平面直角坐標系與函數——中考數學一輪復習備考知識清單

，知識梳理

一、坐標平面內點的坐標特征

有序數對

定義：有順序的兩個數。與6組成的數對，叫作有序數對.

表示方法：有順序的兩個數。與6組成的數對，記作(。/)，兩個數之間用“，”隔開.

應用：利用有序數對，可以準確地表示出一個位置.如用“排”“列”表示教室內座位的位置，用經

緯度表示地球上的地點等.

【注意】

(1)有序數對的概念有兩個要點：一是“有序”，二是“數對”.“有序”是指兩個數的位置不能隨

意交換，否則其意義會發生改變.例如：在排隊時，小明站在2列3排，可記作(2,3),而(3,2)

表示3列2排的位置，即(2,3)與(3,2)表示兩個不同的位置；“數對”是指必須有兩個數.

(2)平面內每一點都對應著一個有序數對，每一個有序數對都對應著平面內的一個點.因此,

利用有序數對可以準確地描述物體的位置.

平面直角坐標系及有關概念

1.

平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組

成平面直角坐標系.

平面橫軸：水平的數軸稱為X軸或橫軸，習慣上取

直角向右為正方向.

坐標縱軸：豎直的數軸稱為y軸或縱軸，習慣上取

系向上為正方向.

原點：兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原

點.

【注意】

(1)平面直角坐標系中兩條數軸互相垂直，且原點重合；

(2)一般情況下，平面直角坐標系中的兩條坐標軸的單位長度是一致的，在有些實際問題中,

兩條坐標軸的單位長度可以不同，但同一坐標軸上的單位長度必須相同.

2.象限：建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成了I,n,in,w四個部

分，每個部分稱為象限，分別叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.

【注意】

(1)坐標軸上的點不屬于任何象限.

(2)象限的劃分是從“右上”開始的，按“逆時針”方向依次排列為：第一象限、第二象限、第三

象限和第四象限.

點的坐標

平面直角坐標系中點的坐標：有了平面直角坐標系，平面內的點就可y.

N

4J-----*A(2,4)

以用一個有序數對來表示了.例如：如圖，過點A作40，％軸于點

3

ANLy軸于點N,點M在x軸上對應的數是2,點N在y軸上對應2

1

的數是那么點的橫坐標是縱坐標是有序數對就叫

4,A2,4,(2,4),LM,一

-10123%

作點A的坐標.-1

【注意】

(1)坐標平面內的點和有序數對是一一對應的.即對于坐標平面內任意一點都有唯一的一

對有序實數(x,y)(即點"的坐標)和它對應；反過來，對于任意一對有序實數(x,y),在坐標

平面內都有唯一的一點M(即坐標為(x,y)的點)和它對應.

(2)點(x,y)到x軸的距離是國，到y軸的距離是凡

點的坐標的符號特點

點①/)的位置點(a,6)的橫、縱坐標的符號圖示

y

第一象限(+,+)9即Q>0,Z?>0.

在(0,+)

象第二象限(-,+),即a<0力>0.(一,+)(+?+)

(-,0)(0,0)(+,0)

限第三象限即a<0力<0.

0%

內

第四象限

(+,-),即a>0/<0.(一,一)(+,-)

(0,-)

在X軸正半軸(+,0),即a>0/=0.

坐負半軸(-,0),即"0力=0.

標

正半軸(0,+),即a=0/>0.

軸y軸

上負半軸(0,-),即a=0力<0.

原點(0,0),即a=0力=0.

【拓展】

(1)第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點的橫、

縱坐標互為相反數.

(2)與x(y)軸平行的直線上的點的縱(橫)坐標相同.

坐標系中的距離

(1)點尸(x,y)到坐標軸及原點的距離

①到y軸的距離d=N；

②到x軸的距離d=|y|；

③到原點的距離方=/^+/.

(2)兩點間的距離(設4%,％),3(%,必)，尸(5，%))

①AP〃x軸，AP=|羽一xj；

②&7/x軸，=—%|；

③A,3為任意兩點，AB={(7-%了+⑴-%)

二、平面直角坐標系中的平移、旋轉與對稱

圖形變

圖示點的坐標規律

換

3)J左右平移：力黑耨渡移->(或；

平移變P(x,y)P(x-a,y)(x+a,y))

換P”(少力0上下平移：P(x,y)用晨%/移->P〃(x,y+Z0(或(x,y-"))

點P(x,y)關于x軸對稱的點的P］的坐標為(x,-y)；

匚加)

點尸(x,y)關于y軸對稱的點的P］的坐標為(-x,y)；

對稱變/：

/Jr

O;X

換點P(x,y)關于原點對稱的點的鳥的坐標為(-x,-y)；

一%

規律：關于誰對稱誰不變，另一個變號，關于原點對稱都變

號

1

旋轉變/g?)點P(x,y)繞點。逆時針旋轉90。所得對應點P'的坐標為

換(fx)

三、函數基礎知識

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定

概念

的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是工的函數.

解析式法解析式主要反映兩個變量之間的數量關系

表示方法列表法表格具體地反映了函數與自變量的數值對應關系

圖象法圖象主要反映事物變化規律和趨勢

畫函數圖

象的一般列表->描點—>連線

步驟

整式型自變量的取值范圍：任意實數，如y=ox+b中，x為任意實數

分式型自變量的取值范圍：分母不為0,如y一中，xw-1

X+1

二次根式

自變量的自變量的取值范圍：被開方數大于等于0,如y=中，X...2

型

取值范圍

自變量的取值范圍：分母不為0且被開方數大于等于0,如y=f

分式+二

次根式型中，x>0；y="x+a中，％...一々且1。0

實際問題

自變量的取值范圍：使實際問題有意義

中

Q方法點撥項

考向一平面直角坐標系

1.根據點的坐標求其所在位置的問題

在平面直角坐標系中，各象限內點的坐標符號具有以下特征:第一象限（+,+）,第二象限（-,+）,

第三象限（-,-），第四象限（+,-）.已知點的坐標求其所在位置，應先判斷其橫、縱坐標的符號，

然后根據坐標系內各位置點的坐標特征來確定其位置.因此，理解并記住各象限內點的坐標符

號特征是解題的關鍵.

2.幾何圖形中建立適當的平面直角坐標系的技巧

①使圖形中盡量多的點在坐標軸上；②以某些特殊線段所在的直線為x軸或y軸；③若圖形

被一條直線分得的兩部分形狀，大小相同，則可以將此直線作為x軸或y軸；④以某已知點為

原點，使它的坐標為（0,0）.

3.根據點的位置來求點的坐標的有關問題

該類問題分兩種情況，一種情況是根據幾個已知點的坐標來確定另外一個點的坐標，他通常是

先根據已知點的坐標確定平面直角坐標系，然后再求另一點的坐標；另一種情況是已知點的位

置，求點的坐標中有關字母的取值范圍，解決這類問題，首先根據點的位置來確定該點橫、縱

坐標的符號，然后根據橫、縱坐標的符號及其他條件來確定字母的取值范圍.坐標軸上的點的

坐標特征：①若點在X軸上，則點的縱坐標為0,橫坐標為任意實數；②若點在y軸上，則

點的橫坐標為0,縱坐標為任意實數.據此即可解決問題.

4.求平面直角坐標系中幾何圖形面積的方法

求平面直角坐標系中幾何圖形的面積，常見的圖形是三角形和四邊形.①當三角形有一條平行

于坐標軸或落在坐標軸上時，直接應用三角形的面積公式進行計算；②當三角形沒有一條邊

平行于坐標軸或落在坐標軸上時，要用害U補法,將三角形的面積轉化為其他圖形面積的和或差；

③求不規則多邊形的面積時，一般采用割補法，將不規則的多邊形割補為規則圖形，進而求

出其面積.一般地，過圖形的頂點向x軸或y軸作垂線，找出不規則圖形與規則圖形之間的聯系.

5.解對稱點的坐標的問題

求關于坐標軸、原點對稱的點的坐標，可根據點的坐標的變化規律進行求解.

平面直角坐標系內帶你的對稱點有三種：

①點(a,6)關于x軸對稱的點的坐標為(a,T?)；

②點(a,6)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,6)；

③點(a,6)關于原點對稱的點的坐標為(-?,-/?).

6.解點到坐標軸或原點的距離問題

在平面直角坐標系中，一個點到x軸的距離為其縱坐標的絕對值；到y軸y\

-P(a%7M

的距離為其橫坐標的絕對值；到原點的距離則根據該點到兩坐標軸的距\|

離，利用勾股定理求解，如圖所示，)\_