專題20：求角相關計算問題（期末壓軸題專練）

1.如圖，已知NAOD:N3OD=1:3,OC是NAOD的平分線，若NA0B=12O。,求:

⑴NCC?的度數;

(2)—3OC的度數.

2.如圖，OC是NAOB的平分線，ZCOD=20°.

⑴若NA8=40。，求上4OB的度數.

⑵若/3OD=3NAOD,求上403的度數.

3.已知點O為直線A5上一點，NMON=90。，在NMON內部作射線OC,且OC恰好平

(1)若NCON=20。，求河的度數；

⑵若/BON=2ZNOC,求/AOM的度數.

4.如圖，48是一條直線，如果/1=65。15',/2=78。35',且Nl+N2+N3=180。，求N3的

度數.

2

1

A0B

(2)在圖2中，設NAOC=dN5CW=/?,請探究a與0之間的數量關系.

6.如圖，直線AB,CD交于點O,OE平分NAOCOF平分NBOE,ZAOD：ZCOE=4A,

求NOO/的度數.

A

D

B

7.已知NAO3=150°,?CODg?AOB,OE平分NBOC.

(1)如圖1,若ZDOE=20P,求NZOC的度數；

(2)將NCO￡＞順時針旋轉至如圖2的位置，若。/平分NAOE,ZEOF=4ZBOE,求/DO產

的度數.

8.如圖，點0在直線AB上，NCOD=60。，射線OE在NCOD內部，5.ZAOE=2ZDOE.

(1)若OD是—3OC的平分線，求NCOE的度數.

(2)設NCOE=&,用含a的式子表示/BOD,并寫出推導過程.

9.如圖，點4,O,8在同一直線上，ZAOC=80°,ZZ)OE=70o,OD是平角/AO3的一

條靠近邊的三等分線.

⑴求/COE的度數；

(2)OE是N3OC的平分線嗎？說明你的理由.

10.如圖，已知A、O、B三點共線，ZAOD=42°,ZCOB=90°

⑴求/BOD的度數；

(2)若OE平分NBOD,求ZCOE的度數.

11.如圖，點A、O、8在同一直線上，ZBOD=70°,OD平分-3OC,0P平分

ZDOE,ZAOF=30°.

⑴求NCOR的度數；

(2)判斷NAOE與-4OC是否互余，并說明理由.

12.如圖，NAOD與NBOD互余,OD平分NAOC.

⑴若NAOD=26。，求NBOC的度數.

(2)若N3OC=x。，用代數式表示/AOD的度數.

13.如圖，直線AB與CD相交于點0,OC平分/AOM,且/AOM=90。，射線QV在

內部.

C

⑴求ZAOD的度數;

⑵若Z.BOC=5ZNOB,求ZMON的度數.

14.如圖，OC平分/AOB,/COD=90°.

⑴若NAOB=60。，求/AOD的度數；

⑵若NAOB=a,直接寫出ZAOD的度數.（用含a的式子表示）

15.如圖，兩直線48、CD相交于點0,OE平分NB0D,如果/AOC:/AOD=4:5.

⑴求/COE的大小；

(2)若/COF=130。，判斷OE與OF的位置關系，并說明理由.

16.如圖，直線AB、CD相交于點。，ZAOC=28°,ZBOF=59°,0/平分NOOK,OE

與AB垂直嗎？為什么？

E?

A-----------------------------B

C

17.如圖，直線AB,CD相交于點0,0E平分NBOC,ZFOD=90°.

E

⑴若NAO9=42。，求乙B0E的度數：

(2)若NBOD:NBOE=6:7,求NA0F的度數.

18.如圖，點。在直線上，/4。＜?與13。€7的度數之比為5:4,ZAOE=90°,求NC0E

的度數.

AOB

19.如圖，直線A8和CD交于點O,OE平分NDOB.

(1)在13OC內部，過點。作射線5LCD；

(2)在(1)的條件下，若應吹=63。，求ZB(加的度數.

20.如圖，已知NAO3=140。，NCOE與NDOE互余,OK平分NAOD.

⑴若NCOE=40°,貝iJ"OE=,ZBOD=

(2)設/COE=tz,ZBOD=/3,請探究a與￡之間的數量關系.

21.如圖，已知。為直線A3上一點，ZCOD=90°,OE平分NBOD.

(1)若/口9石=25。，求的度數；

⑵請判斷ZAOD與/COE的數量關系，并說明理由.

22.如圖，已知4403=90°,OE平分203,ZEOF=60°,平分NBOC.i^ZBOC

和—AOC的度數.

23.已知/AOB、NCOD共頂點O,ON平分NAO。，ON平分NCOB.

圖1圖2

⑴如圖1,當OB與OD重合時，若NAO3=130。,ZMON=25°,求ZBOC的度數;

(2)將ZCOD繞點0逆時針旋轉至圖2所示位置，若ZBOD=60°,ZAOC=10°,求ZMON

的度數.

參考答案：

1.(1)15°

(2)105°

【分析】本題主要考查了角平分線的有關計算，解題的關鍵是數形結合.

(1)設NA8=x°,貝l]ZBOD=3x。.根據403=120。，得出尤+3x=120,求出x=30,根

據角平分線定義得出/COD=』ZAOD=15。.

(2)根據/AOC=15。，ZAOB=120°,求出結果即可.

【詳解】(1)解：因為NAOD:/BQD=1:3,

所以設NA8=x。，

貝ljZBOD=3x°.

又因為NAO3=120。，

所以ZAOD+NBOD=ZAOB=120°,

即x+3x=120,

所以x=30.

因為OC是NAOO的平分線，

所以/COO=ZAOC=L/AOO=LX3()O=15。.

22

(2)解：因為/AOC=15。，ZAOB=120°,

所以Z.BOC=120°-15°=105°.

2.(1)120°

(2)80°

【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵.

(1)先求出NAOC的度數，然后根據角平分線的定義求出-AO3,于是得到結論；

(2)設NAOD=尤，則N3QD=3x,根據角平分線的定義和角的倍分即可得到結論.

【詳解】(1)解：：/COD=20。，ZAOD=40°,

ZAOC=Z.COD+ZAOD=20°+40°=60°,

OC是—AO3的平分線，

ZAOB=2ZAOC=120°；

(2)解：設/AOD=x,則N38=3x,

AZAOB=ZAOD+ZBOD=4x,

,/OC是-AOB的平分線,

ZAOC=-ZAOB=2x,

2

2x-x=20°f

解得％=2。。，

：.ZBOD=3x=6Q°,

：.ZAOB=ZAOD+ZBOD=80°.

3.（1）40°

（2）45°

【分析】本題考查角平分線的意義、互補、互余的意義，正確表示各個角，理清各個角之間

的關系是得出正確結論的關鍵.

（1）先根據余角的定義求出NMOC,再根據角平分線的定義求出然后根據

ZAOM=180。-計算即可；

（2）根據角的倍分關系以及角平分線的定義即可求解.

【詳解】（1）解：如圖：

???OC平分ZMOB,

ZBOM=2ZMOC=140°,

ZAOM=180。—ZBOM=40°；

(2)解：-ZBON=2ZNOC,OC平分

/.ZMOC=ZBOC=3ZNOC,

ZMOC+ZNOC=ZMON=90°,

/.3ZNOC+ZNOC=90°,

:.4ZNOC=90°,

ZBON=2ZNOC=45°,

.\ZAOM=1SO°-ZMON-ZBON=45°.

4.N3的度數是36。10'

【分析】本題側重考查度分秒的換算.根據已知條件可得/3=180。-Nl-N2；接下來將N1

與22的度數，代入計算，即可解答.

【詳解】解：VZl=65°15',N2=78°35',且Nl+N2+N3=180。，

Z3=18O°-Z1-Z2

=180°-65°15,-78°35,

=36。10'.

故N3的度數是36。10'.

5.(1)50°；40°

⑵￡=40。-2a

【分析】本題考查了角的計算，余角和補角，角平分線的定義，根據題目的已知條件并結合

圖形進行分析是解題的關鍵.

(1)根據余角的定義可得：？AOC1BOC90?,從而可得/3OC=50。，然后利用角平分線

的定義可得ZMOB=100°,從而利用角的和差關系進行計算即可解答；

(2)利用(1)的解題思路進行計算，即可解答.

【詳解】(1),/ZAOC與ZBOC互余，

A?AOC?BOC90?,

ZAOC=40°,

ZBOC=90°-ZAOC=50°,

OC平分ZMOB,

：.ZMOB=2ZBOC=100°,

ZMON=140°,

ZNOB=AMON-ZMOB=40°,

故答案為：50°；40°；

(2)￡=40°-2e,

理由：：-4OC與ZBOC互余，

/.?AOC?BOC90?,

ZAOC=a,

ZBOC=90°-ZAOC=90°-?,

OC平分ZMOB,

???/MOB=2ZBOC=180。—2a,

ZMON=140°,

ZNOB=ZMOB-AMON=40°-2a.

■:/BON=B,

?"=40。-2a.

6.135°

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差運算，方程思想的應用.由角平分線知

4A0E=/C0E,,設NCOE=x。，由NA。石+/。。￡+/40。=180。建立方程即可求得工的

值，從而得NAQE=NCOE=30。，ZDOB=ZAOC=60°；再角平分線的定義及和角關系即

可求解.

【詳解】解：石平分—AOC,

???AA0E=AC0E,

ZAOD:ZCOE=4A,

???設NCOE=%。，則NAOE=i。，ZAOD=4x°f

???ZAOE+ACOE+AAOD=180°,

x+x+4x=180,

解得：％=30,

???ZAOE=/COE=30°,/DOB=ZAOC=60°,

???/BOE=180。—ZAOE=150°,

TO尸平分/BOE,

/.NBOF=L/BOE="°,

2

ZDOF=ZBOF+Z.BOD=75°+60°=l35°.

7.(1)40°；

(2)125°.

【分析】(1)由NAO3=150。，?COD；?AOE得NCOD=75。，即得

ZCOE=Z.COD-ZDOE=55°,進而得/30。=2/。6見=110。，最后利用角的和差關系即

可求解；

(2)由OE平分NBOC,可得ZCOE=Z.BOE,設NCOE=Z.BOE=x，則ZAOE=150。一x,

可得“0尸=；440￡=；(150。-%>,進而可得;(150。-x)=4x,即得了=［引。，得到

/COF=/EOF—NCOE=4x-x=3x=50。,最后根據角的和差關系即可求解；

本題考查了角的和差,角平分線的定義,一元一次方程的幾何應用，正確識圖是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：：ZAO3=150。，TCODAOB,

：./COD=15。,

"：ZDOE=20°,

：.Z.COE=Z.COD-/DOE=75°—20°=55°,

?/OE平分/BOC,

NBOC=2NCOE=110°,

ZAOC=ZAOB-NBOC=150°-110°=40°；

(2)解：平分NBOC,

NCOE=NBOE,

設NCOE=NBOE=x,則NAOE=150°—x,

/平分4OE,

ZEOF=|ZAO￡=1(150°-x),

,?NEOF=4NBOE,

.1.1(150°-^)=4x,

解得x=

???/COF=/EOF—NCOE=4x—X=3x=50。,

?；/COD=75。，

/DOF=ZCOF+ZCOD=50°+75°=125°.

8.(1)20°

(2)ZBOD=3a,見解析

【分析】此題考查了幾何圖形中的角度計算和角平分線的相關計算，

(1)根據角平分線的定義可得N8OD,再由平角定義可得ZAOC,再根據NAOE=2NDOE

求得NOOE,即可求得；

(2)根據ZDOE=ZCOD-ZCOE得ZDOE=60°-a,再根據ZAOE=1ZDOE求出/AOE,

即可求得/30D.

【詳解】(1)解：:OD是/5O。的平分線，ZCOD=60°,

???ZBOD=ZCOD=60°,

??,點。在直線A5上，

???ZAOC=180°-ACOD-ZBOD=60°,

ZAOE=2ZDOE9

：.2ZDOE+ZDOE=120°,

???ZDOE=40%

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=20°；

(2)解：ZBOD=3a.

VZCOD=60°,ZCOE=a,

：.ZDOE=60°-a,

9：ZAOE=2ZDOE,

：.ZAOE=1200-2af

：.ZBOD=180°-ZAOE-/DOE=180°-(120°-2cr)-(60°-a)=3a.

9.(1)50°

⑵是，見解析

【分析】本題考查角的計算，角的三等分線的定義，角平分線的定義，明確角的和差關系是

解題的關鍵.

(1)由題意可得NCQD=20。，根據/COE=/DOE-/COD可得答案；

(2)由題意可得N5QC=180。—80。=100。，得出NB9E=100。—50。=50。，則4公=/C0E,

即可得出結論；

【詳解】(1)解：:OD是的一條靠近Q4邊的三等分線，ZAOC=80°,

???ZAOD=-ZAOB=-xlSO0=60°,

33

,/ZAOC=80°,

???ZCOD=ZAOC-ZAOD=80°-60°=20°,

???ZCOE=ZDOE-ZCOD=70°-20°=50°,

即/COE的度數為50。；

(2)OE是250。的平分線.

理由：VZCOE=50°,ZAOC=80°,

Z.BOC=180°-80°=100°,

：./BOE=100°-50°=50°,

二NBOE=NCOE,

OE是N3OC的平分線.

10.(1)138°

(2)21°

【分析】本題考查了余角和補角的知識，屬于基礎題，熟練掌握互余的兩角之和為90。，互

補的兩角之和為180。是解題的關鍵.

(1)根據平角的定義即可得到結論；

(2)根據余角的性質得到NCOD=48。，根據角平分線的定義即可得到結論.

【詳解】(1)解：0、2三點共線，ZAOD=42°,

：.Z.BOD=180°-ZAOD=180°-42°=138°；

(2)解：V=90°,

/.ZAOC^9QP,

?/ZAOD=42°,

：.ZCOD=48°,

,/OE平分NBOD,

：.ZDOE=-ZBOD=69°,

2

ZCOE=69°-48°=21°.

11.(1)10°

(2)是，理由見解析

【分析】本題考查與角平分線有關的計算：

(1)角平分線求出NBOC,平角求出/COF即可；

(2)求出/AOE與—AOC的度數，根據余角的定義，進行判斷即可.

【詳解】(1)解：：400=70。，OD平分NBOC,

：.NBOC=2ZBOD=140°,

ZCOF=180°-ZAOF-ZBOC=10°；

(2)是，理由如下：

ZBOZ)=70°,OD平分ZBOC,

???ZCOD=ZBOD=70°,

VZCOF=10°,ZAOF=30°,

：.ZAOC=ZCOF+ZAOF=40°,ZDOF=ZCOD+ZCOF=80°,

OF平分/DOE,

；?NEOF=NDOF=8U。,

：.ZAOE=ZEOF-ZAOF=50°,

???ZAOE+ZAOC=90°,

???NAOE與ZAOC互余.

12.(1)ZBOC=38°

(2)ZAOD=45°-1x°

【分析】本題考查了互余的定義，角平分線的定義，角的和差；

(1)由角平分線的定義得NCOD=NAOD=26。，由互余的定義得/5。。=90。-/4。0,

由角的和差，即可求解；

(2)由互余的定義得NAOC=NAO3-NBOC=90。-%。，再由角平分線的定義即可求解;

理解互余的定義，角平分線的定義，會用角的和差表示出所求的解是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：:OD平分/AOC,

ZCOD=ZAOD=26°,

??,NAOD與N5OD互余，

:.ZAOD+ABOD=90°,

.\ZBOD=9Q°-ZAOD

=64。，

/.ZBOC=ZBOD-ZCOD

=M°-26°

=38。；

(2)解：?「NAOD與NBOD互余，

/.ZAOC=ZAOD+/BOD

二90。，

...ZAOC=ZAOB-ZBOC

=90。一廿，

OD平分/AOC,

:.ZAOD=-ZAOC,

2

毛(90。一廿)

=45°--x°.

2

13.(1)135°；

(2)63°.

【分析】本題考查了余角的定義，鄰角互補，角的倍數的運算，掌握鄰角互補是解題的關鍵.

(1)根據角平分線的定義可知-AOC的度數，再利用鄰角互補即可得到NAOD的度數；

(2)根據角的倍數即可得到/M93的度數，再利用余角的定義即可求得NMON的度數.

【詳解】(1)解：V90°,OC平分

ZAOC=-ZAOM=-x90°=45°,

22

ZAOC+ZAOD=180。，

.?.ZAOD=180°-ZAOC=180°-45°=135°,

即NAQD的度數為135。；

(2)解：ZBOC=ZAOD=135°,ZBOC=5ZNOB,

：.ZNOB=Z1°,

90°,

???ZBOM=90°,

???ZMON=ZBOM-ZNOB=90°-27°=63°.

14.⑴NAO。=120。

(2)NAOO=ga+90。

【分析】本題考查角的相關知識，解此題的關鍵是掌握角平分線的定義.

(1)根據角平分線的定義求出NAOC=30。，再由角的和差關系可得結論；

(2)同(1)的思路可得結論.

【詳解】(1)解：???。。平分NAO5,ZAOB=60°f

：.ZAOC=ZBOC=-ZAOB=30°,

2

ZCOD=90°,

：.ZAOD=ZAOC+ZZX9C=30°+90°=120°；

(2)解：平分/AO3,ZAOB^a,

：.ZAOC=ZBOC=-ZAOB=-a,

22

ZCOD=9Q°,

：.ZAOD=ZAOC+ZDOC=-<z+90°.

2

15.(1)/COE=140。

(2)OELOF,理由見解析

【分析】此題考查了角平分線的定義，補角的應用，

(I)利用角度比及互補關系求出NAOC=80。，ZAOD=100°,根據角平分線求出

ZDOE=ZBOE=40°,即可求出ZCOE的度數；

(2)求出ZAOE的度數，即可得到NEOP的度數，進而得到位置關系.

【詳解】(1)解：VZAOC:ZAOD^4:5,ZAOC+ZAOD=180°,

AZAOC=80°,ZAOD=100°,

，ZBOD=ZAOC=80°,ZBOC=ZAOD=100°

?/OE平分NBOD,

：./DOE=ZBOE=-ZBOD=40°,

2

Z.COE=ZBOC+ZBOE=100。+40。=140°；

(2)證明：VZCOF=130°,

ZAOF=NCOF-ZAOC=50°

ZEOF=180°-ZAOF-ZBOE=90°

OELOF.

16.OEYAB,理由見解析.

【分析】本題主要考查對于直線垂直的證明.角平分線的有關計算，以及對頂角相等，由

對頂角相等可得出ZDOB=ZAOC=2.8°,再由角的和差關系即可得出

ZDOF=ZBOF-ZDOB=31°,再根據角平分線的定義可得出NEOD=2NDOP=62。，最

后再根據角的和差關系即可得出NEOB=ZEOD+ZDOB=90°.

【詳解】解：OE1AB,理由如下：

ZAOC=28。,

：.ZDOB=ZAOC=28°,

ZDOF=ZBOF-Z.DOB=59°-28°=31°,

OF平分NDOE,

：.ZEOD=2ZDOF=62°,

JZEOB=ZEOD+ZDOB=620+28°=90°

??.EOLAB.

17.(1)66°

(2)36°

【分析】本題考查角平分線的定義，熟練掌握對頂角、角平分線的定義，利用角的和差關系

準確計算是解題的關鍵.

(1)利用對頂角和角平分線的定義可得，ZAOD=ZBOC=132°,ZBOE=^ZBOC=66°；

(2)設N3QD=6x,ZBOE=lx,則有6%+7%+7x=180。，求出x=9。，再求/AO廠即可.

【詳解】(1)解：QNFOD=90。,ZAO尸=42。，

ZAOD=132°f

\'ZAOD=ZBOCf

.\ZBOC=132°,

?.?OE平分/BOC,

/.ZBOE=-ZBOC=66°；

2

(2)QNBOD:NBOE=6:7,

設NBQD=6x,ZBOE=7x,

\'ZBOE=ZCOEf

...6%+7%+7%=180°,

.\x=9°,

:.ZBOD=54°,

ZCOA=ZBOD=54°,

/.ZAOF=90°-54°=36°.

18.10°

【分析】本題主要考查了角的和差，平角定義，先根據平角定義求出N3OC的度數，再根

據ZCOE=ZBOE-ZBOC得出答案.

【詳解】解：ZAOC+ZBOC=180°,ZAOC與ZBOC的度數之比為5:4,

4

ZBOC=180°x——=80°.

5+4

又NBOE=ZAOE=90°,

ZCOE=NBOE-NBOC=90°-80°=10°.

19.(1)見解析

(2)36°

【分析】(1)按要求作圖即可；

(2)利用垂直定義得出NOOE的度數，再利用角平分線的定義得出N80D的度數，最后求

出尸的度數即可.

此題主要考查了垂直的定義和角平分線的定義，得出NDQE的度數是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：作圖如下：

F

(2)解：-OF±CD,

:./DOF=90°,

ZEOF=63°,

ZDOE=90°-63°=27°,

;OE平分NDOB,

ZBOD=2ZDOE=2x27°=54°,

ZBOF=ZDOF-ZBOD=90°-54°=36°.

20.(1)50°；40°

(2)尸=2c-40。

【分析】本題考查的是余角和補角的概念和性質，若兩個角的和為90。，則這兩個角互余;

若兩個角的和等于180。，則這兩個角互補.

(1)根據互余的概念求出/EOD,根據角平分線的定義求出NAOD,結合圖形計算即可;

(2)根據互余的概念用。表示/EOD,根據角平分線的定義求出/AOD,結合圖形列式計

算即可.

【詳解】(1)?:NCOE與/EOD互余,ZCOE=40°,

ZEOD=90°-40°=50°,

?.?OE平分NAOD,

ZAOD=2NDOE=100°,

ZBOD=ZAOB-ZAOD=40°,

故答案為：50°；40°；

(2)vZCOE=a,且/COE與ZEOD互余，

:.NEOD=90°—a,

?rOE平分/AOD

ZAOD=2(90°-a),

"+2(90。-0=140。

解得，^=2a-40°.

21.(1)40°

②ZAOD=2/COE,理由見詳解

【分析】本題考查角的計算，掌握角的和、差、倍角之間的關系是解題的關鍵.

(1)先求得NDOE=65。,再根據角平分線的定義可得N3OE=65。，