2024-2025高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十二大題型歸納（拔尖篇）

【人教A版（2019）］

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式

1.（2023下?河南鄭州?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛即｝,滿足an-an_i=2,&=0,則—=（）

A.18B.36C.72D.144

2.（2023下?河南南陽(yáng)?高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛an｝的項(xiàng)滿足與+1=熱即，而的=1,則廝=（）

2211

A'（九+1）271s+1）C?2n_1D-2rl-1

3.（2023下?遼寧朝陽(yáng)?高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛a九｝中，ar=2,a2=?nan+2=l（neA^*）.

⑴求的，密的值；

（2）求｛%J的前2023項(xiàng)和S2023?

4.（2023上?江蘇鹽城?高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛。九｝滿足的=2,且的。2a3…%i=幾+1（幾EN*）.

⑴求數(shù)列｛⑥J的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)匕=器，且數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為土，若無+高23恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型2N數(shù)列的周期性的應(yīng)用。I

1.（2023下?甘肅慶陽(yáng)?高二校考期末）已知數(shù)列｛廝｝滿足的=3,即+1=勺,neN*,則。2023=（）

Gn+1

II

A.3B.—C.—D.-2

23

2.（2023下?四川涼山?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛。九｝的前?1項(xiàng)和為九=（2九一l）cos?m,則S2023=（）

A.1012B.-1012C.2023D.-2023

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛&J中，的=3,a2=6且%^2=an+1-an,試求的024的值?

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)列｛&J中，的=1,劭=3,an+2=an+1—an(ne/V+),求S202L

大項(xiàng)Z最/」項(xiàng)

1.（2023下?山東濰坊?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)積7；=1-^n,則曲的最大值與最小值的和為

（）

A.-3B.-1C.2D.3

2.（2023上?河北唐山?高二唐山一中校考期末）關(guān)于“函數(shù)”幻=就"的最大、最小值與數(shù)列廝=去是

的最大、最小項(xiàng)”，下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（X）無最大、最小值，數(shù)列｛即｝有最大、最小項(xiàng)

B.函數(shù)/'（X）無最大、最小值，數(shù)列｛5｝無最大、最小項(xiàng)

C.函數(shù)/（x）有最大、最小值，數(shù)列｛5｝有最大、最小項(xiàng)

D.函數(shù)/'（X）有最大、最小值，數(shù)列｛an｝無最大、最小項(xiàng)

n

3.（2023上?江蘇?高二海安市曲塘中學(xué)校考期中）已知數(shù)列｛廝｝的前見項(xiàng)和為%,Sn=2+3.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式即；

（2）若數(shù)列｛%?｝滿足：b=-,求數(shù)列｛.｝的最大項(xiàng).

nan

a九+i=—ccnH—bn

工：工,%>0,

^n+i2an2bn

瓦>0.1

(1)求證：｛%?,｝是常數(shù)列；

(2)設(shè)%=4,瓦=1,求a九的最大項(xiàng).

題型44等差數(shù)列的判定與證明

1.（2023上?江蘇?高三統(tǒng)考期末）&+。9=2a6”是“數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.（2023上?上海閔行?高三閔行中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝滿足與+an+4=an+1+an+3,那么（）

是等差數(shù)列

A.｛。九｝B.1｝C.｛。2?1｝D.｛。3?1｝

3.（2023上?山東威海?高二統(tǒng)考期末）設(shè)%為數(shù)列｛%J的前w項(xiàng)和，〃為數(shù)列｛S"的前〃項(xiàng)積，已知白=用匚.

5n

（1）求s「s2；

（2）求證：數(shù)列｛七｝為等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

4.（2023上?廣東東莞?高二校考期末）己知數(shù)列｛廝｝中，的=2,a=2--.

n+1an

（1）證明數(shù)列｛七｝是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式與；

（2）若對(duì)任意neN*,都有a*a介退…W三上2八成立，求k的取值范圍.

利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題

1.（2023下?北京順義?高二統(tǒng)考期末）數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，若。3=3,工+二=&則a「as=（）

a5

】a5

5

-5c9

A.2B.D.15

2.（2023上?河南許昌?圖三校考期末）已知等差數(shù)列｛&J滿足%+怒+。8+—=",貝！J%1—2a9的值為

（）

A.-3B.3C.-12D.12

3.（2023下?江西上饒?高二校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛的J中，

⑴若。2+。4+。6+。8+。10=90,求—1a12；

（2）已知的+2a8+。15=64,求2a9一的（）?

4.（2023下?甘肅白銀?高二校考期末）已知在等差數(shù)列｛%J中，的+他=18，%=15.

（1）求的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹耳島Z｝的前幾項(xiàng)和無?

求等差數(shù)列的前九項(xiàng)和及其最值。|

1.（2023下?遼寧?高二校聯(lián)考期末）等差數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為%,且的+a3=10,a5+a7=26,則S7=（）

A.63B.45C.49D.56

2.（2023上?湖南株洲?高三校聯(lián)考期末）等差數(shù)列｛a"是遞增數(shù)列，公差為d,前幾項(xiàng)和為Sn,滿足a7=3a5,

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d<0B.>0

C.當(dāng)n=5時(shí)立最小D.Sn>0時(shí)打的最小值為8

3.（2022上.黑龍江雞西?高二校考期末）已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，a3=2,a9=14

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式

⑵求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和與及a0.

4.（2023下?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛an｝,Sn是數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和，且S?=6,S5=f.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）求％的最大值，并求Sn取最大值時(shí)幾的值.

題型

1.（2023上?河南開封?高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列｛an｝中,%=14,瑞=箝一3,則（）

A.償+3｝是等比數(shù)列B.償-3｝是等比數(shù)列

C.像+|｝是等比數(shù)列D.償—|｝是等比數(shù)列

2.（2023上?廣東?高二校聯(lián)考期末）己知數(shù)列5｝的前"項(xiàng)和為無,的=l,Sn+i=Sn+2an+1,數(shù)列■［一二）

kanan+1j

的前九項(xiàng)和為〃，幾eN*,那么下列選項(xiàng)正確的是（）

①｛即+1｝是等差數(shù)列②｛斯+1｝是等比數(shù)列③冊(cè)=2"—1④｛*—1｝是等比數(shù)列

A.①③B.②③C.①④D.②④

3.（2023下?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列｛5｝中，的=1,nan+1=2（n+l）an+n+2.

⑴證明｛午斗是等比數(shù)列；

71

（2）若匕=log2號(hào)F，求數(shù)列｛匕2：?｝的前項(xiàng)和先

4.（2023下?河南鄭州?高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為%,已知的=2,Sn+1-4an+2.

（1）設(shè)“=廝+1-2即，證明：數(shù)列｛g｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列獴｝的前n項(xiàng)和7；.

等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用—01

“2024=3^2019，83

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)積為%,且若刈=1。即，

則瓦023+。3021=（）

2.（2022?四川樂山?統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，如果41+。2=16,a3+a4=24,那么。7+6（8=（）

A.40B.36C.54D.81

a30

3.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列｛5｝的公比q=2,_S.a1a2?3302,求a3a6a9…。30的值?

4.（2023上?高二課時(shí)練習(xí)）已知是一個(gè)無窮等比數(shù)列，公比為q.

（1）將數(shù)列中的前％項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)

與公比分別是多少？

(2)取出數(shù)列｛a"中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公

比分別是多少？

(3)在數(shù)列｛即｝中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是,它的公比

是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎?

求等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和及其最值。I

n

1.(2023下?江西贛州?高二統(tǒng)考期末)己知數(shù)列的前"項(xiàng)和為工,且。3=2,anan+1=2,則下列結(jié)

論正確的是()

A.數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛Sn-3｝為等比數(shù)列

501011

C.Si。。=3(2—1)D.GL2024=2

2.(2023下?北京豐臺(tái)?高二統(tǒng)考期中)己知等比數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為幻,若—的＜￡12＜的，則()

A.｛廝｝為遞減數(shù)列B.｛an｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛S"有最小項(xiàng)D,數(shù)列｛S2有最大項(xiàng)

3.(2023下?陜西漢中?高二校聯(lián)考期末)已知等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn,a4=7,S2=9.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛6n｝滿足刈=2aL3,求數(shù)列｛.｝的前ri項(xiàng)和兀

4.(2023下?貴州六盤水?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%=2(an-DOWN*).

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)乳=(n-l)(n+l)an,求數(shù)列｛4J的前幾項(xiàng)和七.

等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

1.（2023?重慶云陽(yáng)?重慶市校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為0,設(shè)d=an.（ieN*）,若改=2,

%=5,%=14,數(shù)列｛九｝為等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)中一定是數(shù)列。?｝中的項(xiàng)是（）

A.。81B.。121C.。122D?。123

2.（2022下?浙江麗水?高一統(tǒng)考期末）已知Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，公差dH0,%=1,若成

等比數(shù)列，則汽的最小值為

61rl+3

A.—B.2C.V10-1D.-

64

3.（2023上?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列江功的前葭項(xiàng)和為無,公差d大0,且S3+$5=50,由，

a4,%_3成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)｛段｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

①求數(shù)列｛篇｝的前n項(xiàng)和"；

②若不等式27；-Sn+2n2＜0對(duì)一切nGN*恒成立，求實(shí)數(shù)2的最大值.

4.（2023上?寧夏銀川?高二銀川二中校考階段練習(xí)）己知數(shù)列是等差數(shù)列，a2+a5^16,a5-a3=4.

⑴求｛即｝的通項(xiàng)公式和玄葭乙心；

（2）已知出?｝是等比數(shù)列，對(duì)于任意正整數(shù)k,若2214九42上—1,貝防上＜即＜尻+「

①當(dāng)k＞2時(shí)，求證：2上一1＜外＜2上+1；

②求｛與｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

題型n卜數(shù)列的求和

1.(2022上.廣東廣州?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/O)滿足/(x)+/(l-%)=2,若數(shù)列｛即｝滿足：an=

⑴求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛力九｝滿足瓦=bn=--—(n>2)，數(shù)列｛b九｝的前〃項(xiàng)和為先,若％<2a九+i對(duì)一切幾EN*恒

3an-an+1

成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

2.(2023上?河北石家莊?高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末)已知等差數(shù)列｛an｝滿足：的=1,d=2,數(shù)列｛,｝

滿足瓦=3,bn寸2且，4(6Tl—bn+1)—bn—2(nEN).

(1)證明：數(shù)列｛匕一2｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛cn｝滿足cn=,求｛cn｝的前幾項(xiàng)和

3.(2022上?黑龍江大興安嶺地?高二校考期末)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=3,an+1=2an-n+l(nGN*).

(1)證明數(shù)列｛冊(cè)-n｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a)，數(shù)列｛如與+J的前幾項(xiàng)和為心，若對(duì)于任意“eN*都滿足7；<一小+1成立，求實(shí)

數(shù)m的取值范圍.

+

4.(2023上?重慶?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛an｝滿足的=1,an+1=［廝為奇數(shù)，______,neN*.從

I2am九為偶數(shù)

①6n=a271-1+2，②6n=4271+1-口271-1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問題.(注：如果

兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分).

(1)寫出九，％;

(2)證明｛g｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式;

(3)求數(shù)列｛冊(cè)｝的前2n項(xiàng)和S2n.

題型12k數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.(2023上?高二課時(shí)練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式5GN+)：

(1)-1+3—5+…+(-l)n(2n-1)=(-1)%；

(2)(n+l)(n+2)■■■(n+n)=2nX1x3x???X(2n—1).

2.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)是否存在正整數(shù)ni使得=(2n+7).3n+9對(duì)任意正整數(shù)n都能被m整除,

若存在，求出最大的小的值，并證明你的結(jié)論.若不存在說明理由.

3.(2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí))證明：凸“邊形的內(nèi)角和等于(n—2)n(n23,neN*).

4.(2023上?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列：之，工,名，…，—,...,設(shè)為為該數(shù)列的前n項(xiàng)和.計(jì)算Si，

1X22X33X4Tl'(TL-ri.)

s2,S3,S4的值；根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，猜想%=2+三+義+…+一下(n為正整數(shù))的表達(dá)式，并用

"J""1x22x33x4nx(n+l)

數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十二大題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式

1.(2023下?河南鄭州?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛a下,滿足的i-an_i=2,a1=0,則的。=()

A.18B.36C.72D.144

【解題思路】利用累加法計(jì)算即可.

【解過程】由題后、可知：——。8+,,?。3—。2+。2—=。10—@1—9x2今。10=18,

故選：A.

2.(2023下?河南南陽(yáng)?高二校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛時(shí)｝的項(xiàng)滿足即+1=白M，而的=1,則&1=()

?(n+l)2?n(n+l)*2n-l*2n-l

【解題思路】由即+1=2即，可得皿=2,然后利用累乘法可求得結(jié)果

n+2"ann+2

【解答過程】由an+iu^an，得皿=T，

,L

n+2ann+2

所以也=工，%=2,包=三，...，^i=三，工=巴二，(n>2),

3。24。35—2九。九一1?1+1

所以也.”.幺..…1X-X-X--X—X—,

ata2a3an_2an-i345nn+l

所以%=7之，

n(n+l)

因?yàn)榈?1,所以Gin=.+1y

因?yàn)榈?1滿足上式，所以。幾二版樂，

故選：B.

a=ne

3.(2023下?遼寧朝陽(yáng)?高二校聯(lián)考期末)已知數(shù)列｛&J中，％,=2,a2=ann+2l(

⑴求a^,。5的值;

(2)求｛5｝的前2023項(xiàng)和S2023?

【解題思路】(1)由遞推公式令幾=1和幾=3代入即可得出答案；

(2)由遞推公式可證明數(shù)列｛an｝是以4為周期的周期數(shù)列，再由周期數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】(1)當(dāng)n=l時(shí)，=1,所以&3=(；當(dāng)？1=3時(shí)，a3a5=L所以=2.

（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2a4=1,所以備=2.

由％1冊(cè)+2=1知的l+2%l+4=1，所以=%1+4，故數(shù)列｛%J是以4為周期的周期數(shù)列，

艮口。4九==2,d471+1=01=2,04九+2=a2=29。4九+3=。3=刁，

所以$2023=505（%+。2+。3+。4）+。2021+。2022+“2023=505X5+2+-+-=2528.

4.（2023上?江蘇鹽城?高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛&J滿足a[=2,且由a2a3…%=兀+15eN*）.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)e=紫，且數(shù)列｛“｝的前"項(xiàng)和為無,若如+923恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解題思路】（1）寫出當(dāng)nN2時(shí)的等式，再與原式兩式相除求解即可；

（2）由（1）%=空，再根據(jù)錯(cuò)位相減求解可得%=3-箸，再化簡(jiǎn)不等式可得幾>（弋產(chǎn)）,再設(shè)=

婦岑坦，根據(jù)作差法判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得最大值.

【解答過程】（1）的?劭?的?…。九二九+1（九eN*）,

當(dāng)九>2時(shí),?02?03??一an-l=九，

兩式相除得；斯=晦，

〃n

又的=2符合上式，故Q九=

TLCl-j^n+1

(2)b

n~2^~~2^~

S九=2+?+1+…+彳,

n222232n

1_234,n九+1

盧=7+/+拉+…+7+和

錯(cuò)位相減得：

is=i+4+4+-+4-%，

27n122232n2n+1

Z(l271)n+13n+3

=1+

1_|2-x22n+1

即%=3一等，由%+今23,得42咤等

設(shè)/(n)=f,貝，5+1)=”產(chǎn),

2

故/5+1）―/5）=（，『）(n+l)(n+3)_-n-2n+2

27i-2n+1

-n2-2n+2

由/(幾+1)-/(n)=

2n+1

由neN*可知，一4一2九+2=-(n+I)2+3隨著n的增大而減小,

故一砂-2n+2<-l-2+2=-l<0,

故/(n+1)-/(n)<0恒成立，知f(n)單調(diào)遞減，

故f(n)的最大值為f(l)=4,則424.

題型2N數(shù)列的周期性的應(yīng)用

1.(2023下?甘肅慶陽(yáng)?高二校考期末)已知數(shù)列｛an｝滿足ai=3,an+i=好,neN*,則a2023=()

an+1

11

A.3B.-C.—D.-2

23

【解題思路】根據(jù)遞推形式求數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，再求值.

【解答過程】的=3,a2=的=—/。4=-2,附=3,

所以｛%J是周期數(shù)列，且周期為4,

又2023=4x505+3,所以@2023=。3=一(

故選：C.

2.(2023下?四川涼山?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為Sn,冊(cè)=(2n—l)cosmi,則S2023=(

A.1012B.-1012C.2023D.-2023

【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到的+。2=2,%+。4=2,…，的021+Q2022=2,然后求和即可求解.

【解答過程】因?yàn)閿?shù)列｛。九｝的前幾項(xiàng)和為Sn,且冊(cè)=(2n-l)cosnn,

則的=COSIT=-1,a2=3cos2n=3,

a3=5COS3TT=—5,a4=7cos4n=7,

所以Q]+a2=2,6X3+(Z4=2,

依次類推,。5+。6=2,…，。2021+。2022=2,。2023=(2X2023—1)X(―1)=—4045

所以$2023=%,+劭++--H。2022+a2023

-(。1+。2)+(a3+。4)■1----(a2021+a2022)+a2023

=1011x2-4045

=一2023.

故選：D.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))數(shù)列｛a九｝中，的=3,。2=6且%i+2=an+i-%i，試求02024的值?

【解題思路】利用遞推公式可驗(yàn)證出數(shù)列｛%J為周期為6的周期數(shù)列，從而可得。2024.

【解答過程】數(shù)列｛%J中，的=3,a2=6且冊(cè)+2=an+1-an,

令九=1,則%=。2—%=6-3=3

令九=2,貝!J*=。3一。2=3-6=—3

令72=3,則。5==—3—3=—6

令九=4,貝!=劭一a4=-6一(—3)=-3

令九=5,則%=%—詼=—3—(—6)=3

令九=6,則為=劭一=3—(—3)=6

???數(shù)列他九｝為周期為6的周期數(shù)列

????。2024=a6x337+2==6.

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)列中，4=1,。2=3,an+2=an+1-an(ne/V+),求S202L

【解題思路】根據(jù)遞推式依次計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為6,用6項(xiàng)的和為0.由

此易計(jì)算出和S2021?

【角牛木王】由—?1,。2=3,=2,。九+2=。71+1―—九口=-1，。5=-3,。6=—2,

。7=1，。8=3，。9=2,。10=-1，=-3,。12=-2,貝UT—6,

且+%+。3+。4+。5+。6=0，貝n2021=+。2+。3+。4+。5=?,

求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)。|

1.(2023下.山東濰坊.高二統(tǒng)考期末)若數(shù)列｛%J的前幾項(xiàng)積7；=1-Q，則須的最大值與最小值的和為

()

A.-3B.-1C.2D.3

【解題思路】由題可得。九=1+高，利用數(shù)列的增減性可得最值.

【解答過程】I,數(shù)列｛時(shí)｝的前幾項(xiàng)積B=1一V八，

當(dāng)九=1時(shí)，ar=^|,

當(dāng)?iN2時(shí),Tn_]=1-(n—1),

T

n12n-15.,2

an=---=—2----=-----=14----------，

Tn-il-^(n-l)2n-172n-17

n=1時(shí)也適合上式，

??CLfi

=1+2n-17

.?.當(dāng)nW8時(shí)，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減，且％<1,

當(dāng)nN9時(shí)，數(shù)列｛即｝單調(diào)遞減，且廝>1,

故斯的最大值為ag=3,最小值為。8=-1，

???斯的最大值與最小值之和為2.

故選：C.

2.(2023上?河北唐山?高二唐山一中校考期末)關(guān)于“函數(shù)/(久)=募三的最大、最小值與數(shù)列％=募是

的最大、最小項(xiàng)”，下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(X)無最大、最小值，數(shù)列｛即｝有最大、最小項(xiàng)

B.函數(shù)/(%)無最大、最小值，數(shù)列九｝無最大、最小項(xiàng)

C.函數(shù)/(%)有最大、最小值，數(shù)列｛a九｝有最大、最小項(xiàng)

D.函數(shù)/(%)有最大、最小值，數(shù)列｛%J無最大、最小項(xiàng)

【解題思路】依題意可得"X)+根據(jù)反比例函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與值

域，即可得到數(shù)列｛廝｝的單調(diào)性，即可判斷.

【解答過程】解：函數(shù)/)=肅三=1傳|)=[胃)=木+鼻)，

令g(%)=1+2Jir由2%-與w。，解得％wiogzT,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?|%wlogz^｝，

2

因?yàn)?%-y>一孩且2%-y0,所以I*￡(一8,一卷)U(0,+8),

2

則2-15W(一8,-u(0,+oo),則g(%)E(-8,白U(1,4-00),所以函數(shù)/(%)無最大、最小值；

2

又y=§在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，y=2一與在定義域上單調(diào)遞增，

所以/'(%)在(一810g2葭)，(10g2^,+8)上單調(diào)遞減，且當(dāng)X>10g2m時(shí)/'(%)>。，

因?yàn)?<log2y<log28=3

對(duì)于數(shù)列廝=焉三，

則a[=0>a2=—/a3=6>a4>a5>■■■>0,且n>3時(shí)即>0,

所以數(shù)列｛七｝有最小項(xiàng)。2=-段有最大項(xiàng)。3=6.

故選：A.

n

3.(2023上?江蘇?高二海安市曲塘中學(xué)校考期中)已知數(shù)列｛。九｝的前〃項(xiàng)和為%,Sn=2+3.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式&l;

(2)若數(shù)列｛小｝滿足：b=~,求數(shù)列｛匕｝的最大項(xiàng).

nan

【解題思路】⑴根據(jù)與=1求出通項(xiàng)公式；

2九3九一1，九—乙

2

⑵求出瓦=3當(dāng)n22時(shí)，計(jì)算出滬=；0+1)，萼=2>1,當(dāng)nN3時(shí)，:針<1,從而得到數(shù)列也｝

的最大項(xiàng).

【解答過程】(1)Sn=271+3中，令71=1得的=2+3=5,

當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn_i=2"+3—2"T-3=2/1,

其中21T=0H5,

故斯二2

(2)當(dāng)?1=1時(shí)，b=—=

r5

”2

當(dāng)7222時(shí)，bn=—>0,

囿皿=(n+l)：.空=標(biāo)+2.+1=1/1

J2

bn-2"n2n22\nJ'

當(dāng)n=2時(shí)，察=J〉1,

t)28

當(dāng)7123時(shí)，-+1<-,-(-+1)<-X—<1,故生已<1,

n32\nJ29bn

故71>2時(shí)，｛aJ的最大項(xiàng)為星=p

4

又出>瓦，故數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為為=

CLn+1=一。九H—bn

1J]：1，的>0,

---=—?--+----

%+12a2b

(nn

瓦>0.

(1)求證：(an-bn｝是常數(shù)列;

(2)設(shè)的=4,瓦=1,求an的最大項(xiàng).

【解題思路】(1)將所給等式化簡(jiǎn)可得2/+1=與+%且g+i=四等，再代入化簡(jiǎn)即可；

an+bn

(2)由(1)可得an+i=Y與+2)，再代入判斷可得為+1-2>0,進(jìn)而利用作差法可得｛an｝為遞減數(shù)列,

進(jìn)而可得最大項(xiàng)為的=4.

=一an4—bfi

ii2i：i，.??2^+1=廝+g,十=翳，?.?%+】=等，

......——------1-----°n+l^anDnan+Dn

》n+l2an2bn

?.?,+i=箸也，Aanbn=an_rbn_r==arbr,因此，數(shù)列｛an?支｝是常數(shù)列;

^an+l

(2)由(1)cinbn=4瓦=4,即b九=且%1+i=—un+—bn,整理得%J+I=—(。九+屋)，

A5

Cl]=4,(12=

?*?a1>0@2>0=。3>0=',,>0,

當(dāng)九之2時(shí)，Q九+1—2=5（。九+葭）-2=（黑）>0，，。九+1>2,

b?_an_an即_4-謚

,,。?1+1—

222an'

an>2,a九+1-a九V0,，數(shù)列｛時(shí)｝單調(diào)遞減，a九的最大項(xiàng)為4.

題型41等差數(shù)列的判定與證明

1.（2023上?江蘇?高三統(tǒng)考期末）“a3+。9=2a6”是“數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.

【解答過程】如果數(shù)列｛廝｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有。3+。9=2a6，

反之。3+cig-2a6成立，不一定有數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，

故選：B.

2.（2023上?上海閔行?高三閔行中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝滿足與+an+4=an+1+an+3,那么（

是等差數(shù)列

A.｛口兀｝B.｛^2n-11C.｛。2空｝D.｛^3nl

【解題思路】根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求得正確答案.

【解答過程】由+%1+4--a9+i+得。71+4—an+i—^-n+3—，

,,an+5~an+2=an+4~an+l<an+6~an+3=an+5~an+2,

故&1+6—an+3=an+3-an>即有。3(71+2)-a3(n+l)=a3(n+l)-a3n,

故數(shù)列｛。3工是等差數(shù)列.

故選：D.

3.（2023上?山東威海?高二統(tǒng)考期末）設(shè)S”為數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和，B為數(shù)列｛S"的前”項(xiàng)積，已知;=早

(1)求S1，S2；

⑵求證:數(shù)列

(3)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

【解題思路】(1)直接令9=早中的幾=1,兀=2可得答案;

Ml5n

「

(2)通過工=包二得到1_Snl

TnSnTn_lSn_1

(3)當(dāng)nN2時(shí)，通過廝=Sn-Sw-i可得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合.

【解答過程】⑴由去=早，Sn#。且S“力1,

當(dāng)72=1時(shí)，]='二==，得&=2,

dl

當(dāng)71=2時(shí)，工=包二二」一,得S2_3

T2S2SM'-2

(2)對(duì)于去:早①

當(dāng)nN2時(shí)，生=堂1二②,

Tn—l^n-1

①十②得當(dāng)=包匚xSn-l1

TnSnSn-lT=媼

即$―1=浮二]__S--i—+1,

dn-lS/i-15n-l-15n-l-1

又白=1,

???數(shù)列｛矗｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列;

(3)由(2)得二一=1+(n-1)=九,

SnT

1

“Sn-S3=；+1-(￡+1)=

當(dāng)九之2時(shí),-n(n-iy

又九=1時(shí)，的=Si=2,不符合廝=

2,71=1

1

n>2'

n(n-l)f

4.(2023上?廣東東莞?高二校考期末)已知數(shù)列｛&J中，的=2,an+1=2--

an

⑴證明數(shù)列｛尚｝是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式曲;

(2)若對(duì)任意neN*,都有詔?退?退…成式上2九成立，求k的取值范圍.

【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出‘：-;=1,又;=1,即可得到;=n，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式;

an+i—1an—1a^—1an—1

（2）經(jīng)化簡(jiǎn)可得，k>暗.令g=暗，根據(jù)求出r=2時(shí)，6n最大，即可得出k的取值范圍.

【解答過程】（1）證明：由已知可得每羊1,'------J=T------------J=*=i,

a九+1一12-------1tin-1tin-1Gn—1an~^-

an

又的=2,所以亡二1，所以數(shù)列｛占｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

所以---=1+（71—1）x1=M，所以a九—1=-,所以a九=—F1.

CLJI—17171

（2）由（1）知，a=-+l=—.

nnn

所以Qi。2a3…=2x|x￡x…x誓1=ri+1,所以后?^2,…欣=（九+I）2.

則由后?a外謁…成4k?2n可得,k隆:；：）?對(duì)任意九EN*,都成立.

令生=誓，假設(shè)數(shù)列｛“｝中第r（r￡N*）項(xiàng)最大，

22

-（r-+-l-）>--r--

當(dāng),22時(shí)則，有《靠：，即H一二二整理可得r2—2r—1<0

（r+iy（r+2）zr2>2

-—-2r+1

解得+所以2WrW&+l.

因?yàn)閞€N*,所以r=2,外=烏字=2

z224

又瓦=2,所以數(shù)列｛3｝中第2項(xiàng)最大，即%=然”<3對(duì)任意n€N*,都成立.

2'4

所以由kN唁對(duì)任意neN*,都成立，可得kN9

2714

4利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題

1.（2023下?北京順義?高二統(tǒng)考期末）數(shù)列｛&J是等差數(shù)列，若。3=3,工+工=3則a「a5=（）

。55

A.-B.5C.9D.15

2

【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解

【解答過程】因?yàn)閿?shù)列｛%J為等差數(shù)列，且a3=3,所以的+a5=2a3=6,

因?yàn)楣?工乏，所以山=去

所以所以=5,

的。551

故選：B.

2.(2023上?河南許昌?高三校考期末)已知等差數(shù)列｛&J滿足%+與+為+=",貝！J%i-2的的值為

A.-3B.3C.-12D.12

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若m+71=p+q則％+冊(cè)=即+Qq可得.

【解答過程】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，。3+。6+。8+=4%=12,解得=3,

?。7+=2aq,??a1]-2a9——CLY——3.

故選：A.

3.(2023下?江西上饒?高二校考階段練習(xí))在等差數(shù)列｛%｝中，

a

⑴若02+。4+。6+。8+10=90,求。9—1a12；

(2)已知a[+2a8+(15=64,求2a9—a10.

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+九=p+q,貝南巾+an=ap4-佝求解.

【解答過程】(1)在等差數(shù)列｛即｝中，g+%o=%+%=2a&

??a2+。4+。6+。8+=5a6=909

a6=18,

a9~。12=2(2。9一。12)=-(怒+a12~。12)=]。6=9.

(2)?a1+2a8+。15=4a8=64,

??CLQ=16.

??2a9=。10+。8。10=。8=16.

4.(2023下?甘肅白銀?高二校考期末)已知在等差數(shù)列｛即｝中，的+。5=18,a6=15.

(1)