分式5類壓軸訓(xùn)練

01壓軸總結(jié)

目錄

壓軸題型一求使分式為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍..............................................1

壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值.................................................4

壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問題............................................................9

壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問題.......................................................18

壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問題..............................................24

02壓軸題型

壓軸題型一求使分式為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍

Y-I-4

例題：（23-24八年級(jí)下?廣東揭陽?階段練習(xí)）已知分式號(hào)的值是非負(fù)數(shù)，那么尤的取值范圍是（）

X

A.%>-4且"0B.x>-4C.x0D工2-4且"0

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?湖南長沙?階段練習(xí)）若分式三U的值為正，則》的取值范圍是（）

x

A.x>0B.x>—C.—D.x>—且xwO

222

Y—3

2.（23-24八年級(jí)上?山東荷澤?期中）若分式一的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是.

X

2Y-1

3.（23?24八年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）若分式等J的值為正數(shù)，則x的取值范圍是_______.

x+5

2

4.（23-24八年級(jí)上?山東威海?階段練習(xí)）若分式-一巴一的值為正，則。的取值范圍為

2a-7

5.（23-24八年級(jí)下?全國?假期作業(yè)）當(dāng)x的取值范圍是多少時(shí)：

3x—6

（1）分式若r的值為負(fù)數(shù)？

X+1

（2）分式？5r+7的值為正數(shù)？

1-X

（3）分式5學(xué)r+17的值為負(fù)數(shù)？

1-X

壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值

例題：（2024七年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）對(duì)于非負(fù)整數(shù)x,使得T是一個(gè)正整數(shù)，則x可取的個(gè)數(shù)有

x+2

（）

A.3B.4C.5D.6

鞏固訓(xùn)練

I.（23-24八年級(jí)上?全國?課堂例題）若分式一J的值是正整數(shù)，則加可取的整數(shù)有（）

m-2

4.4個(gè)3.5個(gè)C.6個(gè)D8個(gè)

2.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?期末）若》及「都是正整數(shù)，則所有滿足條件的x的值的和是.

3.（23-24七年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）若分式乎?的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為

2x-l

4.（23-24八年級(jí)上?北京海淀?階段練習(xí)）若代數(shù)式三的值為正整數(shù)，則整數(shù)x的值為____.

x-2

5.（23-24八年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）若x取整數(shù)，則使分式等1的值為整數(shù)的x的值有個(gè).

6.（2024八年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假

分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可以化為帶分?jǐn)?shù)，如：■!=?=2+3=2].我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字

母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí),

X—1丫2Q2Y

我們稱之為“真分式”.如,這樣的分式就是假分式；再如：上7,自這樣的分式就是真分

式.類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如"=（x+l卜2=]_2.

X+1x+lX+1

解決下列問題：

（1）分式3是一（填“真分式”或“假分式”）；

（2）將假分式*+以-3化為帶分式；

x+2

（3）先化簡至二1一￡±1十三二L,并求X取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

x-1xx-2x

壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問題

例題：（2024九年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）觀察下列等式:

22

第1個(gè)等式：——1-2=1；

1

3?cc1

第2個(gè)等式：-----2—2=—；

22

421

第3個(gè)等式：on

33

52cl

第4個(gè)等式：71

44

6：。1

第5個(gè)等式：-----5—2=—；

55

按照以上規(guī)律，解決下列問題

⑴寫出第6個(gè)等式：_；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含"的式子表示），并驗(yàn)證其正確性.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）觀察下列等式：

_一_

第1個(gè)等式：jJJLY;

i+ii+iu+iju+iJ

第2個(gè)等式：2---M3m2；

2+12+1U+1J(2+U

第3個(gè)等式：___LJ

3+13+1(3+U(3+U

---M」/2；

第4個(gè)等式：

4+14+1U+1JU+l)

根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題.

（1）直接寫出第5個(gè)等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并證明.

112112

2.(24-25九年級(jí)上?安徽宣城?開學(xué)考試)①:-；=②:一±=看^；③

261x2x36122x3x4

J___12

12-20-3x4x5；■"

(1)根據(jù)上面3個(gè)等式存在的規(guī)律寫出第4個(gè)等式；

(2)用含〃的代數(shù)式表示出第〃個(gè)等式，并證明.

Y3V5/9

3.(24-25八年級(jí)上?全國?課后作業(yè))觀察下面一列分式：—,-今，彳，-與，…(其中"0).

y了y了

(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個(gè)分式；

(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第〃(〃為正整數(shù))個(gè)分式，并簡單說明理由.

4.(22-23八年級(jí)下?山東青島?階段練習(xí))觀察下列各式:

1111111111111111

廠蘇一萬一葭12-3^4-3-4,20-4^5-4-5；?一江一二一不

(1)由此推測卷=

(2)請(qǐng)你用含字母m的等式表示一般規(guī)律(加表示整數(shù))

121

(3)請(qǐng)直接用②的規(guī)律計(jì)算(一)(—)飛-1)(—)+(1加-2)的值?

5.（23-24七年級(jí)下?安徽安慶?階段練習(xí)）觀察下列等式:

第1個(gè)等式:

第2個(gè)等式:

第3個(gè)等式:

第4個(gè)等式:

按照以上規(guī)律，解答下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的等式表示），并證明.

6.（23-24八年級(jí)下?安徽滁州?期末）有下列等式:

心22

(7)1X—=--,

22-13x1

733

332-13x2

<>544

342-13x3

④2x￡=工,

52-13x4

按照以上規(guī)律，解決下面問題:

（1）寫出第⑤個(gè)等式:

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含正整數(shù)〃的等式表示），并說明猜想的正確性.

7.(23-24九年級(jí)下?安徽合肥?階段練習(xí))觀察下列等式:

3x1-1(12x1)4

第1個(gè)等式:----------x1+——=3--------.

3x1+11、1+1J1+1'

3x2-1<2x2、4

第2個(gè)等式:-----------------X=3

3x2+112+1,2+1

3x3-1)(2x3、IC4

第3個(gè)等式:----------------X=3

3x3+113+1,13+1

3x4-1<2x4、4

第4個(gè)等式:-----------------X=3

3x4+114+1,4+1

按照以上規(guī)律，解答下列問題：

(1)寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含"的等式表示)，并證明.

壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問題

例題：(2024八年級(jí)下?全國?專題練習(xí))解方程:

2

①々=----711的解％=

X+1X+1

C24

②~~7=-------1的解工=

X+1X+1

C3

③-7=--------1的解X二

X+1X+1

Q

④白=--------1的解X=

X+1X+1

(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出⑤，⑥個(gè)方程及它們的解；

(2)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)"的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解.

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23八年級(jí)下?江蘇常州?期中)先閱讀下面的材料，然后回答問題:

方程x+，=2+］的解為玉=2,x,=：；

x2-2

方程x+』=3+:的解為再=3,%=［；

x33

方程X+L=4+J的解為玉=4,%=；;

X44

(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于X的方程無+!=。+工的兩個(gè)解是一

xa

(2)解方程：y+22中==，可以變形轉(zhuǎn)化為x+,=a+1的形式，寫出你的變形求解過程，運(yùn)用(1)的結(jié)

>+24xa

論求解.

2.(23?24八年級(jí)下?甘肅天水?階段練習(xí))解方程:

12

①[=[-1的解是1=0;

x+1x+1

74

②三=」7-1的解是x=l；

x+1x+1

③工=二-1的解是x=2；

x+1X+1

4X

@—T=—7—1的解是％=」

x+1x+1—

(1)請(qǐng)完成上面的填空；

(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個(gè)方程和它的解」

(3)請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)"的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解?

3.(21-22八年級(jí)下?江蘇鹽城?階段練習(xí))閱讀理解：下列一組方程：①X+2=3,②X+9=5,

③X+—=7,…小明通過觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利地求出了前三個(gè)方程的解，他的解過程如

X

i77x33x4

下：由①xH----x--=1+2得x=l或x=2；由②xd--------=2+3得x=2或x=3；由③XH--------=3+4得％=3

或％=4,

(1)問題解決：請(qǐng)寫出第四個(gè)方程;

(2)規(guī)律探究：若〃為正整數(shù)，則第〃個(gè)方程是其解為；

2

⑶變式拓展：若〃為正整數(shù)，關(guān)于X的方程X+：號(hào)=2"-1的一個(gè)解是x=10,求〃的值.

4.(21-22八年級(jí)上?云南昭通?期末)先閱讀下面的材料，然后回答問題：

方程x+，=2+1的解為M=2,%=：；

x22

方程》+工=3+:的解為乂=3,

x33

方程x+^=4+J的解為M=4,x2=1；

無44

(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+'=6+J的解是一；

X0

(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+,=。+1的解是「

xa

(3)由(2)可知，在解方程＞+W=；時(shí)，可以變形轉(zhuǎn)化為x+L=a+，的形式求值，按要求寫出你的變

y+1Jxa

形求解過程.

9_1?717

(4)利用(2)的結(jié)論解方程：上r=+'r=

x+22x-l4

壓軸題型五與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問題

例題：(23-24八年級(jí)下?江蘇宿遷?期末)定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和

的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”

,x+1x—1+2x—122

如---=-------=----+----=1+------,

X—1X—1X—1X—1X—1

2Q+3(〃-1)+2”一，

a-\Q—1a-\

則二和八24+3都是“和諧分式”.

X-1a-1

(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：—(填序號(hào));

①E②？③三④中

x2x+1y

化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形為：土二23

(2)將“和諧分式，

x-1x-1

(3)當(dāng)x取什么整數(shù)時(shí)，"和諧分式"『一2X3的值為整數(shù).

x-1

鞏固訓(xùn)練

1123

1.(23-24八年級(jí)下?陜西咸陽?階段練習(xí))定義一種新運(yùn)算：a^b=3a--,例：2X4=3x2-：=丁.根據(jù)

b44

這種運(yùn)算法則，完成下列各題：

(1)計(jì)算：

⑵計(jì)算：(x+lW-2)；

(3)計(jì)算：----※(苫+y)2'2?

x-yx-y

2.(22-23九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))定義：若兩個(gè)分式的差為2,則稱這兩個(gè)分式屬于“友好分式組”.

⑴下列3組分式:

①々與三；②々與g±|；③4與誓其中屬于“友好分式組，，的有（只填序

號(hào)）；

（2）若正實(shí)數(shù)a,b互為倒數(shù)，求證孚］與佇萼屬于“友好分式組”；

a+ba+b

（3）若。力均為非零實(shí)數(shù)，且分式空二與屬于“友好分式組”，求分式匚好的值.

a2-4b2a+2.bab

AA

3.（23-24八年級(jí)上?湖南長沙?階段練習(xí)）定義：形如與（2力0）的式子，若/>8,則稱"為“勤業(yè)式”；若

DB

AAA

A<B,則稱』為“求真式"；若W的值為整數(shù)，則稱W為“至善式”.

BBB

（1）下列式子是“求真式”的有（只填序號(hào)）；

①；②22^1③2+1

V2+1萬-3.14a2+2a+2

A

⑵若/=4/T+1,5=2Y+3X-4,請(qǐng)判斷有為“勤業(yè)式”還是“求真式”，并說明理由；

B

A

（3）若4=X3+3/一4,B=X2+3X+2,且x為整數(shù)，當(dāng)有為“至善式”時(shí)，求x的值.

4.（23-24七年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí)）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的

和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”.如若

?丫_

x+1x—1+2x—12122x—32x+2—52x+2—5.—5r11a

-----=-----------=------+------=I+------,==+=2+------,貝i]w和都是，，和

x-lx-lx-lx-\x-lx+\-------x+l--------x+lx+l--------x+lx-lx+1

諧分式”.

（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）：

①兇；②.③W；④？⑤，+6：+1

x2x+1y歹+3

（2）將“和諧分式”土幺至化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為.

6Z—1

（3）應(yīng)用先化簡空2-二十4;并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

x+1XX-x

5.（23-24八年級(jí)下?全國?期中）閱讀理解:

定義：若分式A和分式8滿足="（"為正整數(shù)