第02講勾股定理逆定理與勾股數(4種題

型)

◎【知識梳理】

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+。2=°2,那么這個三角形是直角三角形.

要點詮釋：

(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

(2)勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形。是通過計算來判定一個三角形是否為直

角三角形.

二、如何判定一個三角形是否是直角三角形

(1)首先確定最大邊(如c).

(2)驗證C?與/是否具有相等關系.若=片+加，則4ABC是NC=90°的

直角三角形；若62#/+/,則△ABC不是直角三角形.

要點詮釋：

當CT+b2<C2時，此三角形為鈍角三角形；當a2+b2>時，此三角形為銳角三角形,

其中c為三

角形的最大邊.

三、勾股數

滿足不定方程必+/=z2的三個正整數，稱為勾股數(又稱為高數或畢達哥拉斯數)，

顯然，以X、y、Z為三邊長的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果(a、b、c)是勾股數，當/為正整數時，以〃、初、4為三角形的三邊長，此三角

形必為直角三角形.

要點詮釋：

(1)n2-l,2n,n2+l是自然數)是直角三角形的三條邊長；

(2)2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l(〃是自然數)是直角三角形的三條邊長；

(3)m2-n2,+r^,2mn〃是自然數)是直角三角形的三條邊長；

【考點剖析】

題型一、勾股定理的逆定理

例1、判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形.

(1)a=7,b=24,c=25；

4,3

(2)a=—,b=1,c=一；

34

(3)a=m2—n2,b=nr+rr,c=2mn(m>n>0)；

【答案與解析】

解：(1)???a2+b2=72+242=625,c2=252=625,

cr+b2=c2.

由線段a,b,c組成的三角形是直角三角形.

,,22,2/3丫I9252(4?16

(2)"/a>b>c,b~+c"=Y+\—=1H----=—,a'=—=一

1616U)9

b1+C1a1.

由線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形.

(3)m>n>Q,

m+n>2mH,m+n>m-n.

4224224224

*.*Q2+(72=(加2―〃2)2+&加〃了—m-2mn+n+4mn=m+2mn+n,

b1=(m2+幾2丫二*+2m2n2+n4,

.?.a2+c2=b2.

???由線段ab,。組成的三角形是直角三角形.

【總結升華】解此類題的關鍵是準確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進

行判斷，即首先確定最大邊，然后驗證與/+/是否具有相等關系，再根據結果判斷是

否為直角三角形.

【變式】發現下列幾組數據能作為三角形的邊：(1)8,15,17；(2)5,12,13；(3)12,

15,20；(4)7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】C.

解：①：82+152=172,.?.能組成直角三角形；

②?.?52+122=13。.?.能組成直角三角形；

③122+152/2(A...不能組成直角三角形；

④72+24J25*.?.能組成直角三角形.

故選C.

題型二.勾股數

例2.(2022春?銅梁區校級期中)下列四組數中，是勾股數的是()

A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5

C.—,—,—D.32,42,52

345

【分析】根據勾股數的定義：滿足。2+匕2=?2的三個正整數，稱為勾股數解答即可.

【解答】解：462+82=102能構成勾股數，故符合題意；

B.0.3,0.4,0.5不是整數，不能構成勾股數，故不符合題意；

C.1,工，工不是整數，不能構成勾股數，故不符合題意；

345

D.(32)2+(42)2#(52)2,不能構成勾股數，故不符合題意.

故選：A.

【點評】此題考查了勾股數，解答此題要深刻理解勾股數的定義，并能夠熟練運用.

例3.古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數，a=2m,-1,c=

m2+l,那么a,b,c為勾股數，你認為正確嗎？如果正確，請說明理由，并利用這個結

論得出一組勾股數.

【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方

和是否等于最長邊的平方.

【解答】解：正確.理由：

表示大于1的整數，

/.a,b,c都是正整數，且c是最大邊，

(2m)2+(m2-1)2=(m2+l)2,

a2+fe2=c2,

即。、b、c為勾股數.

當m=2時，可得一組勾股數3,4,5.

【點評】本題考查了勾股數.解答此題要用到勾股數的定義，及勾股定理的逆定理：已知

222

AABC的三邊滿足a+b=cf則△ABC是直角三角形.

【變式1】觀察下列勾股數3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；。、b、c.根

據你發現的規律，回答下列問題：

(1)0=17時，求b、c的值；

(2)a=2r)+l時，求b、c的值.

【分析】(1)仔細觀察可發現給出的勾股數中，斜邊與較大的直角邊的差是L根據此規

律及勾股定理公式不難求得b,c的值.

(2)根據第一問發現的規律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值.

【解答】解：(1)觀察得給出的勾股數中，斜邊與較大直角邊的差是1,即c-b=l

".'a=17,a2+b2=c2,

：.172+b2=(b+1)2,

Ab=144,

Ac=145；

(2)通過觀察知c-b=l,

(2n+l)2+b2=c2,

c2-b2=(2n+l)2,

(b+c)(c-b)=(2n+l)2,

b+c—(2n+l)2,

".<c=￡>+l,

.\2fa+l=(2n+l)2,

,'.b—2n2+2n,c—2n2+2n+l.

【點評】此題主要考查學生對勾股數及規律題的綜合運用能力，解題的關鍵是：通過觀

察知c-b=l.

【變式2］已知m>0,若3m+2,4m+8,5m+8是一組勾股數，求m的值.

【分析】根據勾股數定義：滿足。2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數可得：(3m+2)2+

(4m+8)2=(5m+8)2,再解方程即可.

【解答】解：由題意得：(3m+2)2+(4m+8)2=(5m+8)2,

解得：m—1.

【點評】此題主要考查了勾股數，關鍵是掌握勾股數定義.

題型三、勾股定理逆定理的應用

例4.(2022春?漢陰縣月考)如圖，在四邊形ABC。中，AB=1,BC=2,CD=2,AO=3,

【分析】在△ABC中，根據勾股定理求出AC?的值，再在△ACD中根據勾股定理的逆定

理，判斷出

【解答】證明：在△ABC中AB_LBC,根據勾股定理：AC2=AB2+BC2=l2+22^5,

:在△AC。中，AC2+C￡>2=5+4=9,/4D2=9,

:.AC2+CD2=AD2,

根據勾股定理的逆定理，△ACO為直角三角形，

：.AC±CD.

【點評】本題考查勾股定理與其逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三

角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

例5.古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖他們用13個等距的結把一根繩子分成等長

的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和

第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結處.

圖1圖2

（1）你能說說其中的道理嗎？

（2）仿照上面的方法，你能否只用繩子，設計一種不同于（1）的直角三角形（在圖2

中，只需畫出示意圖.）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】解：（1）設相鄰兩個結點的距離為x,則此圖1中ABC的三邊長分別為3x、

4x、5x,

：（3x）2+（4x）2=（5x）2,

???以3無、4x、5x為邊長的三角形是直角三角形，即ABC是直角三角形，其中

ZC=90°：

（2）V62+82=1021

???如圖所示，。防即為所求（答案不唯一，正確即可得分）.

【答案】36.

【詳解】

解：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12,AB=13,

：.BC2=AB2-AC2=132-122=25,

BC=5,

VCD=4,BD=3,

.\CD2+BD2=42+32=25,

：.CD2+BD2=BC2,

.?.△DBC是直角三角形，且ND=90°,

11

??S^DBC=—BDxDC二—x3x4=6；

22

由(1)知在RtMBC中，ZBCA=90°,AC=12,BC=5,

11

??S^ABC=—BCxAC=—x5xl2=30.

22

?*?5四邊形48co=Szk68c+S4o8C=30+6=36.

例6.如圖所示，在AABC中，已知NACB=90°,AC=BC,P是AABC內一點，且PA=3,PB

1,PC=CD=2,CD±CP,求NBPC的度數.

【答案】

ZXCPD為等腰直角三角形，即NCPD=45°.

ZACP+ZBCP=ZBCP+ZBCD=90°,

：.ZACP=ZBCD.

CA=CB,

ACAP^ACBD(SAS),

DB=PA=3.

在RtZXCPD中，DP2=CP~+CD2=22+22=8.

又：PB=1,則PB2=1.

DB2=9,

：.DB2=DP2+PB=8+1=9,

：.4DPB為直角三角形，且NDPB=90°,

ZCPB=ZCPD+ZDPB=45°+90°=135°.

【變式1】如果AABC的三邊長a、b、c滿足關系式

(?+2Z;-60)2+|Z?-18|+|C-30|=0,則AABC的形狀是

【答案】直角三角形.

解：?.?(a+23-60)2+忸-18|+匕-30|=0,

a+2b-60-0

?，?<Z?—18=0,

c—30=0

a=24

解得1/,=18,

c=30

V242+182=302,

/.△ABC是直角三角形.

故答案為直角三角形.

【變式2】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA,PB,PC,以BP為邊作

ZPBQ=60°,且BQ=BP,連接CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；

(2)若PA：PB：PC=3：4：5,連接PQ,試判斷△PQC的形狀，并說明理由.

【答案與解析】

解:(1)猜想：AP=CQ,

證明：VZABP+ZPBC=60°,ZQBC+ZPBC=60°,

：.ZABP=ZQBC.

又AB=BC,BQ=BP,

AABP^ACBQ,

/.AP=CQ；

(2)由PA：PB：PC=3：4：5,

可設PA=3a,PB=4a,PC=5a,

連接PQ,在APBQ中

由于PB=BQ=4a,且NPBQ=60

...△PBQ為正三角形.

PQ=4a.

于是在APQC中

*/PQ2+QC2=16。2+9a2=25a2=PC2

APQC是直角三角形.

【總結升華】根據等邊三角形的性質利用SAS判定△ABPZaCBQ,從而得到AP=CQ；設

PA=3a,PB=4a,PC=5a,由已知可判定4PBQ為正三角形從而可得到PQ=4a,再根據勾

股定理判定△PQC是直角三角形.

題型四、勾股定理逆定理的實際應用

例7.（2022春?蚌山區校級期中）龍梅和玉榮是草原上的好朋友，可是有一次經過一場爭吵

之后，兩人不歡而散，龍梅的速度是工米/秒，4分鐘后她停了下來，覺得有點后悔了，

2

玉榮走的方向好像是和龍梅成直角，她的速度是2米/秒，如果她和龍梅同時停下來，而

3

這時候她倆正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她們現在想講和，那么

原來的速度相向而行，多長時間后能相遇？

【分析】先根據題意計算出兩人走的路程，利用勾股定理的逆定理即可判斷；根據路程

和小速度和=相遇的時間，列式計算即可求解.

【解答】解：龍梅走的路程：-1x4X60=120（米），

2

玉榮走的路程：2X4X60=160（米），

3

V1202+1602=2002,

.?.她們走的方向成直角，

以原來的速度相向而行相遇的時間：200+（工+2）=2004-1=1202.=1712（秒）；

23677

答：她們走的方向成直角，如果她們想講和，按原來的速度相向而行，1713秒后能相遇.

7

【點評】考查了路程中的相遇問題，勾股定理的逆定理的運用.勾股定理的逆定理：如果

三角形的三邊長。，b,C滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

例8、“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行“遠航”號每小時

航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如

果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

【答案與解析】

解：根據題意可畫出上圖，

PQ=16X1.5=24,PR=12X1.5=18,QR=30,

在△PQR中，

PQ-+PR2=242+18?=576+324=900,

：.PQ2+PN=QR2.

^PQ!^是直角三角形且NRPQ=90°.

又：“遠航”號沿東北方向航行，可知/QPN=45°,

NRPN=45°.

由此可知“海天”號沿西北方向航行.也可沿東南方向航行.

【總結升華】根據勾股定理的逆定理，可判斷一個角是不是90°,這里需注意與東北方向

成90°角的有兩個方向，即西北方向或東南方向.

例9.如圖所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm，點P從點A開始

沿邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移

動，如果同時出發，問過3秒時，ABPQ的面積為多少？

【思路點撥】本題先設適當的參數求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為

直角三角形.再求出3秒后的BP,BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解.

【答案與解析】

解：設AB為3xcm,BC為4xcm,AC為5xcm,

?周長為36cm,

AB+BC+AC=36cm,

.*.3x+4x+5x=36,

得x=3,

/.AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

VAB2+BC2=AC2,

.'.△ABC是直角三角形，

過3秒時，BP=9-3x1=6(cm),BQ=2x3=6(cm),

.,.SAPBQ=」BP?BQ」X(9-3)x6=18(cm2).

22

故過3秒時，ABPQ的面積為18cm2.

【總結升華】本題是道綜合性較強的題，需要學生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公

式結合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關鍵.隱含了整體

的數學思想和正確運算的能力.

—【過關檢測】

選擇題

1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()

A.三內角之比為3：4：5

B.三邊長的平方之比為1：2：3

C.三邊長之比為7：24：25

D.三內角之比為1：2：3

【分析】根據勾股定理逆定理和三角形內角和為180°進行判斷能否構成直角三角形即可.

【解答】解：4、3+4W5,不能構成直角三角形，故此選項合題意；

B、1+2=3,能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

c、72+242=252,能構成直角三角形，故此選項不合題意；

D、1+2=3,能構成直角三角形，故此選項不合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法.在應用勾股定理的

逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與

最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷.

2,下列條件中，能判斷,是直角三角形的有()

①ZA+N5=NC；②ZA—N5=NC；③ZA:ZB:NC=2:5:3；

@ZA=2ZB=3ZC；⑤ZA=LNB=1NC；⑥AB:AC:3C=3:4:5.

23

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】A

【詳解】解：①ZA+ZB=NC,

ZA+ZB+ZC=2ZC=180°，

.-.ZC=90°,即AABC為直角三角形；

②ZA—NB=NC,

.-.ZA=ZJB+ZC,

：.ZA+ZB+ZC=2ZA=180°,

AZA=90°,即AABC為直角三角形；

③ZA:ZB:NC=2:5:3,

ZB=180°x—--=90°,即AABC為直角三角形;

2+5+3

@ZA=2ZB=3ZC,

???可以假設NA=6k,NB=3k,NC=2k,

：.6k+3k+2k=180°,

1080L

N八二>90°,即△ABC是鈍角三角形;

11)

⑤ZA」ZB=』NC,

23

設NA=x,ZB=2x,ZC=3x,則x+2x+3x=180°,

解得x=30。，故NC=3x=90。，即AABC是直角三角形；

⑥AB:AC:5c=3:4:5,

設4B=3x,AC=4x,BC=5x,貝I](3x)2+(4x)2=(5x)2,即△ABC是直角三角形,

故選：A.

3.如圖，根據下列條件，不能判斷△AB。是直角三角形的是()

A.ZD=20°,ZB=70°B,AB=5,AD=12,BD^13

C.AC=BC=DCD./B=3/D,/BAD=8/D

【答案】D

【詳解】解：A、/。=20°,/B=70°,

貝1|284。=180。-20。-70。=90。，則AAB。是直角三角形；

B、AB=5,AD=12,BD=13,滿足AB?+AD2=，

則AAB。是直角三角形；

C、AC=BC=CD,則ZD=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAB+ZCAD^—(ZB+ZCAB+ZD+ZCAD)=90。，貝必48。是直角三角形；

2

D、Zfi=3ZD,ZBAD=8ZD,

貝lj3ZD+8ZD+ZD=180",

解得：ZD=15°,貝|/&4。=8/。=120。，則AABD不是直角三角形；

故選D.

填空題

4.己知三角形三邊長分別是6,8,10,則此三角形的面積為.

【分析】根據三角形三邊長，利用勾股定理逆定理求證此三角形是直角三角形，然后即可求

得面積.

【解答】解：：62+82=102,

.??此三角形為直角三角形，

此三角形的面積為：2x6X8=24.

2

故答案為：24.

【點評】此題主要考查學生對勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用勾股定

理逆定理求證此三角形是直角三角形.

5.勾股數為一組連續自然數的是.

【分析】根據連續自然數的特點，如果設中間的數是x,那么前面的一個就x-L后面的一

個就是x+l,根據題意列出方程解答即可.

【解答】解：設中間的數是x,那么前面的一個就x-1,后面的一個就是x+1,根據題意

(x-1)2+x2=(x+1)2,

解得：x=0(舍去)或x=4；

4-1=3,4+1=5；

故答案為：3、4、5.

【點評】本題主要是考查奇數、偶數的意義及特點，根據連續兩個奇數或偶數都相差2進而

得出是解題關鍵.

6.若一個三角形的三邊之比為5：12：13,且周長為60cm,則它的面積為cm2.

【分析】根據已知可求得三邊的長，再根據三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：設三邊分別為5x,12x,13x,

貝U5x+12x+13x=60,

.\x=2,

二?三邊分別為10cn?,24cm,26cm,

V102+242=262,

，三角形為直角三角形，

.,.5=10X244-2=120cm2.

故答案為：120.

【點評】此題主要考查學生對直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及運用.

7.(2022春?泗水縣期中)觀察下列幾組勾股數，并填空：①6,8,10,②8,15,17,③

10,24,26,@12,35,37,則第⑥組勾股數為.

【分析】據前面的幾組數可以得到每組勾股數與各組的序號之間的關系，如果是第n組數,

則這組數中的第一個數是2(n+1),第二個是：n(n+2),第三個數是：(n+1)2+1.根據這

個規律即可解答.

【解答】解：根據題目給出的前幾組數的規律可得：這組數中的第一個數是2(n+l),第二

個是：n(n+2),第三個數是：(n+1)2+1,

故可得第⑦組勾股數是16,63,65.

故答案為選：16,63,65.

【點評】本題考查了勾股數，此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是根據所給的勾股數找出

規律，按照此規律即可解答.

8.己知△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC^lOcm,則△ABC的面積是cm2.

【分析】依據勾股定理的逆定理，即可得出AABC是直角三角形，且/8=90°,再根據三

角形面積計算公式，即可得到三角形的面積.

【解答】解：AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

：.AB2+CB2^100=AC2,

.,.△ABC是直角三角形，且NB=90°,

...△718<:的面積是/*杷><8，=/><6乂8=24(cm2),

故答案為：24.

【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

那么這個三角形就是直角三角形.

9.(2022春?孝南區月考)探索勾股數的規律：觀察下列各組數：(3,4,5),(5,12,13),

(7,24,25),(9,40,41)…，請寫出第6個數組：.

【分析】先找出每組勾股數與其組數的關系，找出規律，再根據此規律進行解答.

【解答】解：V?3=2X14-1,4=2X12+2X1,5=2X12+2X1+1；

@5=2X2+1,12=2X22+2X2,13=2X22+2X2+1；

③7=2X3+1,24=2X32+2X3,25=2X32+2X3+1；

④9=2X4+1,40=2X42+2X4,41=2X42+2X4+1；

⑤11=2X5+1,60=2X52+2X5,61=2X52+2X5+1,

貝！I⑥13=2X6+1,2X62+2X6=84,2X62+2X6+1=85,

故答案為：(13,84,85).

【點評】本題考查的是勾股數，根據所給的每組勾股數找出各數與組數的規律是解答此題的

關鍵.

10.已知△ABC中，AB=k,AC=k-1,BC=3,當k=時，ZC=90°.

【分析】根據勾股定理的逆定理得出當AC2+BC2=A82時，/C=90°,代入求出k即可.

【解答】解：：/C=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

"：AB=k,AC=k-1,BC=3,

(k-1)2+32=k2,

解得：k=5,

故答案為：5.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理和解一元一次方程，能熟記勾股定理的逆定理的內容

是解此題的關鍵.

三.解答題

11.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3,。是BC的中點，人。=2,求△A8C的面積.

【分析】延長AD至E,使ED=4D=2,貝UAE=4,由SAS證明△ABD四△ECD,得出8E=4C

=3,利用勾股定理逆定理證得△A8E是直角三角形，得出△A8C的面積=的面積，即

可得出結果.

【解答】解：延長AO至E,使ED=AD=2,連接8E,如圖所示：

貝I]AE=4,

?.,。是BC的中點,

：.BD=CD,

在△BED和△ACD中，

'BD=CD

<ZBDE=ZCDA，

ED=AD

:.^BED2/\ACD(SAS),

BE=AC=3,

：AE=4,AB=5,8E=3,

：.AE2+BE2=AB2,

.?.△ABE是直角三角形，