

57.如圖1,直線11BC于點8,N4CB=90。，點。為BC中點，一條光線從點A射向。，反射后與直線/

圖1圖2圖3

21

⑴求證：BE=AC；

(2)如圖2,連接48交DE于點P,連接FC交4。于點H,AC=BC,求證：CF1AD；

(3汝口圖3,在(2)的條件下，點尸是力B邊上的動點，連接PC,PD,ShABD=8,CH=2,求PC+

PD的最小值.

58.如圖1,在同一平面直角坐標系中，直線4B：;/=2刀+6與直線4。：y=kx+3相交于點4(m,4),與

x軸交于點B(-4,0),直線2C與x軸交于點C.

⑴填空：b—,m=,k=；

(2)如圖2,點。為線段BC上一動點，將AACD沿直線力D翻折得到△4ED,線段4E交x軸于點F.

①當點E落在y軸上時，求點E的坐標；

②若ADEF為直角三角形，求點。的坐標.

59.【初步認識】

(1)如圖①，在AABC中，BP平分/ABC,CP平分N4CB.若NA=80。，貝！UP=；如圖②,

平分“BC,CM平分外角N4CD,貝亞A與NM的數量關系是；

【繼續探索】

(2)如圖③，BN平分外角NEBC,CN平分外角NFCB.請探索與NN之間的數量關系；

【拓展應用】

22

(3)如圖④，點P是△ABC兩內角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，延長BP、NC

交于點在ABMN中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求乙4的度數.

60.如圖，直線+2與x軸交于點A,與y軸交于點8,直線%與x軸交于點C,與y軸交于。

⑵點。為直線上一動點，若有SAQCD=|SAO4B，請求出。點坐標；

(3)點M為直線AB上一動點，點N為y軸上一備用圖動點，是否存在以點M,N,C為頂點且以MN為

直角邊的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

23

期末復習(壓軸題60題)

1.已知直線y=―：久+8與無軸、y軸分別交于點力和點B,"是。B上的一點，若將AABM沿AM折疊，點B

恰好落在x軸上的點次處，則點M的坐標是()

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數與坐標軸交點問題，勾股定理，折疊的性質，熟練掌握相關知識點是關

鍵.

由解析式求出點4和點B的坐標，再根據勾股定理即可得出A8的長，由折疊的性質，可求得4夕=

OB',BM=B'M,設MO=K，在RtAOMB'中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐標.

【詳解】解：?.,直線y=-梟+8與x軸、y軸分別交于點4和點B,

;x=0時，y=8,y=0時，x=6,

???4(6,0),B(0,8),

AB=7a+82=10.

由折疊的性質得：AB=AB'=10,BM=B'M,

/.OB'=AB'-OA^10-6=4.

設M。=x,

則MB=MB'=8-x.

在RtAOMB'中，

OM2+0B'2=B'M2,

BPx2+42=(8—久/，

解得：x—3,

.-.”(0,3).

故選：B.

24

2.如圖,在平面直角坐標系中，已知點4(1,1),C(-l,-2),2(1,-2)把一根長為2019個單位

長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在A處，并按a7C7。-2…的規律緊

繞在四邊形力BCD的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標是.

【答案】(1,0)

【分析】本題為規律題，考查了平面直角坐標系點的特征，坐標點之間的距離，合理找出運動規律是

解題的關鍵.

根據運動的方式求出運動路線的長度，找出規律即可解答.

【詳解】解：8(—1,1),C(—1,—2),D(l,-2),

：.AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,AD=1-(-2)=3,

...從a點出發回到a點所需要的線長為：2+3+2+3=io,

.?.20194-10=201…9,

.,.繞四邊形2BCD201圈之后余9個單位，即4向。一個單位，

細線的另一端所在位置的點的坐標是(1,0),

故答案為：(1,0).

3.若方程組4人1602%貝瞌等于()

(2x+6y=k'

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】B

【分析】本題考查了已知二元一次方程組的解的情況求參數問題，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵.

利用(①+②)+5可得：x+y=k1,代入％+y=2024求解即可.

3x—y=4k—5①

【詳解】解:

2%+6y=k@

①+②可得：5%+5y=5k—5,

/.同除5可得：%+y=k-1,

Vx+y=2024,

：.k-l=2024,

解得：fc=2025,

25

故選：B.

4.如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為Si、52、S3,貝g1、52、S3的關系是

C.Si+S2>S3D.Si+S2Vs3

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的應用、圓的面積等知識.由勾股定理表示出三邊的關系，表示出三個

半圓的面積即可得出答案.

【詳解】解：設直角三角形的三邊分別為a,b,c,則三個半圓的半徑分別為會p（,

由勾股定理得+b2=c2,則（§2+（§2=。）2,

即Si，S2,S3之間的關系為￡+S2=53,

故選：A.

5.如圖，三角形紙片力BC中，44=65。，=70°,將NC沿DE對折，使點C落在△4BC外的點C，處，若

Z1=20。，則N2的度數為（）

【答案】D

【分析】本題考查的是三角形內角和定理，折疊的性質，三角形的外角，根據三角形內角和定理，易

得NC=180?！?5?！?0°=45。；設C7）與BC交于點。，根據三角形的外角易得/2=〃+WOC,

26

z￡>OC=zl+zC\則42的度數可求.

【詳解】解：???乙4=65。,乙8=70。,

ZC=180°-65°-70°=45°,

由折疊的性質可得：乙c=/.C=45°,

如圖，設與BC交于點。，

由三角形的外角可得：Z2=ZC+ZDOC,ADOC=N1+NL,

貝叱2=ZC+Z1+AC'=45°+20°+45°=110°.

故選：D.

6.將一根24cm的筷子置于底面直徑為15cm,高為8cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露在杯子外面的長

度為hem,貝防的取值范圍是()

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的運用，根據題意，分類討論，當筷子直立在水杯中時，h=24-8=

16(cm)；當筷子斜放在水杯中，如圖所示，運用勾股定理可得h=7(cm)；由此即可求解.

【詳解】解：根據題意，當筷子直立在水杯中時，h=24-8=16(cm)；

當筷子斜放在水杯中，如圖所示，AB=15cm,BC=8cm,且A8=90。

：.AC=V152+82=17(cm),

?,?筷子露在外面的部分的長度為24-17=7(cm),

27

，九的取值范圍為：7</i<16,

故選：B.

7.甲、乙二人從A、8兩地同時出發相向而行，乙到達A地后立即返回8地，兩人與A地的距離s(單

位：km)與所用時間f(單位：min)之間的函數關系如圖所示，則甲、乙兩人在途中兩次相遇的間隔

時間為()

【答案】B

【分析】本題考查從函數圖象中獲取信息，一元一次方程的應用.根據題意和函數圖象中的數據，可

以計算出甲、乙兩車兩次相遇的時間，然后作差即可.

【詳解】解：標記相關點，如圖，由題意知PQ—QC為乙關系圖，線段。。為甲關系圖，

由圖知，乙從8到A地用時4min,返回一樣用時4min,

甲從A到8地用時12min,

設A、8兩地的距離為akm,

則乙速度"乙=?(min/km),甲速度u甲=專(min/km),

設￡=11時，甲、乙第一次相遇，兩者相向而行，

則有，+31=1，

解得h=3；

設t=t：2時，甲、乙第二次相遇，

由圖知，t=4時，乙到達A地，此時甲距離A地4xE=?(km),

t>4時，兩者同向而行，

28

則有g+3t2-4）=-4），

解得七2=6：

.."2-11=6—3=3,即甲、乙兩人在途中兩次相遇的間隔時間為3min,

故選：B

8.如圖，481。。于點0,點仄F分別是射線040C上的動點（不與點。重合），延長FE至點G,4B0F

的角平分線及其反向延長線分別交NFEO、NGE。的角平分線于點M、N.若AMEN中有一個角是另一

個角的3倍，貝吐EF。為（）.

A.45°或30。B.30°或60。C.45°或60。D.67.5°或45。

【答案】C

【分析】本題主要考查了與角平分線有關的三角形內角和的問題，以及三角形外角的性質，先根據角

平分線和平角的定義可得：AMEN=90。,分4種情況討論，①當/MEN=3/M時，②當乙MEN=

3NN時，③當NN=3NM時，④當NM=3NN時，根據三角形內角和定理及外角的性質可得結論.

【詳解】解：：EM平分NFEB,EN平分乙BEG,

:.乙MEB=LFEM,乙NEB=LNEG,

-1

."MEB+乙NEB=j（ZFFS+乙BEG）=90°,

:.乙MEN=90°,

當①乙MEN=3NM時.

乙M=乙乙MEN=30°,

3

TOM平分乙8。尸，

：.^MOB=45°,

.*.ZMEO=450-30°=15°

:,（FEO=30°,

9：AB1CD于點0,

"EOF=90°,

29

.,.ZE,FO=90°-30°=60°,

②當乙MEN=34N時，

i

工人N=二乙MEN=30°

3

.*.ZM=9O°-3O°=6O°,

■:乙MOB=45°,

???乙M=60°>乙MOB=45°

???此種情況不成立.

③當乙N=34M時，

設乙M=x°,

貝！J：x+3x=90,

解得：％=22.5,

?"MEO=乙MOB—乙M=45°-22.5°=22.5°,

J.Z.FEO=45°,

：.^EFO=90°-45°=45°.

④當NM=3XV時，

同理得：NN=22.5。，

AzM=3x22