1．1集合的概念目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：集合的含義 4題型二：元素與集合的關系的判斷 5題型三：根據元素與集合的關系求參數 7題型四：集合中元素的特性及應用 8題型五：用列舉法表示集合 10題型六：用描述法表示集合 12題型七：集合表示法的綜合應用 15題型八：方程與集合的綜合應用 18題型九：集合新定義運算 20

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：集合的有關概念1、一般地，研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．知識點詮釋：（1）對于集合一定要從整體的角度來看待它．例如由“我們班的同學”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體．（2）要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象都可以組成一個集合，如人、動物、數、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合的元素．2、關于集合的元素的特征（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素．（3）無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．知識點詮釋：集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性．反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象也就不能構成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構成集合的依據．解決與集合有關的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是，一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問題被解決之時，應注意檢驗元素是否滿足它的“三性”．3、元素與集合的關系：（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作4、常用數集及其表示非負整數集（或自然數集），記作N正整數集，記作N*或N+整數集，記作Z有理數集，記作Q實數集，記作R知識點二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內．具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．知識點詮釋：（1）用描述表示集合時應注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數，還是有序實數對（點）還是其他形式？②元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用邏輯聯結詞“且”與“或”等連接；若描述部分出現元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍．【典型例題】題型一：集合的含義【典例11】（2024·高一·新疆·階段練習）下列對象中不能構成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數 D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標準不清，故不能構成集合；B：，方程根確定，可構成集合；C：不小于3的自然數可表示為，可構成集合；D：所有銳角三角形內角和確定且各角范圍確定，可構成集合.故選：A【典例12】（2024·高一·天津南開·期中）下列給出的對象能構成集合的有（

）①某校2023年入學的全體高一年級新生；②的所有近似值；③某個班級中學習成績較好的所有學生；④不等式的所有正整數解A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】對于①：某校2023年入學的全體高一年級新生，對象確定，能構成集合，故①正確；對于②：的所有近似值，根據精確度不一樣得到的近似值不一樣，對象不確定，故不能構成集合，故②錯誤；對于③：某個班級中學習成績較好是相對的，故這些學生對象不確定，不能構成集合，故③錯誤；對于④：不等式的所有正整數解有、、，能構成集合，故④正確；故選：B【方法技巧與總結】（判斷一組對象能否組成集合的標準）判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．【變式11】（2024·高一·重慶·期中）下列敘述能組成集合的是（）A．接近0的數 B．數學成績好的同學C．中國古代四大發明 D．跑得快的運動員【答案】C【解析】對于選項ABD：缺乏統一的判斷標準，均不滿足確定性，故ABD錯誤；對于選項C：中國古代四大發明是確定的，符合確定性，所以能構成集合，故C正確.故選：C.【變式12】（2024·高一·河北·階段練習）下列對象能構成集合的是（

）A．本班成績較好的同學全體 B．與10接近的實數全體C．絕對值小于5的整數全體 D．本班興趣廣泛的學生【答案】C【解析】對于A，成績較好不是一個確定的概念，不能構成集合，故A不符合；對于B，與10接近的不是一個確定的概念，不能構成集合，故B不符合；對于C，絕對值小于5的整數全體是個明確的概念，并且給定一個元素能確定是否屬于這個整體，故能構成集合，故C符合；對于D，興趣廣泛的不是一個確定的概念，不能構成集合，故D不符合.故選：C.【變式13】（2024·高一·河北邢臺·階段練習）下列各組對象中不能構成集合的是（

）A．數學課遲到的學生 B．小于的正整數C．未來世界的高科技產品 D．所有有理數【答案】C【解析】對于A，數學課遲到的學生具備集合元素的確定性,能構成集合，故A不符合題意；對于B，小于π的正整數具備集合元素的確定性，能構成集合，故B不符合題意；對于C，“未來世界的高科技產品”中的“高科技產品”沒有明確標準，不具備確定性，因此不能構成集合，故C符合題意；對于D，所有有理數具備集合元素的確定性，能構成集合,故D不符合題意.故選：C.題型二：元素與集合的關系的判斷【典例21】（多選題）（2024·高一·江蘇連云港·階段練習）已知集合，則下列表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】易知，，，令，即B、C、D正確，A錯誤；故選：BCD【典例22】（多選題）（2024·高一·全國·專題練習）已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由題知：集合A為奇數集，集合B為偶數集，所以為奇數，為偶數．所以是奇數，是偶數，是偶數，是偶數．即，，，.故選：ABC．【方法技巧與總結】判斷元素與集合關系的兩種方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【變式21】（2024·高一·全國·專題練習）用符號“”或“”填空：（1）若，則1A；（2）若，則3B；（3）若，則8C，9.1C.（4）；（5）；（6）2017.（7），，，．【答案】【解析】（1），故；（2），故；（3），故；（4），；（5）（6）因為2017不能被表示為的形式，所以；（7）【變式22】（2024·上海·模擬預測）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故選：A【變式23】（2024·高一·江蘇·專題練習）用符號“”或“”填空：①設集合A是由正整數的全體構成的集合，則0A，A，A；②設集合B是由小于的實數的全體構成的集合，則B，B.【答案】【解析】①0不是正整數，不是整數，是正整數，故依次填，，.②，由，得，故依次填，.故答案為：；；；；.題型三：根據元素與集合的關系求參數【典例31】（2024·高三·山東青島·開學考試）已知，則的取值為（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【解析】由元素和集合關系可知：或或，解的或或，由集合的性質可知，當時，不滿足互異性，所以的取值為或.故選：C.【典例32】（2024·高一·江西萍鄉·期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當時，滿足題意，當時，違背了集合中元素間的互異性，當時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.【方法技巧與總結】根據元素與集合的關系求參數，關鍵在于利用集合中元素的確定性、互異性，以及集合間的關系或運算結果。通過觀察元素是否屬于集合、集合間是否存在子集或交集等關系，我們可以建立關于參數的數學條件，進而求解出參數的具體值或取值范圍。【變式31】（2024·高一·湖南長沙·階段練習）已知集合，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D【變式32】（2024·高一·河南·階段練習）設集合，若，則實數（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】B【解析】由集合，因，則或，當時，，此時，與元素互異性矛盾，舍去；當時，，當時，滿足．故．故選：B．【變式33】（2024·高三·廣東惠州·階段練習）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為且，所以且，解得.故選：B.題型四：集合中元素的特性及應用【典例41】（2024·高一·四川成都·期中）集合中實數的取值范圍是()A．或 B．且 C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實數的取值范圍為且.故選：D.【典例42】（2024·高一·重慶萬州·階段練習）已知，，若集合，則的值為（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】B【解析】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故選：B.【方法技巧與總結】（根據集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的3個步驟）【變式41】（2024·高一·全國·課后作業）若集合，則下列說法中正確的是（

）A．a可取全體實數B．a可取除去0以外的所有實數C．a可取除去3以外的所有實數D．a可取除去0和3以外的所有實數【答案】D【解析】由集合中元素的互異性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有實數，故選：D.【變式42】（2024·高三·全國·專題練習）集合中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么這個三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.【變式43】（多選題）（2024·高一·湖南衡陽·階段練習）由a2，a1，1組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數a的取值可以是（

）A．2 B．1 C．2 D．0【答案】CD【解析】由題意得,解得a≠2且a≠±1，則符合要求的只有CD.故選：CD.題型五：用列舉法表示集合【典例51】（2024·高三·全國·專題練習）方程的解集為【答案】【解析】，即，即，解得，或.故答案為：【典例52】（2024·高一·全國·課后作業）若、、且、，集合，則用列舉法可表示為.【答案】【解析】當時，，當時，，當時，，當時，，所以用列舉法可表示為.故答案為：.【方法技巧與總結】（用列舉法表示集合的三個步驟）1、求出集合的元素；2、把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；3、用花括號括起來．【變式51】（2024·高一·全國·假期作業）求下列方程組的解集：(1)；(2)；【解析】（1）由不等式組，①+②，可得，②③，可得，聯立方程組，解得，代入①式，可得，所以不等式組的解集為.（2）由方程組，整理得，解得或，當時，可得；時，可得，所以方程組的解集為.【變式52】（2024·高一·全國·課堂例題）用列舉法表示下列集合：(1)由方程的所有實數解構成的集合；(2)平方小于200的所有素數之集．【解析】（1）由可得，所以.（2）由于，所以平方小于200的所有素數構成的集合.【變式53】（2024·高一·全國·課后作業）用列舉法表示下列集合．(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；(2)小于8的質數組成的集合B；(3)方程的實數根組成的集合C；(4)一次函數與的圖象的交點組成的集合D．【解析】（1）不大于10的非負偶數有，所以；（2）小于8的質數有，所以；（3）方程的實數根為，所以．（4）由，得，所以一次函數與圖象的交點為，所以．題型六：用描述法表示集合【典例61】（2024·高一·上海長寧·階段練習）所有平行四邊形組成的集合可以表示為.【答案】為平行四邊形【解析】由題意可知，所有平行四邊形組成的集合可以表示為為平行四邊形.故答案為：為平行四邊形.【典例62】（2024·高一·全國·專題練習）用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界）的坐標的集合為．【答案】{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}【解析】：圖中的陰影部分的點設為（x，y）則{x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1}故答案為：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}．【方法技巧與總結】（描述法表示集合的2個步驟）【變式61】（2024·高一·上海黃浦·階段練習）直角坐標平面中除去兩點?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐標平面中除去兩點?，其余的點全部在集合中，逐一排除法．直角坐標平面中除去兩點、，其余的點全部在集合中，選項中除去的是四條線；選項中除去的是或除去或者同時除去兩個點，共有三種情況，不符合題意；選項，則且，即除去兩點?，符合題意；選項，則任意點都不能，即不能同時排除，兩點．故選：C【變式62】（2024·高一·全國·專題練習）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數的集合；(3)；(4)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合．【解析】（1）因為不等式的解組成的集合為，則集合中的元素是數.設代表元素為x，則x滿足，所以，即．（2）設被3除余2的數為x，則．又因為元素為正整數，故．所以被3除余2的正整數的集合（3）設偶數為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因為平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負，縱坐標為正，即，故第二象限內的點的集合為．【變式63】（2024·高一·全國·專題練習）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解集；(2)平面直角坐標系中第二象限的點組成的集合；(3)二次函數圖象上的點組成的集合．(4)平面直角坐標系中第四象限內的點組成的集合；(5)集合.(6)所有被3整除的整數組成的集合；(7)方程的所有實數解組成的集合.【解析】（1）不等式的解集用描述法表示為.（2）根據點坐標的符號，集合用描述法表示為.（3）集合用描述法表示為.（4）根據點坐標的符號，集合用描述法表示為.（5）集合用描述法表示為.（6）集合用描述法表示為.（7）方程的解集用描述法表示為.題型七：集合表示法的綜合應用【典例71】（多選題）（2024·高一·湖北咸寧·階段練習）已知為非零實數，代數式的值組成的集合A，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】依題意，當都為正數，代數值等于4；當中只有一個負數兩個正數，代數值為0；當中只有一個正數兩個負數，代數值為0；當都為負數，代數值為.故選：CD【典例72】（2024·高三·全國·專題練習）已知集合的元素全為實數，且滿足：若，則．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請你設計一個實數，再求出中的所有元素？(3)根據（1）（2），你能得出什么結論．【解析】（1）由題意，可知，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設，則，而當時，不存在，假設不成立，所以0不是A中的元素．取，則，，，，所以當時，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中沒有元素，0，1；A中有4個元素，其中2個元素互為負倒數，另外2個元素也互為負倒數．由（2）知0，，若，則，與矛盾，則有，即，0，1都不在集合A中．若實數，則，，，．結合集合中元素的互異性知，A中最多只有4個元素，，，且，．顯然，否則，即，無實數解．同理，，即A中有4個元素．所以A中沒有元素，0，1；A中有4個元素，其中2個元素互為負倒數，另外2個元素也互為負倒數．【方法技巧與總結】（集合表示法中元素與集合的關系）1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合屬性是關鍵；2、若已知集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關鍵；【變式71】（2024·高一·上海浦東新·階段練習）已知M是滿足下列條件的集合：①，；②若、，則；③若且，則.(1)判斷是否正確，說明理由；(2)證明：“若，則”是真命題；(3)證明：若，，則.【解析】（1）正確，理由如下：由①②可知，，，由③可知，.（2）由②可知，對于，，故只需證明對于，，由(1)中知，，由，，假設正整數，則，故對于，都成立，從而“若，則”是真命題.（3）若，且，由①②知，，，由③知，，，又由②③知，，則，又由②知，，因為，，故時，，因為，，所以，，所以由(2)知，，則，，又由，則，又因為，所以，從而，故，從而，.【變式72】（2024·高一·全國·課后作業）設集合A由實數構成，且滿足：若（且），則．(1)若，試證明集合A中有元素－1，；(2)判斷集合A中至少有幾個元素，并說明理由；(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的積．【解析】（1）證明：∵，∴．∵，∴．∴集合A中有元素－1，；（2）由題意，可知若（且），則，，，且，，，故集合A中至少有3個元素；（3）由（2）知A中元素的個數為．又集合A是有限集，且，所以若為奇數，則集合A中所有元素的積為；若為偶數，則集合A中所有元素的積為1．所以集合A中所有元素的積為1或－1．題型八：方程與集合的綜合應用【典例81】（2024·高一·全國·課后作業）設關于的方程的解集為．（1）求證：中至少有2個元素；（2）若中有3個元素，求的值及中3個元素之和．【解析】（1）方程等價于或．記方程的解集為，因為，所以中含有2個元素．又因為，所以中至少有2個元素．（2）記方程的解集為，由（1）知，中恰有1個元素．所以，因此，．當時，，中2個元素之和為2，所以中3個元素之和為；當時，，中2個元素之和為2，所以中3個元素之和為3．【典例82】（2024·高一·河南南陽·階段練習）已知集合，求集合A滿足下列條件時實數a的所有可能取值組成的集合(1)集合A中有且僅有一個元素;(2)集合A中有兩個元素；【解析】（1）集合中有且僅有一個元素，即方程只有一個解，①當時，方程為，解得，符合要求；②當時，方程為一元二次方程，，解得；所以的所有可能取值構成的集合為.（2）集合中有兩個元素，即方程為一元二次方程，，且方程有兩個解，所以，解得，所以的所有可能取值構成的集合為或.【方法技巧與總結】(1)集合中元素的個數即為方程的根的個數．(2)解方程時注意對a的討論．【變式81】（2024·高一·黑龍江牡丹江·階段練習）已知集合，其中為常數，且.(1)若是空集，求的范圍；(2)若中只有一個元素，求的值；(3)若中至多只有一個元素，求的范圍.【解析】（1）若是空集，則方程無解，此時，即，（2）若中只有一個元素，則方程有且只有一個實根，當時方程為一元一次方程，滿足條件當，此時，解得：.∴或；（3）若中至多只有一個元素，則為空集，或有且只有一個元素由①②得滿足條件的的取值范圍是：或.【變式82】（2024·高一·全國·課后作業）已知集合A是方程的解集．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A是單元素集（集合中只有一個元素），求a的值；(3)若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍．【解析】（1）若，則或，當時，方程為，其解為，所以A是單元素集．當時，方程為，無實數解，所以A為空集．所以，若A是空集，則或即，所以a的取值范圍為；（2）由（1）可知，若A是單元素集，則或即；（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一個元素，即A為空集或單元素集，則a的取值范圍為或.題型九：集合新定義運算【典例91】（多選題）（2024·高一·新疆伊犁·階段練習）若集合具有以下三個條件，則稱集合為一個“封閉集合”，①若，則；②若，則；③若，則；據此判斷下列集合是封閉集合的有（

）A．R B． C． D．Q【答案】ABD【解析】對A，任意兩個實數的和、差、積仍是實數，故R是封閉集合，故A正確；對B，任意兩個整數的和、差、積仍是整數，故是封閉集合，故B正確；對C，取，則，故不是封閉