專題5-2二次函數(shù)與實(shí)際問題

（1個(gè)考點(diǎn)梳理+10種題型解讀+3種方法解讀）

考曼偉單

1.用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：

1）審：仔細(xì)審題，理清題意；

2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)

的未知數(shù)；

3）歹！J：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；

5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果

頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論.

2.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的常見類型

常見的問題：求最大（小）值（如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等）、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線

的模型問題等，對(duì)此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系是解決此類問題的關(guān)

鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)最值的方法：利潤(rùn)問題主要涉及兩個(gè)等量關(guān)系:利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單件商品

的利潤(rùn)x銷售量，在解答此類問題時(shí)，應(yīng)建立二次函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后列出相應(yīng)的函

數(shù)解析式，從而解決問題.

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，一般選擇拋物線形建筑

物的底（頂）部所在的水平線為X軸，對(duì)稱軸為y軸，或直接選取最高（低）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系來

解決問題，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖像信息解決實(shí)際問題.

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：求最大面積類問題可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行解答,也就是把

圖形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，依據(jù)圖形的面積公式列出函數(shù)解析式.

利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題的方法：首先要知曉動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合

直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條

件進(jìn)行計(jì)算.

利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)型幾何問題的方法：對(duì)于運(yùn)動(dòng)型幾何問題中的函數(shù)應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)深入理解運(yùn)

動(dòng)圖形所在的條件與環(huán)境，用運(yùn)動(dòng)的眼光去觀察和研究問題，挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)

過程中的不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，然后化“動(dòng)態(tài)”為“靜態(tài)”、化“變化”為“不變”，通過分析找

出題中各圖形的結(jié)合點(diǎn)，借助函數(shù)的性質(zhì)予以解決.當(dāng)圖形（或某一事物）在運(yùn)動(dòng)的過程中某一量取到最大值

或最小值時(shí)，其位置必定在一個(gè)特殊的位置,這是普遍規(guī)律.

題型循單

【考點(diǎn)題型一】銷售問題

解題思路：利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問題，要認(rèn)清變量所表示的實(shí)際意義，注意隱含條件的使

用，同時(shí)考慮問題要全面，此類問題一般是先運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=每件商品所獲利

潤(rùn)*銷售數(shù)量”，建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出這個(gè)函數(shù)的最大值即求得最大利潤(rùn).

解題步驟：1）設(shè)未知數(shù)X,y；

2）根據(jù)題目條件找到x、y的關(guān)系式；

3）利用配方法求二次函數(shù)的最值及取得最值的x的取值.

［例1］（23-24九年級(jí)上?江蘇淮安?期中）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某旅

游商店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件80元的價(jià)格出售，每日可售出200件.從7月

份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，日銷售量就會(huì)增加20

件.

（1）設(shè)降價(jià)尤元，日銷售量為y件.試用含x的式子表示y,y=；

（2）請(qǐng)你測(cè)算一下，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，可使日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【變式1-11（23-24九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了

合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每

降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本.

（1）求出每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)無(wú)（元）（50<%<100）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制

在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本=每件的成本x每天的銷售量）

【變式1-2］（23-24九年級(jí)上.江蘇徐州.期中）某商店經(jīng)銷一種手提包，已知這種手提包的成本價(jià)為50元/

個(gè).市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種手提包每天的銷售量y（單位：個(gè)）與銷售單價(jià)x（單位：元）有如下關(guān)系：y=-x+

80（50<x<80）.設(shè)這種手提包每天的銷售利潤(rùn)為w元.

（1）當(dāng)這種手提包銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商店每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（2）如果物價(jià)部門規(guī)定這種手提包的銷售單價(jià)不得高于68元，該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷

售利潤(rùn)，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

【變式1-3］（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期中）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為80元，

銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了迎接“雙十一”促銷活動(dòng)，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)

大銷售量，增加利潤(rùn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均可多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該童裝每天銷售獲利為1200元，每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）該童裝每天的銷售獲利能達(dá)到2000元嗎？如果能，請(qǐng)寫出降價(jià)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)題型二】行程問題

【例2】（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）物理實(shí)驗(yàn)課小明做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：

在一條筆直的滑道上有一個(gè)黑小球以一定的速度在A處開始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，測(cè)量黑球減速后的

滾動(dòng)速度％（單位：cm/s）隨滾動(dòng)時(shí)間/（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表.

運(yùn)動(dòng)時(shí)間ts0123

運(yùn)動(dòng)速度ucm/s109.598.5

黑球

Q________________________________

A

（1）小明探究發(fā)現(xiàn)，黑球的滾動(dòng)速度以與滾動(dòng)時(shí)間r之間成一次函數(shù)關(guān)系，直接寫出％關(guān)于t的函數(shù)解析式（不

要求寫出自變量的取值范圍）.

（2）求出滾動(dòng)的距離s關(guān)于滾動(dòng)的時(shí)間/的函數(shù)解析式，并求出黑球滾動(dòng)的最遠(yuǎn)距離.［提示：本題中，距離

S=v-t,v=|（v0+vt）,其中為是開始時(shí)的速度，%是1秒時(shí)的速度］

【變式2-1］（23-24九年級(jí)上.山東濱州?期中）如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增

加1.5m/s.

（1）寫出滾動(dòng)的距離S（單位：m）關(guān)于滾動(dòng)的時(shí)間單位：s）的函數(shù)解析式.（提示：本題中，距離=平均

速度5X時(shí)間3方=等，其中，為是開始時(shí)的速度，%是1秒時(shí)的速度.）

（2）如果斜面的長(zhǎng)是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長(zhǎng)時(shí)間？

【變式2-2］（2023?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）有兩條相鄰的平行滑道（不光滑）.甲木塊在一條滑道內(nèi)自動(dòng)滑行,

直到停止.甲木塊與起點(diǎn)線機(jī)的距離S甲（厘米）與滑行時(shí)間秒）之間滿足5甲=-嚴(yán)+12±+25.甲木

塊滑行2秒后，乙木塊在另一滑道從起點(diǎn)線m以某一初速，持續(xù)受力運(yùn)動(dòng)，乙木塊與起點(diǎn)線m的距離S乙（厘

米）與受力時(shí)間r（秒）是二次函數(shù)關(guān)系，變化規(guī)律如下表：

t（秒）012

S乙（厘米）01636

m一

乙

（1）求S乙與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求乙木塊追上甲木塊用時(shí)多長(zhǎng)；

（3）求甲木塊停止時(shí)，乙木塊與甲木塊的水平距離.

【變式2-3］（23-24九年級(jí)上?湖北武漢.階段練習(xí)）如圖是城市平直道路，道路限速60km/h,A路口停車

線人和8路口停車線"之間相距S=400m,A、8兩路口各有一個(gè)紅綠燈.在停車線人后面停著一輛汽車，

該汽車的車頭恰好與停車線4平齊，已知汽車啟動(dòng)后開始加速，速度每秒增加2m/s.某時(shí)刻A路口綠燈亮

起，該汽車立即啟動(dòng).（車身長(zhǎng)忽略不計(jì)）

（1）求該汽車從停車線。出發(fā)加速到限速所需的時(shí)間.

（2）寫出汽車加速后行駛的路程S（單位："Z）關(guān)于時(shí)間單位：S）的函數(shù)解析式.（提示：本題中，路程=平

均速度方x時(shí)間f,方=空其中又是開始時(shí)的速度，%是/秒時(shí)的速度），并求該汽車最快需要多少時(shí)間可

以通過停車線G

（3）在（2）條件下，若A路口綠燈亮起29s后B路口綠燈亮起，且B路口綠燈的持續(xù)時(shí)間為23s.該汽車先加

速行駛，然后一直勻速行駛.若該汽車在B路口綠燈期間能順利通過停車線4，請(qǐng)直接寫出該汽車勻速行駛

過程中速度的取值范圍.

【考點(diǎn)題型三】拱橋問題

解題步驟：

1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將拋物線形狀的圖形放到坐標(biāo)系中；

2）從已知和圖像中獲得求二次函數(shù)圖像所需條件；

3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

4）運(yùn)用已求二次函數(shù)的解析式解決問題.

【例3】（2023?河南平頂山?二模）隋朝李春設(shè)計(jì)建造的趙州石拱橋，距今已有1400多年的歷史，其石拱的

橫截面形狀近似拋物線，測(cè)得它的跨度2B為37.4m,拱高（拋物線的最高點(diǎn)C至！J4B中點(diǎn)。的距離），CO為

7.2m,以4B所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)二次函數(shù)的解析式為丫=

a（x—h）2+k.

（1）結(jié)合計(jì)算器提供的信息，求拋物線的解析式.（a值精確到0.01）

（2）當(dāng)雨季來臨時(shí)，水位上漲，若水面寬度EF不大于21m時(shí)，要采取緊急措施保護(hù)橋梁的安全，當(dāng)測(cè)量員測(cè)

得點(diǎn)C到水面EF的距離CD只有2m時(shí)，是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由.

【變式3-1］（21-22九年級(jí)上?江蘇連云港?期末）如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底

部寬度為12米，現(xiàn)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若要搭建一個(gè)由AD-DC-組成的矩形“支撐架”，已知支架的高度為4米，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)是多

少米？

【變式3-2］（2023?陜西?中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門，并要求所設(shè)計(jì)的

拱門的跨度與拱高之積為48m3,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門按要求價(jià)出了兩個(gè)設(shè)

計(jì)方案，現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點(diǎn)N在%軸上，PE1ON,0E=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度。M=8m,拱高P9=6m其中，點(diǎn)N，在x軸上，P'E'1O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)），方案一中，矩形框架4BCD

的面積記為S］,點(diǎn)4。在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架ABO的面積記為52,點(diǎn)4,?在

2

拋物線上，邊B'C'在ON'上,現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)AB，=3m時(shí)，S2-12>/2m,請(qǐng)你根據(jù)

以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題:

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）在方案一中，當(dāng)月B=3m時(shí)，求矩形框架ZBCD的面積Si并比較Si，S2的大小.

【變式3-3］（23-24九年級(jí)上?浙江溫州.階段練習(xí)）露營(yíng)已成為一種休閑時(shí)尚活動(dòng)，各式帳篷成為戶外活動(dòng)

的必要裝備.其中拋物線型帳篷（圖1）支架簡(jiǎn)單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用.

圖1圖2圖3

【建立模型】如圖2,4款帳篷搭建時(shí)張開的寬度AB=3m,頂部高度九=1.8m.請(qǐng)?jiān)趫D2中建立合適的平

面直角坐標(biāo)系，并求帳篷支架對(duì)應(yīng)的拋物線函數(shù)關(guān)系式.

【運(yùn)用模型】每款帳篷張開時(shí)的寬度和頂部高度會(huì)影響容納的椅子數(shù)量，圖3為一張椅子擺入4款帳篷后的

簡(jiǎn)易視圖，椅子高度EC=1m,寬度CD=0.6m,若在帳篷內(nèi)沿AB方向擺放一排此款椅子，求最多可擺放

的椅子數(shù)量.

【分析計(jì)算】現(xiàn)要設(shè)計(jì)一款拋物線型帳篷，要求頂部高度為2.5米，且一排能容納5張高寬分別為1m和0.6m

的椅子.設(shè)其拋物線型支架的形狀值為a（a<。），請(qǐng)寫出a的最小值.

【考點(diǎn)題型四】噴水問題

【例4】（23-24九年級(jí)上.江蘇淮安.期末）如圖1為噴灌系統(tǒng)，工作時(shí)，其側(cè)面示意圖如圖2所示.升降桿

OL垂直于地面，噴射的水柱呈拋物線，噴頭”能在升降桿上調(diào)整高度，將噴頭調(diào)整至離地面2米高時(shí)，噴

射的水柱距升降桿1米處達(dá)到最高，高度為2.25米.將噴頭再調(diào)高4米，噴射水柱的形狀保持不變，此時(shí)

噴射的水柱落地點(diǎn)與。的距離為多少米.

米

Si圖2

【變式4-1］（23-24九年級(jí)上.吉林?期中）圓形噴水池中心。處有一雕塑04從4點(diǎn)向四周噴水，噴出的水

柱為拋物線，且形狀相同.如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)4在y軸上，x軸

上的點(diǎn)C、。為水柱的落水點(diǎn).已知雕塑。力高斗米，與。4水平距離5米處為水柱最高點(diǎn)，落水點(diǎn)C、。之間的

距離為22米，求噴出水柱的最大高度是多少米？

【變式4-2］（23-24九年級(jí)上?河北石家莊?期中）如圖，在斜坡底部點(diǎn)O處安裝一個(gè)自動(dòng)噴水裝置，噴水頭

（視為點(diǎn)A）的高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動(dòng)噴水裝置噴射出的水流可以近似地看

成拋物線.當(dāng)噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時(shí)，達(dá)到最大高度5米.以點(diǎn)。為原點(diǎn)，自動(dòng)噴

水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物線的解析式；

（2）斜坡上距離。水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹垂直水平地面，且M點(diǎn)到水平地

面的距離為2米，

①通過計(jì)算說明：水流能不能剛好噴射到小樹的頂部；

②綠化工人向左水平移動(dòng)噴水裝置后，水流恰好噴射到小樹頂端的點(diǎn)N,直接寫出自動(dòng)噴水裝置向左水平平

移（即拋物線向左）了多少米？

【變式4-3］（23-24九年級(jí)上?北京東城?期中）如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口”離地豎直高度

為九=1.4米.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的

部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=0.9米，下邊緣拋物線

是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)4離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口().4米，

灌溉車到綠化帶的距離。。為d米.

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；

(2)求下邊緣拋物線與方軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)若d=3.2米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個(gè)綠化帶.

【考點(diǎn)題型五】增長(zhǎng)率問題

【例5】(23-24九年級(jí)上.河南周口.階段練習(xí))共享單車為市民的出行帶來了方便，某單車公司第一個(gè)月投

放1000輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車數(shù)量比第一個(gè)月多440輛，設(shè)該公司第二、三個(gè)月投放單車數(shù)量的

月平均增長(zhǎng)率為x,則x的值為()

A.1.2B.12%C.20%D.-22%

【變式5-1](23-24九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí))某種藥品售價(jià)為每盒300元，經(jīng)過醫(yī)保局連續(xù)兩次“靈

魂砍價(jià)”，藥品企業(yè)同意降價(jià)若干進(jìn)入國(guó)家醫(yī)保用藥目錄.如果每次降價(jià)的百分率都是x,則兩次降價(jià)后的

價(jià)格y(元)與每次降價(jià)的百分率尤之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=300(1-x)B.y=300(1-x)2C.y=300(1+x)D.y=

300(1+x)2

【變式5-2](23-24九年級(jí)上.全國(guó).單元測(cè)試)某廠加工一種產(chǎn)品，現(xiàn)在的年產(chǎn)量是40萬(wàn)件，計(jì)劃今后兩年

增加產(chǎn)量.如果每年的增長(zhǎng)率都為萬(wàn),那么兩年后這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量y(萬(wàn)件)與比之間的函數(shù)表達(dá)式為—

(要求化成一般式).

【變式5-3](23-24九年級(jí)上?河北廊坊?階段練習(xí))某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增

長(zhǎng)率為x,預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率為2x,設(shè)今年的總產(chǎn)值為y萬(wàn)元.

(1)求y與x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)尤=20%時(shí)，求今年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？

【考點(diǎn)題型六】投球問題

【例6】（23-24九年級(jí)上.江蘇鹽城?期中）擲實(shí)心球是南寧市中考體育考試的項(xiàng)目.如圖是一名女生擲實(shí)心

球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度ym與水平距離比m之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處

高度為|m,當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)，此時(shí)距離地面3m.

圖1

（1）求y關(guān)于久的函數(shù)表達(dá)式；

（2）南寧市體育中考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生）如下表所示:

成績(jī)（分）12345678910

距離（米）4.705.105.505.906.306.707.107.507.908.30

該女生在此項(xiàng)考試中獲得多少分，請(qǐng)說明理由.

【變式6-1］（2024?河南信陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門

的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m.已知球門高。8為2.4m,

現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）.

（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少

米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)。正上方2.25m處？

【變式6-2］（23-24九年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）2023年第十九屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，這是我國(guó)第三次

舉辦亞運(yùn)會(huì)，在中國(guó)隊(duì)對(duì)陣韓國(guó)隊(duì)的男籃四分之一決賽中，中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)出色，贏得了比賽.如圖，一名中

國(guó)運(yùn)動(dòng)員在距離籃球框中心A點(diǎn)4m（水平距離）遠(yuǎn)處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃框，已知籃球運(yùn)行的路線

為拋物線，當(dāng)籃球運(yùn)行水平距離為2.5m時(shí)，籃球達(dá)到最大高度2點(diǎn)處，且最大高度為3.5m,以地面水平線

為x軸，過最高點(diǎn)B垂直地面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如果籃框中心4距離地面3.05m.

(1)求該籃球的運(yùn)行路線(拋物線)的表達(dá)式；

(2)求出籃球在該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度.

【變式6-3](2023?江蘇鹽城?一模)比薩斜塔是意大利的一座著名斜塔，據(jù)說物理學(xué)家伽利略曾在塔頂上

做過著名的自由落體試驗(yàn)：在地球上同一地點(diǎn)，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時(shí)下落，如果除地球引力外

不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時(shí)間相同.

已知：某建筑。4的高度為44.1m,將一個(gè)小鐵球P(看成一個(gè)點(diǎn))從A處向右水平拋出，在水平方向小鐵

球移動(dòng)的距離d(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式是：d=7t,在豎直方向物體的下落距離h(m)與下落

時(shí)間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式為％=4.9戶.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸，。4所在直線為y軸，取1m

為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，已知小鐵球運(yùn)動(dòng)形成的軌跡為拋物線.

圖1圖2

(1)求小鐵球從拋出到落地所需的時(shí)間；

(2)當(dāng)t=1時(shí)，求小鐵球尸此時(shí)的坐標(biāo)；

(3)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.

【考點(diǎn)題型七】隧道問題

【例7】(23-24九年級(jí)上.安徽滁州?階段練習(xí))如圖1,某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2,橫截

面的上邊緣是一段拋物線，以拋物線的對(duì)稱軸作為y軸，以水平地面作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.已知該

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,6),拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)4和點(diǎn)8,拋物線的表達(dá)式為y=-；/+c.(長(zhǎng)

6

度單位：m)

⑴求4B的長(zhǎng)；

(2)若每個(gè)隧道都是雙向車道，中間是實(shí)線(車輛不能壓實(shí)線，實(shí)線的寬度忽略不計(jì))，現(xiàn)有一輛高4m,寬3m

的貨車次通過此隧道，請(qǐng)你判斷該貨車能否通過該隧道，并說明理由.

【變式7-1](21-22九年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí))如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形A8CD構(gòu)成，

矩形的長(zhǎng)為8〃z,寬AB為2加，以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系(如圖1),y軸是拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為6〃八

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車，高44小寬24",它能通過該隧道嗎？

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向道(如圖2),為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有04〃的隔離帶，則該輛貨運(yùn)卡車還

能通過隧道嗎？

【變式7-2](23-24九年級(jí)上.貴州安順?期末)按要求解答

(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長(zhǎng)2000米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比

原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長(zhǎng)？

(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線.已知兩個(gè)車道寬度。C=。。=4米，

人行道地基AC,BD寬均為2米，拱高。M=10.8米.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.①求此拋物線的函數(shù)表

達(dá)式(函數(shù)表達(dá)式用一般式表示)

②已知人行道臺(tái)階CE,DF高均為0.3米，按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬

度設(shè)計(jì)是否達(dá)標(biāo)？請(qǐng)說明理由.（參考值：V35?5.92）.

【變式7-3］（22-23九年級(jí)下?河南駐馬店?階段練習(xí)）如圖1所示是某即將通行的雙向隧道的橫斷面.經(jīng)測(cè)

量，兩側(cè)墻力B和CD與路面4C垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬4C=8米.工程人員在路面4C上取點(diǎn)E,測(cè)量點(diǎn)E到墻面力B

的距離4E,點(diǎn)E到隧道頂面的距離EF.設(shè)4E=x米，EF=y米.通過取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y

的幾組值，如表：

（1）若以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4C所在直線為x軸，2B所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出隧道頂部所在

拋物線的解析式；

（2）如圖2所示，一輛輕卡要在隧道內(nèi)靠右模擬試行，依據(jù)圖紙要求汽車距離右側(cè)墻的距離不小于0.8米且到

隧道頂面的距離不小于0.33米.按照這個(gè)要求，隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為多少米？

【考點(diǎn)題型八】圖形問題

解題思路：求幾何圖形的最大面積，應(yīng)在分析圖形的基上，引入自變量，用含自變量的代數(shù)式分別表示出

與所求幾何圖形相關(guān)的量，再根據(jù)圖形的特征列出其面積的計(jì)算公式，并且用函數(shù)表示這個(gè)面積，最后根

據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出最值及取得最值時(shí)相應(yīng)的自變量的值.

一般方法解題步驟：1）設(shè)未知數(shù)（一般面積為S,邊長(zhǎng)為x,題目已設(shè)出未知數(shù)則省掉）；

2）根據(jù)題目條件列出面積S和邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系式；

3）利用配方法求二次函數(shù)的最值.

【注意】在求解幾何圖形的最大面積時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，一定要注意題目中隱含的每一個(gè)幾何量

的取值范圍,一般有以下幾種情況：邊長(zhǎng),周長(zhǎng),面積大于0,三角形中任意兩邊之和大于第三邊.

【例8】（23-24九年級(jí)上?寧夏石嘴山?期中）如圖，某養(yǎng)羊戶想用29米長(zhǎng)的圍欄設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的養(yǎng)羊圈,

其中羊圈一邊靠墻MN,另外三邊用圍欄圍住，在BC邊開個(gè)門（寬度為1米），的長(zhǎng)度為15m.

(1)為了讓圍成的羊圈(矩形4BCD)面積達(dá)到112m2,請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下羊圈的長(zhǎng)與寬分別是多少？

(2)請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下羊圈的長(zhǎng)與寬分別是多少時(shí)，羊圈的面積達(dá)到最大？最大面積是多少？

MN

D-

BC

【變式8-1](23-24九年級(jí)上.全國(guó)?單元測(cè)試)某小區(qū)業(yè)主委員會(huì)決定把一塊長(zhǎng)50m,寬30m的矩形空地建

成健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)方案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)(四塊綠化區(qū)為全等的矩形)，空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且

四周的4個(gè)出口寬度相同，其寬度不小于14m,且不大于26m,設(shè)每塊綠化區(qū)的較長(zhǎng)邊為xm,活動(dòng)區(qū)的面

積為yrM.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及無(wú)的取值范圍；

(2)求活動(dòng)區(qū)的面積y的最大值；

(3)預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)造價(jià)為50元/n?,綠化區(qū)造價(jià)為40元/n?,如果業(yè)主委員會(huì)計(jì)劃投資不超過72000元來建造,

則當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，共有幾種建造方案？

【變式8-2](23-24九年級(jí)上.廣西防城港?期中)綜合與實(shí)踐：

如圖，生活中的很多工藝品，可以看成是由一些簡(jiǎn)單的平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體.

【知識(shí)背景】把一個(gè)平面圖形繞著不同的軸旋轉(zhuǎn)，可以得到一個(gè)不同形狀的幾何體.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小

組把周長(zhǎng)為36cm的矩形力BCD繞它的一條邊4B旋轉(zhuǎn)可以形成一個(gè)圓柱體.

請(qǐng)完成下列方案設(shè)計(jì)中的任務(wù)

【方案設(shè)計(jì)】目標(biāo)：設(shè)計(jì)一個(gè)側(cè)面積最大的圓柱體.

任務(wù)一：把圓柱體的側(cè)面沿著其中一條母線EP剪開并展平，研究圓柱體側(cè)面展開圖的形狀及邊長(zhǎng).

(1)圓柱體的側(cè)面展開圖是一個(gè)什么平面圖形？的長(zhǎng)度與圓柱體的底面周長(zhǎng)有什么關(guān)系？

(2)如圖，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xcm,請(qǐng)用含有無(wú)的代數(shù)式分別表示AB、GJ、GH的長(zhǎng)度；

任務(wù)二：計(jì)算圓柱體側(cè)面積，設(shè)圓柱體的側(cè)面積為ycm2.

(3)在(2)的條件下，求y與尤的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量尤的取值范圍；

(4)在(3)的條件下，求當(dāng)x取何值時(shí)，圓柱體的側(cè)面積y最大？最大值是多少？

【變式8-3](23-24九年級(jí)上?浙江嘉興.期中)某校九年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)社團(tuán)課上進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究，某

小組研究如下：

【提出驅(qū)動(dòng)性問題】如何設(shè)計(jì)紙盒？

【設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)】選擇“素材1”“素材2”設(shè)計(jì)了“任務(wù)1”“任務(wù)2”的實(shí)踐活動(dòng).

請(qǐng)你嘗試幫助他們解決相關(guān)問題.

素材

利用一邊長(zhǎng)為40cm的正方形紙板可能設(shè)計(jì)成如圖所示的無(wú)蓋紙盒

1

素材如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，

2將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.一：「一N--------

【嘗試解決問題】

任務(wù)1.初步探究：折一個(gè)底面積為484cm2無(wú)蓋紙盒，求剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？

任務(wù)2.折成的無(wú)蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng);

如果沒有，說明理由.

【考點(diǎn)題型九】動(dòng)點(diǎn)問題

【例9】(2022?江蘇蘇州.二模)圖1,在RtAABC中，Z.B=90°,BC=4cm.點(diǎn)P以lcm/s的速度從點(diǎn)4出

發(fā)沿力B勻速運(yùn)動(dòng)到B；同時(shí)，點(diǎn)Q以u(píng)cm/s(v>1)的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC勻速運(yùn)動(dòng)到C.兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)

動(dòng)，到達(dá)各自終點(diǎn)后停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),AP8Q的面積為S(cm2).當(dāng)點(diǎn)Q在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)

圖象如圖2所示.

4S(cm2)

「；、

圖1圖2

(1)4B=.cm,v=.cm/s,補(bǔ)全函數(shù)圖象;

(2)求出當(dāng)時(shí)間t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，△PBQ的面積為S(cm2)的值不小于9；

4

(3)連接CP,4Q交于點(diǎn)D,求CP平分4Q時(shí)t的值.

【變式9-1](23-24九年級(jí)上?廣西南寧?期中)如圖，在AABC中，ZB=90°,AB=12cm,BC=24cm,

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿邊48向點(diǎn)3以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)2開始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移

動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為九

(1)則PA=_,PB=_,BQ=_；(用含t的式子表示)

(2)求出△BPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍；

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述ABPQ的面積S隨移動(dòng)時(shí)間f增大如何變化.

【變式9-2](23-24七年級(jí)上?遼寧葫蘆島?階段練習(xí))如圖，在長(zhǎng)方形4BCD中，AB=9cm,SC=6cm,動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線4-C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2cm

的速度在間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是久(秒)，AAPQ

的面積是S(cm2)(S>0).

(1)點(diǎn)Q共運(yùn)動(dòng)秒；

(2)當(dāng)點(diǎn)P沿折線4-B-C運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含x的代數(shù)式表示線段BP(8P>0)的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)0<久W9且x46時(shí)，用含x的代數(shù)式表示S；

⑷當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，直接寫出式的值.

【變式9-3](23-24九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末)如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a中0)與x軸的交點(diǎn)分別為

4(—3,0)和與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、8C,點(diǎn)M是線段。4上，不與點(diǎn)。、4重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作

DM1x軸，交拋物線于點(diǎn)。，交2C于點(diǎn)E,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，能否使線段。E=CE?若能，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使APHC是等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P