博弈論習題及解答※第一章緒論§1.21.什么是博弈論?博弈有哪些基本表示方法?各種表示法的基本要素是什么?（見教材）2.分別用規范式和擴展式表示下面的博弈。兩個相互競爭的企業考慮同時推出一種相似的產品。如果兩家企業都推出這種產品，那么他們每家將獲得利潤400萬元；如果只有一家企業推出新產品，那么它將獲得利潤700萬元,沒有推出新產品的企業虧損600萬元；如果兩家企業都不推出該產品，則每家企業獲得200萬元的利潤。3.什么是特征函數?（見教材）4.產生“囚犯困境”的原因是什么？你能否舉出現實經濟活動中囚徒困境的例子？原因：個體理性與集體理性的矛盾。例子：廠商之間的價格戰，廣告競爭等。※第二章完全信息的靜態博弈和納什均衡1.什么是納什均衡?（見教材）2.剔除以下規范式博弈中的嚴格劣策略，再求出純策略納什均衡。先剔除甲的嚴格劣策略3,再剔除乙的嚴格劣策略2,得如下矩陣博弈。然后用劃線法求出該矩陣博弈的純策略Nash均衡。3.求出下面博弈的納什均衡。由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡。由表達式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式組Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1將這些數據代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略Nash均衡((),())4.用圖解法求矩陣博弈的解。解：設局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:,其中F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)作出三條直線，如下圖，圖中粗的折線，就是F(x)的圖象由圖可知，納什均衡點與β1無關，所以原問題化為新的2*2矩陣博弈：由公式計算得：。所以該博弈的納什均衡點為（（2/3，1/3），（0，1/2，1/2）），博弈的值為1。5.用線性規劃法求矩陣博弈的解。將矩陣中的所有元素都加4,得將數據代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人1的混合策略,(0.45,0.24,0.31),將數據代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人2的混合策略,((0.31,0.24,0.45))6.某產品市場上有兩個廠商，各自都可以選擇高質量，還是低質量。相應的利潤由如下得益矩陣給出：(1)該博弈是否存在納什均衡？如果存在的話，哪些結果是納什均衡?由劃線法可知，該矩陣博弈有兩個純策略Nash均衡，即(低質量,高質量)，(高質量,低質量)。該矩陣博弈還有一個混合的納什均衡Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630，可得??因此該問題的混合納什均衡為。(2)如果各企業的經營者都是保守的，井都采用最大最小化策略，結果如何?(高質量,高質量),(低質量,低質量)。7.甲、乙兩人就如何分100元錢進行討價還價。假設確定了以下規則：雙方同時提出自己要求的數額s1和s2，0≤s1，s2≤100。如果s1+s2≤100，則兩人各自得到自己所提出的數額；如果s1+s2>100，雙方均獲得0元。試求出該博弈的納什均衡。該博弈的納什均衡為下圖的線段AB：即：s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。8.假設古諾寡頭壟斷模型中有n個企業，令qi表示企業i的產量，且Q=q1+…+qn表示市場總產量，p表示市場出清價格，并假設逆需求函數由p(Q)=a-Q給出（設Q<a。企業同時就產量進行決策。求出該博弈的納什均衡。當n趨于無窮大時，會發生什么情況？<bdsfid="162"p=""><a。企業同時就產量進行決策。求出該博弈的納什均衡。當n趨于無窮大時，會發生什么情況？<>解：廠商i的利潤為：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi令，則有：q=a-c-Q*??????????????（1）()組成該博弈的純策略納什均衡點。式（1）兩邊同時求和，可得：，于是，，此時p*=a-Q*=，當n趨于無群大時，有Q*=a-c,q=0，p*=c，說明此時各廠商的產品價格等于邊際成本，這時的市場已是完全競爭市場。9.對于下列的威懾進入博弈，首先計算壟斷情況下的產量與價格組合，再計算存在競爭的情況下兩企業的產量與價格組合，并對這兩種情況下的結果作比較分析。假定進入者相信壟斷在位者在隨后的階段將會維持它的產量水平。市場需求曲線由方程p=10-2Q給出，其中p是市場價格，Q是總的市場產量。假定在位者和進入者有相同的總成本函數TCi=+4qi，其中i=1,2分別表示在位者和進入者。解：設壟斷在位者的產量策略為q1，價格為p1；進入者的產量為q2，價格為p2。其利潤分別為：π1,π2。先討論壟斷在位者不威懾的情形。若進入者進入，各自利潤為求導得：解得均衡時q1=q2=1，則p=8，利潤為：π1=π2=。若進入者不進入，則q2=0。由得q1=，則相應地有p=7,π1=4。如果壟斷在位者進行威懾，由以上分析可知，如果兩者都生產，則最大產量為2。所以壟斷在位者采取威懾為永遠取產量為2，此時，若進入者進入，均衡分析如下：,,則有q2=，p=5,π1=,π2=0.若進入者選擇不進入：q2=0，p=6,π1=。由以上計算分析可以看出，壟斷在位者的威懾是可信的。壟斷在位者的產量為2，進入者進入后無利可圖，所以選擇不進入。市場價格為6。10.甲、乙兩企業分屬兩個國家，在開發某種新產品方面有如下收益矩陣表示的博弈關系。試求出該博弈的納什均衡。如果乙企業所在國政府想保護本國企業利益，可以采取什么措施？解：用劃線法找出問題的純策略納什均衡點。所以可知該問題有兩個純策略納什均衡點(開發,不開發)和(不開發,開發)。該博弈還有一個混合的納什均衡((),())。如果乙企業所在國政府對企業開發新產品補貼a個單位,則收益矩陣變為：,要使(不開發,開發)成為該博弈的唯一納什均衡點,只需a>10。此時乙企業的收益為100+a。11.假設有一博弈G=[N,S,P]，其中N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15],，。試求出最優反應函數，并求出均衡點。解：令,，得最優反應函數：由此進一步可求得，它們在題設要求的可行域內,所以均衡點為（330/23,80/23）。12.證明教材中定理2.4.6。證明:設矩陣博弈G1的納什均衡為(X*,Y*),其中X*=(x1,x2,…,xm),Y*=(y1,y2,…,yn),由納什均衡的定義,有,即。由于d是常數,因此有。顯然不等式是成立的,此即為。所以(X*,Y*)是矩陣博弈G2的納什均衡點,并且※第三章納什均衡的擴展與精煉1.什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海薩尼轉換中，自然對局中人類型的確定都是有限的嗎？舉例說明。(見教材)2.什么是重復博弈中的策略?什么是一個重復博弈中的子博弈?什么是一個子博弈完美納什均衡?(見教材)3.以下（虛線框中的）子博弈的劃分是否正確?答：兩個擴展式中的子博弈劃分均不正確，圖1中的劃分對同一信息集產生了分割，圖2中的子博弈不是開始于單節信息集的決策結點。4.在雙寡頭古諾模型中,設逆需求函數為p=a-Q,其中Q=q1+q2為市場總需求,但a有aH和aL兩種可能的情況,并且企業1知道a究竟是aH還是aL,而企業2只知道a=aH和a=aL的概率分別是θ和1-θ,該信息是雙方都知道的。雙方的總成本函數分別是cq1和cq2。如果兩企業同時選擇產量,雙方的策略空間是什么？試計算出貝葉斯納什均衡。假設企業2的產量為q2，企業1將選擇q1最大化利潤函數（這里a取aH或aL）由此得：企業2將選擇q2最大化它的期望利潤由此得：在均衡時，q1，q2應滿足由此得：企業1的策略為：企業2的策略為：因此博弈的貝葉斯納什均衡是：當a=aH時，企業1生產；當a=aL時，企業1生產，企業2生產。5.在下面的靜態貝葉斯博弈中,求出所有的純策略貝葉斯納什均衡。(1)自然決定收益情況是由博弈1給出，還是由博弈2給出，選擇每一博弈的概率相等；(2)局中人1了解到自然選擇了博弈1，還是選擇了博弈2，但局中人2不知道；(3)局中人1選擇行動T或B，同時局中人2選擇行動L或R；(4)根據自然選擇的博弈，兩局中人得到相應的收益。博弈1博弈2自然選擇了博弈1時，局中人1選擇T，自然選擇了博弈2時，局中人1選擇B。局中人2的策略是根據期望收益最大的原則確定。局中人2的選擇策略L的期望收益為0.5×1+0.5×0=0.5，選擇策略R的期望收益為0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2會選擇策略R。該博弈的純策略貝葉斯納什均衡為：自然選擇博弈1時，局中人1選擇T，自然選擇博弈2時，局中人1選擇B；局中人2會選擇策略R。6.在一個由三寡頭操縱的壟斷市場中，逆需求函數為p=a-q1-q2-q3，這里qi是企業i的產量。每一企業生產的單位成本為常數c。三企業決定各自產量的順序如下：(1)企業1首先選擇q1≥0；(2)企業2和企業3觀察到q1，然后同時分別選擇q2和q3。試解出該博弈的子博弈完美納什均衡。答：該博弈分為兩個階段，第一階段企業1選擇產量q1，第二階段企業2和3觀測到q1后，他們之間作一完全信息的靜態博弈。我們按照逆向遞歸法對博弈進行求解。（1）假設企業1已選定產量q1，先進行第二階段的計算。設企業2，3的利潤函數分別為：由于兩企業均要追求利潤最大，故對以上兩式分別求一階條件：（1）（2）求解（1）、（2）組成的方程組有：（3）（2）現進行第一階段的博弈分析：對與企業1，其利潤函數為；將（3）代入可得：（4）式（4）對q1求導：解得：（5）此時，（3）將式（5）代回（3）和（4）有該博弈的子博弈完美納什均衡：,7.如果將如下的囚徒困境博弈重復進行無窮次，懲罰機制為觸發策略，貼現因子為δ。試問δ應滿足什么條件，才存在子博弈完美納什均衡？由劃線法求得該博弈的純策略納什均衡點為(不坦白,不坦白)，均衡結果為(1,1)，采用觸發策略，局中人i的策略組合s的最好反應支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存在子博弈完美納什均衡，必須滿足：，即只有當貼現因子>1/4時，才存在子博弈完美納什均衡。8.假設有一博弈G=[N,S,P],其中N={1,2},S1=[0,50],S2=[0,50],，,i=1,2。(1)求納什均衡點;(2)在納什均衡下的最優反應函數;(3)若該博弈重復無限次,是否存在觸發策略構成的子博弈完美納什均衡,其條件是什么？解：局中人1,2的最優反應函數分別為:s1=5+1/2s2s2=20/3+1/3s1由此得唯一的純策略納什均衡點:sc=(10,10).相應的有P(sc)=(1000,1500).容易求得s*=(35,30),相應的有P(s*)=(1750,3000),.當時，存在觸發策略構成的子博弈完美納什均衡(s*,sc)9.求如圖所示完全信息動態博弈的子博弈完美納什均衡（圖中數字(a,b,c)分別表示局中人1、2、3的收益）。答：局中人1采取A2行動，局中人2采取行動B1時，局中人3必然采取C2行動（因為3<6），因而該博弈的頂點只能是(7,6,6)。同樣對于局中人3右邊一個子博弈，必然采取C1行動（9>2），因而該博弈的頂點只能是(2,1,9)。進而原博弈簡化為：這時,假設局中人1采取行動A1，對于左邊一個子博弈，局中人3必定采取行動C2(3<8),因而在該子博弈頂點的結果只會是(1,7,8).同樣,若局中人1采取行動A2,此時局中人2必然采取行動B1(6>1),因而在該子博弈頂點的結果只會是(7,6,6).進而,該博弈又簡化為：這時，局中人1必然選擇行動A2(1<7)。由于局中人1選擇A2時，局中人2選擇B1，進而局中人3選擇C2。因此，策略組合(A2,B1,((A1,C2),(B1,C2),(B2,C1)))構成整個博弈的子博弈完美納什均衡(這里(A1,C2)表示如果局中人1選擇A1,則局中人3選擇C2,對(B1,C2),(B2,C1)的解釋類似)。10.考慮如下訴訟威脅博弈。如果提起訴訟的話，局中人1為原告，局中人2為被告，博弈順序如下：(1)原告決定是否指控被告，指控的成本是c1；(2)如果決定指控的話，在告上法庭之前，原告提出一個無協商余地的賠償金額s以私了；(3)被告決定接受還是拒絕原告的要求；(4)如果被告拒絕原告的要求，原告決定是放棄還是上法庭，自己的成本是c2，給被告帶來的成本是d；(5)如果告上法庭，原告以概率P勝訴而獲得賠償r，否則什么也得不到。試問勝訴概率P滿足什么條件時，原告的訴訟威脅才是可信的？一)局中人1不指控局中人2時兩個人的收益均為0二)局中人1決定指控局中人2，在告上法庭之前，局中人1提出一個無協商余地的賠償金額s以私了，(1)當局中人2接受要求時局中人的收益為s-c1;局中人2的收益為-s；(2)當局中人2拒絕局中人1的要求，1)局中人1放棄上訴時，局中人1的收益為-c1,局中人2的收益為0；2)當局中人1起訴時，局中人1的期望收益為Pr-(c1+c2);局中人2的期望收益為-Pr-d因此，當局中人1的期望收益Pr-(c1+c2)>max{0,s-c1}，即P>max{(c1+c2)/r,(s+c2)/r}時原告的訴訟威脅是可信的。11.在伯川德模型中,假定有n個生產企業,需求函數為(b>0),其中pi是企業i的定價,qi是企業i的需求量。假設企業生產沒有固定成本,并且邊際成本為常數c,c<a.假定博棄重復無窮多次,每次的價格都立即被觀察到,企業使用觸發策略。求使壟斷價格可以作為完美均衡結果出現的最低貼現因子δ,并解釋δ與n的關系。<bdsfid="359"p=""></a.假定博棄重復無窮多次,每次的價格都立即被觀察到,企業使用觸發策略。求使壟斷價格可以作為完美均衡結果出現的最低貼現因子δ,并解釋δ與n的關系。<>分以下幾個步驟進行。1)計算納什均衡當企業i選擇價格pi,其它企業選擇價格pj(j=1,2,…,n,j≠i)時,企業i的利潤為:,i=1,2,…,n價格組合()若是納什均衡,則對每個企業i,應是如下最優問題的解:求解該問題,得;i=1,2,..,n解該方程組,得:,i=1,2,…,n企業i的利潤為：2)計算壟斷情況下的價格若n家企業合并為一家,即形成壟斷價格,則n家企業的價格相同,即p1=p2=…=pn.可求得總利潤最大時的價格為:那么每個企業的利潤為(這里(n-1)b<1)易證,即在壟斷價格下,各企業的利潤增加了。3)計算使壟斷價格可以作為完美均衡結果出現的最低貼現因子δ,并解釋δ與n的關系。當時,觸發策略(p*,pc)是子博弈完美納什均衡.12.有一在位企業生產某種產品，其成本可能低，也可能高。該企業可以選擇低價或高價兩種策略。另一企業準備進入生產同類產品，但完全不知道在位企業的生產成本是高還是低，只能觀察到其價格是低價還是高價。其具體收益見下面博弈的擴展式表述。求該博弈的子博弈完美貝葉斯納什均衡。該題的求解與第115頁例題類似。13.求例3.4.1的子博弈完美貝葉斯納什均衡。※第四章談判與協調1.帕累托占優均衡和納什均衡的關系是什么?納什均衡的基本思想是：每一個局中人選擇一個策略，由所有局中人的策略構成了一個策略組合；在其它局中人選定策略不變的情況下，若某一個局中人單獨地違背自己已選的策略，那么他的收益只會下降（或收益不會增加）。這樣的策略組合構成一個均衡局勢，并命名為納什均衡。納什均衡有純策略的納什均衡和混合策略的納什均衡。一個博弈中有不止一個納什均衡時，就構成一個多重納什均衡問題。在多重納什均衡下給出一些選擇標準就得到一些特定的納什均衡。其中帕累托占有納什均衡是根據這樣的選擇標準選擇的均衡。在博弈中，若均為G的其納什均衡，若滿足，則稱為博弈G的帕累托占優納什均衡。可見帕累托占有納什均衡是納什均衡中收益最大的一種均衡。2.分別找出具有下列性質的2人博弈的例子。(1)不存在純策略納什均衡；(2)至少有兩個納什均衡，并且其中之一是帕累托占優均衡。（1）不存在純策略的納什均衡：該博弈不存在純策略的納什均衡（2）該博弈有三個納什均衡：（戰爭，戰爭）、（和平，和平）和一個混合策略納什均衡。很顯然，（和平，和平）是一個帕累托占優納什均衡。3.假設在某一產品市場上有兩個寡頭壟斷企業，它們的成本函數分別為：TC1=0.1q+20q1+100000TC2=0.4q+32q2+20000這兩個企業生產一同質產品，其市場需求函數為：Q=4000-10p。試分別基于古諾模型和納什談判模型求解兩企業的利潤。解：由和得所以：求解方程組得將，代入到，中去得到最優解4.你能否對如下的CG-2×2博弈中x的變化設計出一些實驗方案，來討論是帕累托占優思想還是風險占優思想在策略選擇中起主要作用。設計試驗(1)a<x<=""></x（2）x.>1000這時是帕累托占優思想起主要作用。都會選擇行動2。※第五章合作博弈1.設三人聯盟博弈的特征函數v的值是：v({i})=0,i=1,2,3;v({1,2})=2/3,v({1,3})=7/12,v({2,3})=1/2,v({1,2,3})=1。求出該聯盟博弈的核心，并用圖形表示出來。2.假設有一3人合作博弈，其特征函數為：v({1,2,3})=200,v({1,2})=150,v({1,3})=110,v({2,3})=20,v({1})=100,v({2})=10,v({3})=0。計算該合作博弈的Shapley值，核心，最小ε-核心，穩定集，內核和核仁。3.考慮有如下特征函數v的4人合作博弈：v({1,2,3,4})=2,v({1,2,3})=1,v({1,2,4})=2,v({1,3,4})=0,v({2,3,4})=1,v({1,2})=0,v({1,3})=-1,v({1,4})=1,v({2,3})=0,v({2,4})=1,v({3,4})=0,v({1})=-1,v({2})=0,v({3})=-1,v({4})=0.4.證明下面的10人博弈v不具有穩定集。設N={1,2,…,10}，N上博弈v的特征函數為:v(N)=5,v({1,3,5,7,9})=4,v({3,5,7,9})=v({1,5,7,9})=v({1,3,7,9})=3,v({1,4,7,9})=v({3,6,7,9})=v({2,5,7,9})=2,v({3,5,7})=v({1,5,7})=v({1,3,7})=2,v({3,5,9})=v({1,3,9})=v({1,