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文檔簡介
2024-2025高二上學期期末復習第四章十二大題型歸納(拔尖篇)
【人教A版(2019)]
根據數列的遞推公式求數列的項、通項公式
1.(2023下?河南鄭州?高二統考期末)已知數列{即},滿足an-an_i=2,&=0,則—=()
A.18B.36C.72D.144
2.(2023下?河南南陽?高二校考階段練習)已知數列{an}的項滿足與+1=熱即,而的=1,則廝=()
2211
A'(九+1)271s+1)C?2n_1D-2rl-1
3.(2023下?遼寧朝陽?高二校聯考期末)已知數列{a九}中,ar=2,a2=?nan+2=l(neA^*).
⑴求的,密的值;
(2)求{%J的前2023項和S2023?
4.(2023上?江蘇鹽城?高二校聯考期末)已知數列{。九}滿足的=2,且的。2a3…%i=幾+1(幾EN*).
⑴求數列{⑥J的通項公式;
(2)設匕=器,且數列{g}的前〃項和為土,若無+高23恒成立,求實數a的取值范圍.
題型2N數列的周期性的應用。I
1.(2023下?甘肅慶陽?高二校考期末)已知數列{廝}滿足的=3,即+1=勺,neN*,則。2023=()
Gn+1
II
A.3B.—C.—D.-2
23
2.(2023下?四川涼山?高二統考期末)已知數列{。九}的前?1項和為九=(2九一l)cos?m,則S2023=()
A.1012B.-1012C.2023D.-2023
3.(2023?全國?高三專題練習)數列{&J中,的=3,a2=6且%^2=an+1-an,試求的024的值?
4.(2023?全國?高三專題練習)在數列{&J中,的=1,劭=3,an+2=an+1—an(ne/V+),求S202L
大項Z最/」項
1.(2023下?山東濰坊?高二統考期末)若數列{an}的前幾項積7;=1-^n,則曲的最大值與最小值的和為
()
A.-3B.-1C.2D.3
2.(2023上?河北唐山?高二唐山一中校考期末)關于“函數”幻=就"的最大、最小值與數列廝=去是
的最大、最小項”,下列說法正確的是()
A.函數/(X)無最大、最小值,數列{即}有最大、最小項
B.函數/'(X)無最大、最小值,數列{5}無最大、最小項
C.函數/(x)有最大、最小值,數列{5}有最大、最小項
D.函數/'(X)有最大、最小值,數列{an}無最大、最小項
n
3.(2023上?江蘇?高二海安市曲塘中學校考期中)已知數列{廝}的前見項和為%,Sn=2+3.
(1)求數列{冊}的通項公式即;
(2)若數列{%?}滿足:b=-,求數列{.}的最大項.
nan
a九+i=—ccnH—bn
工:工,%>0,
^n+i2an2bn
瓦>0.1
(1)求證:{%?,}是常數列;
(2)設%=4,瓦=1,求a九的最大項.
題型44等差數列的判定與證明
1.(2023上?江蘇?高三統考期末)&+。9=2a6”是“數列{斯}為等差數列”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
2.(2023上?上海閔行?高三閔行中學校考階段練習)已知數列{即}滿足與+an+4=an+1+an+3,那么()
是等差數列
A.{。九}B.1}C.{。2?1}D.{。3?1}
3.(2023上?山東威海?高二統考期末)設%為數列{%J的前w項和,〃為數列{S"的前〃項積,已知白=用匚.
5n
(1)求s「s2;
(2)求證:數列{七}為等差數列;
(3)求數列{即}的通項公式.
4.(2023上?廣東東莞?高二校考期末)己知數列{廝}中,的=2,a=2--.
n+1an
(1)證明數列{七}是等差數列,并求通項公式與;
(2)若對任意neN*,都有a*a介退…W三上2八成立,求k的取值范圍.
利用等差數列的性質解題
1.(2023下?北京順義?高二統考期末)數列{斯}是等差數列,若。3=3,工+二=&則a「as=()
a5
】a5
5
-5c9
A.2B.D.15
2.(2023上?河南許昌?圖三校考期末)已知等差數列{&J滿足%+怒+。8+—=",貝!J%1—2a9的值為
()
A.-3B.3C.-12D.12
3.(2023下?江西上饒?高二校考階段練習)在等差數列{的J中,
⑴若。2+。4+。6+。8+。10=90,求—1a12;
(2)已知的+2a8+。15=64,求2a9一的()?
4.(2023下?甘肅白銀?高二校考期末)已知在等差數列{%J中,的+他=18,%=15.
(1)求的通項公式;
⑵求數歹耳島Z}的前幾項和無?
求等差數列的前九項和及其最值。|
1.(2023下?遼寧?高二校聯考期末)等差數列{a“}的前n項和為%,且的+a3=10,a5+a7=26,則S7=()
A.63B.45C.49D.56
2.(2023上?湖南株洲?高三校聯考期末)等差數列{a"是遞增數列,公差為d,前幾項和為Sn,滿足a7=3a5,
下列選項正確的是()
A.d<0B.>0
C.當n=5時立最小D.Sn>0時打的最小值為8
3.(2022上.黑龍江雞西?高二校考期末)已知等差數列{冊}中,a3=2,a9=14
(1)求數列{冊}的通項公式
⑵求數列{an}的前n項和與及a0.
4.(2023下?上海徐匯?高一統考期末)已知等差數列{an},Sn是數列{an}的前幾項和,且S?=6,S5=f.
(1)求數列{冊}的通項公式;
(2)求%的最大值,并求Sn取最大值時幾的值.
題型
1.(2023上?河南開封?高三統考期末)在數列{an}中,%=14,瑞=箝一3,則()
A.償+3}是等比數列B.償-3}是等比數列
C.像+|}是等比數列D.償—|}是等比數列
2.(2023上?廣東?高二校聯考期末)己知數列5}的前"項和為無,的=l,Sn+i=Sn+2an+1,數列■[一二)
kanan+1j
的前九項和為〃,幾eN*,那么下列選項正確的是()
①{即+1}是等差數列②{斯+1}是等比數列③冊=2"—1④{*—1}是等比數列
A.①③B.②③C.①④D.②④
3.(2023下?湖南湘潭?高二校聯考期末)在數列{5}中,的=1,nan+1=2(n+l)an+n+2.
⑴證明{午斗是等比數列;
71
(2)若匕=log2號F,求數列{匕2:?}的前項和先
4.(2023下?河南鄭州?高二統考期末)設數列{即}的前幾項和為%,已知的=2,Sn+1-4an+2.
(1)設“=廝+1-2即,證明:數列{g}是等比數列;
⑵求數列獴}的前n項和7;.
等比數列性質的應用—01
“2024=3^2019,83
1.(2023?全國?模擬預測)已知正項等比數列{an}的前〃項積為%,且若刈=1。即,
則瓦023+。3021=()
2.(2022?四川樂山?統考一模)在等比數列中,如果41+。2=16,a3+a4=24,那么。7+6(8=()
A.40B.36C.54D.81
a30
3.(2022?高二課時練習)已知等比數列{5}的公比q=2,_S.a1a2?3302,求a3a6a9…。30的值?
4.(2023上?高二課時練習)已知是一個無窮等比數列,公比為q.
(1)將數列中的前%項去掉,剩余項組成一個新數列,這個新數列是等比數列嗎?如果是,它的首項
與公比分別是多少?
(2)取出數列{a"中的所有奇數項,組成一個新數列,這個新數列是等比數列嗎?如果是,它的首項與公
比分別是多少?
(3)在數列{即}中,每隔10項取出一項,組成一個新數列,這個新數列是等比數列嗎?如果是,它的公比
是多少?你能根據得到的結論作出關于等比數列的一個猜想嗎?
求等比數列的前〃項和及其最值。I
n
1.(2023下?江西贛州?高二統考期末)己知數列的前"項和為工,且。3=2,anan+1=2,則下列結
論正確的是()
A.數列{斯}為等比數列B.數列{Sn-3}為等比數列
501011
C.Si。。=3(2—1)D.GL2024=2
2.(2023下?北京豐臺?高二統考期中)己知等比數列{即}的前n項和為幻,若—的<£12<的,則()
A.{廝}為遞減數列B.{an}為遞增數列
C.數列{S"有最小項D,數列{S2有最大項
3.(2023下?陜西漢中?高二校聯考期末)已知等差數列{an}的前幾項和為Sn,a4=7,S2=9.
(1)求數列{斯}的通項公式;
(2)若數列{6n}滿足刈=2aL3,求數列{.}的前ri項和兀
4.(2023下?貴州六盤水?高二統考期末)已知數列{廝}的前n項和為%=2(an-DOWN*).
⑴求數列{an}的通項公式;
(2)設乳=(n-l)(n+l)an,求數列{4J的前幾項和七.
等差、等比數列的綜合應用
1.(2023?重慶云陽?重慶市校考模擬預測)已知等差數列的公差不為0,設d=an.(ieN*),若改=2,
%=5,%=14,數列{九}為等比數列,則下列選項中一定是數列。?}中的項是()
A.。81B.。121C.。122D?。123
2.(2022下?浙江麗水?高一統考期末)已知Sn是等差數列{an}的前n項和,公差dH0,%=1,若成
等比數列,則汽的最小值為
61rl+3
A.—B.2C.V10-1D.-
64
3.(2023上?江蘇蘇州?高二統考期中)已知等差數列江功的前葭項和為無,公差d大0,且S3+$5=50,由,
a4,%_3成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設{段}是首項為1,公比為3的等比數列,
①求數列{篇}的前n項和";
②若不等式27;-Sn+2n2<0對一切nGN*恒成立,求實數2的最大值.
4.(2023上?寧夏銀川?高二銀川二中校考階段練習)己知數列是等差數列,a2+a5^16,a5-a3=4.
⑴求{即}的通項公式和玄葭乙心;
(2)已知出?}是等比數列,對于任意正整數k,若2214九42上—1,貝防上<即<尻+「
①當k>2時,求證:2上一1<外<2上+1;
②求{與}的通項公式及其前n項和.
題型n卜數列的求和
1.(2022上.廣東廣州?高三校考階段練習)已知函數/O)滿足/(x)+/(l-%)=2,若數列{即}滿足:an=
⑴求數列{即}的通項公式;
(2)若數列{力九}滿足瓦=bn=--—(n>2),數列{b九}的前〃項和為先,若%<2a九+i對一切幾EN*恒
3an-an+1
成立,求實數2的取值范圍.
2.(2023上?河北石家莊?高二石家莊實驗中學校考期末)已知等差數列{an}滿足:的=1,d=2,數列{,}
滿足瓦=3,bn寸2且,4(6Tl—bn+1)—bn—2(nEN).
(1)證明:數列{匕一2}是等比數列;
(2)若數列{cn}滿足cn=,求{cn}的前幾項和
3.(2022上?黑龍江大興安嶺地?高二校考期末)已知數列{冊}滿足的=3,an+1=2an-n+l(nGN*).
(1)證明數列{冊-n}是等比數列,并求出數列{時}的通項公式;
(2)設a),數列{如與+J的前幾項和為心,若對于任意“eN*都滿足7;<一小+1成立,求實
數m的取值范圍.
+
4.(2023上?重慶?高二統考期末)已知數列{an}滿足的=1,an+1=[廝為奇數,______,neN*.從
I2am九為偶數
①6n=a271-1+2,②6n=4271+1-口271-1這兩個條件中任選一個填在橫線上,并完成下面問題.(注:如果
兩個條件分別作答,按第一個解答計分).
(1)寫出九,%;
(2)證明{g}為等比數列,并求數列{與}的通項公式;
(3)求數列{冊}的前2n項和S2n.
題型12k數學歸納法的應用
1.(2023上?高二課時練習)用數學歸納法證明以下恒等式5GN+):
(1)-1+3—5+…+(-l)n(2n-1)=(-1)%;
(2)(n+l)(n+2)■■■(n+n)=2nX1x3x???X(2n—1).
2.(2023?全國?高三對口高考)是否存在正整數ni使得=(2n+7).3n+9對任意正整數n都能被m整除,
若存在,求出最大的小的值,并證明你的結論.若不存在說明理由.
3.(2023?全國?高二隨堂練習)證明:凸“邊形的內角和等于(n—2)n(n23,neN*).
4.(2023上?高二課時練習)已知數列:之,工,名,…,—,...,設為為該數列的前n項和.計算Si,
1X22X33X4Tl'(TL-ri.)
s2,S3,S4的值;根據計算的結果,猜想%=2+三+義+…+一下(n為正整數)的表達式,并用
"J""1x22x33x4nx(n+l)
數學歸納法加以證明.
高二上學期期末復習第四章十二大題型歸納(拔尖篇)
【人教A版(2019)]
根據數列的遞推公式求數列的項、通項公式
1.(2023下?河南鄭州?高二統考期末)已知數列{a下,滿足的i-an_i=2,a1=0,則的。=()
A.18B.36C.72D.144
【解題思路】利用累加法計算即可.
【解過程】由題后、可知:——。8+,,?。3—。2+。2—=。10—@1—9x2今。10=18,
故選:A.
2.(2023下?河南南陽?高二校考階段練習)已知數列{時}的項滿足即+1=白M,而的=1,則&1=()
?(n+l)2?n(n+l)*2n-l*2n-l
【解題思路】由即+1=2即,可得皿=2,然后利用累乘法可求得結果
n+2"ann+2
【解答過程】由an+iu^an,得皿=T,
,L
n+2ann+2
所以也=工,%=2,包=三,...,^i=三,工=巴二,(n>2),
3。24。35—2九。九一1?1+1
所以也.”.幺..…1X-X-X--X—X—,
ata2a3an_2an-i345nn+l
所以%=7之,
n(n+l)
因為的=1,所以Gin=.+1y
因為的=1滿足上式,所以。幾二版樂,
故選:B.
a=ne
3.(2023下?遼寧朝陽?高二校聯考期末)已知數列{&J中,%,=2,a2=ann+2l(
⑴求a^,。5的值;
(2)求{5}的前2023項和S2023?
【解題思路】(1)由遞推公式令幾=1和幾=3代入即可得出答案;
(2)由遞推公式可證明數列{an}是以4為周期的周期數列,再由周期數列的性質求解即可.
【解答過程】(1)當n=l時,=1,所以&3=(;當?1=3時,a3a5=L所以=2.
(2)當n=2時,a2a4=1,所以備=2.
由%1冊+2=1知的l+2%l+4=1,所以=%1+4,故數列{%J是以4為周期的周期數列,
艮口。4九==2,d471+1=01=2,04九+2=a2=29。4九+3=。3=刁,
所以$2023=505(%+。2+。3+。4)+。2021+。2022+“2023=505X5+2+-+-=2528.
4.(2023上?江蘇鹽城?高二校聯考期末)已知數列{&J滿足a[=2,且由a2a3…%=兀+15eN*).
⑴求數列{冊}的通項公式;
(2)設e=紫,且數列{“}的前"項和為無,若如+923恒成立,求實數2的取值范圍.
【解題思路】(1)寫出當nN2時的等式,再與原式兩式相除求解即可;
(2)由(1)%=空,再根據錯位相減求解可得%=3-箸,再化簡不等式可得幾>(弋產),再設=
婦岑坦,根據作差法判斷的單調性,進而可得最大值.
【解答過程】(1)的?劭?的?…。九二九+1(九eN*),
當九>2時,?02?03??一an-l=九,
兩式相除得;斯=晦,
〃n
又的=2符合上式,故Q九=
TLCl-j^n+1
(2)b
n~2^~~2^~
S九=2+?+1+…+彳,
n222232n
1_234,n九+1
盧=7+/+拉+…+7+和
錯位相減得:
is=i+4+4+-+4-%,
27n122232n2n+1
Z(l271)n+13n+3
=1+
1_|2-x22n+1
即%=3一等,由%+今23,得42咤等
設/(n)=f,貝,5+1)=”產,
2
故/5+1)―/5)=(,『)(n+l)(n+3)_-n-2n+2
27i-2n+1
-n2-2n+2
由/(幾+1)-/(n)=
2n+1
由neN*可知,一4一2九+2=-(n+I)2+3隨著n的增大而減小,
故一砂-2n+2<-l-2+2=-l<0,
故/(n+1)-/(n)<0恒成立,知f(n)單調遞減,
故f(n)的最大值為f(l)=4,則424.
題型2N數列的周期性的應用
1.(2023下?甘肅慶陽?高二校考期末)已知數列{an}滿足ai=3,an+i=好,neN*,則a2023=()
an+1
11
A.3B.-C.—D.-2
23
【解題思路】根據遞推形式求數列的前幾項,判斷數列是周期數列,再求值.
【解答過程】的=3,a2=的=—/。4=-2,附=3,
所以{%J是周期數列,且周期為4,
又2023=4x505+3,所以@2023=。3=一(
故選:C.
2.(2023下?四川涼山?高二統考期末)已知數列{冊}的前幾項和為Sn,冊=(2n—l)cosmi,則S2023=(
A.1012B.-1012C.2023D.-2023
【解題思路】根據數列的遞推公式得到的+。2=2,%+。4=2,…,的021+Q2022=2,然后求和即可求解.
【解答過程】因為數列{。九}的前幾項和為Sn,且冊=(2n-l)cosnn,
則的=COSIT=-1,a2=3cos2n=3,
a3=5COS3TT=—5,a4=7cos4n=7,
所以Q]+a2=2,6X3+(Z4=2,
依次類推,。5+。6=2,…,。2021+。2022=2,。2023=(2X2023—1)X(―1)=—4045
所以$2023=%,+劭++--H。2022+a2023
-(。1+。2)+(a3+。4)■1----(a2021+a2022)+a2023
=1011x2-4045
=一2023.
故選:D.
3.(2023?全國?高三專題練習)數列{a九}中,的=3,。2=6且%i+2=an+i-%i,試求02024的值?
【解題思路】利用遞推公式可驗證出數列{%J為周期為6的周期數列,從而可得。2024.
【解答過程】數列{%J中,的=3,a2=6且冊+2=an+1-an,
令九=1,則%=。2—%=6-3=3
令九=2,貝!J*=。3一。2=3-6=—3
令72=3,則。5==—3—3=—6
令九=4,貝!=劭一a4=-6一(—3)=-3
令九=5,則%=%—詼=—3—(—6)=3
令九=6,則為=劭一=3—(—3)=6
???數列他九}為周期為6的周期數列
????。2024=a6x337+2==6.
4.(2023?全國?高三專題練習)在數列中,4=1,。2=3,an+2=an+1-an(ne/V+),求S202L
【解題思路】根據遞推式依次計算出數列的前幾項,歸納出數列是周期數列,且周期為6,用6項的和為0.由
此易計算出和S2021?
【角牛木王】由—?1,。2=3,=2,。九+2=。71+1―—九口=-1,。5=-3,。6=—2,
。7=1,。8=3,。9=2,。10=-1,=-3,。12=-2,貝UT—6,
且+%+。3+。4+。5+。6=0,貝n2021=+。2+。3+。4+。5=?,
求數列的最大項、最小項。|
1.(2023下.山東濰坊.高二統考期末)若數列{%J的前幾項積7;=1-Q,則須的最大值與最小值的和為
()
A.-3B.-1C.2D.3
【解題思路】由題可得。九=1+高,利用數列的增減性可得最值.
【解答過程】I,數列{時}的前幾項積B=1一V八,
當九=1時,ar=^|,
當?iN2時,Tn_]=1-(n—1),
T
n12n-15.,2
an=---=—2----=-----=14----------,
Tn-il-^(n-l)2n-172n-17
n=1時也適合上式,
??CLfi
=1+2n-17
.?.當nW8時,數列{an}單調遞減,且%<1,
當nN9時,數列{即}單調遞減,且廝>1,
故斯的最大值為ag=3,最小值為。8=-1,
???斯的最大值與最小值之和為2.
故選:C.
2.(2023上?河北唐山?高二唐山一中校考期末)關于“函數/(久)=募三的最大、最小值與數列%=募是
的最大、最小項”,下列說法正確的是()
A.函數/(X)無最大、最小值,數列{即}有最大、最小項
B.函數/(%)無最大、最小值,數列九}無最大、最小項
C.函數/(%)有最大、最小值,數列{a九}有最大、最小項
D.函數/(%)有最大、最小值,數列{%J無最大、最小項
【解題思路】依題意可得"X)+根據反比例函數及指數函數的性質分析函數的單調性與值
域,即可得到數列{廝}的單調性,即可判斷.
【解答過程】解:函數/)=肅三=1傳|)=[胃)=木+鼻),
令g(%)=1+2Jir由2%-與w。,解得%wiogzT,所以函數的定義域為{%|%wlogz^},
2
因為2%-y>一孩且2%-y0,所以I*£(一8,一卷)U(0,+8),
2
則2-15W(一8,-u(0,+oo),則g(%)E(-8,白U(1,4-00),所以函數/(%)無最大、最小值;
2
又y=§在(-8,0),(0,+8)上單調遞減,y=2一與在定義域上單調遞增,
所以/'(%)在(一810g2葭),(10g2^,+8)上單調遞減,且當X>10g2m時/'(%)>。,
因為2<log2y<log28=3
對于數列廝=焉三,
則a[=0>a2=—/a3=6>a4>a5>■■■>0,且n>3時即>0,
所以數列{七}有最小項。2=-段有最大項。3=6.
故選:A.
n
3.(2023上?江蘇?高二海安市曲塘中學校考期中)已知數列{。九}的前〃項和為%,Sn=2+3.
(1)求數列{冊}的通項公式&l;
(2)若數列{小}滿足:b=~,求數列{匕}的最大項.
nan
【解題思路】⑴根據與=1求出通項公式;
2九3九一1,九—乙
2
⑵求出瓦=3當n22時,計算出滬=;0+1),萼=2>1,當nN3時,:針<1,從而得到數列也}
的最大項.
【解答過程】(1)Sn=271+3中,令71=1得的=2+3=5,
當nN2時,an=Sn-Sn_i=2"+3—2"T-3=2/1,
其中21T=0H5,
故斯二2
(2)當?1=1時,b=—=
r5
”2
當7222時,bn=—>0,
囿皿=(n+l):.空=標+2.+1=1/1
J2
bn-2"n2n22\nJ'
當n=2時,察=J〉1,
t)28
當7123時,-+1<-,-(-+1)<-X—<1,故生已<1,
n32\nJ29bn
故71>2時,{aJ的最大項為星=p
4
又出>瓦,故數列{4}的最大項為為=
CLn+1=一。九H—bn
1J]:1,的>0,
---=—?--+----
%+12a2b
(nn
瓦>0.
(1)求證:(an-bn}是常數列;
(2)設的=4,瓦=1,求an的最大項.
【解題思路】(1)將所給等式化簡可得2/+1=與+%且g+i=四等,再代入化簡即可;
an+bn
(2)由(1)可得an+i=Y與+2),再代入判斷可得為+1-2>0,進而利用作差法可得{an}為遞減數列,
進而可得最大項為的=4.
=一an4—bfi
ii2i:i,.??2^+1=廝+g,十=翳,?.?%+】=等,
......——------1-----°n+l^anDnan+Dn
》n+l2an2bn
?.?,+i=箸也,Aanbn=an_rbn_r==arbr,因此,數列{an?支}是常數列;
^an+l
(2)由(1)cinbn=4瓦=4,即b九=且%1+i=—un+—bn,整理得%J+I=—(。九+屋),
A5
Cl]=4,(12=
?*?a1>0@2>0=。3>0=',,>0,
當九之2時,Q九+1—2=5(。九+葭)-2=(黑)>0,,。九+1>2,
b?_an_an即_4-謚
,,。?1+1—
222an'
an>2,a九+1-a九V0,,數列{時}單調遞減,a九的最大項為4.
題型41等差數列的判定與證明
1.(2023上?江蘇?高三統考期末)“a3+。9=2a6”是“數列{斯}為等差數列”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
【解題思路】根據等差數列的性質結合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.
【解答過程】如果數列{廝}是等差數列,根據等差中項的擴展可得一定有。3+。9=2a6,
反之。3+cig-2a6成立,不一定有數列{a“}是等差數列,
故選:B.
2.(2023上?上海閔行?高三閔行中學校考階段練習)已知數列{即}滿足與+an+4=an+1+an+3,那么(
是等差數列
A.{口兀}B.{^2n-11C.{。2空}D.{^3nl
【解題思路】根據已知條件進行轉化,從而求得正確答案.
【解答過程】由+%1+4--a9+i+得。71+4—an+i—^-n+3—,
,,an+5~an+2=an+4~an+l<an+6~an+3=an+5~an+2,
故&1+6—an+3=an+3-an>即有。3(71+2)-a3(n+l)=a3(n+l)-a3n,
故數列{。3工是等差數列.
故選:D.
3.(2023上?山東威海?高二統考期末)設S”為數列{即}的前〃項和,B為數列{S"的前”項積,已知;=早
(1)求S1,S2;
⑵求證:數列
(3)求數列{an}的通項公式.
【解題思路】(1)直接令9=早中的幾=1,兀=2可得答案;
Ml5n
「
(2)通過工=包二得到1_Snl
TnSnTn_lSn_1
(3)當nN2時,通過廝=Sn-Sw-i可得數列{an}的通項公式,注意驗證n=1時是否符合.
【解答過程】⑴由去=早,Sn#。且S“力1,
當72=1時,]='二==,得&=2,
dl
當71=2時,工=包二二」一,得S2_3
T2S2SM'-2
(2)對于去:早①
當nN2時,生=堂1二②,
Tn—l^n-1
①十②得當=包匚xSn-l1
TnSnSn-lT=媼
即$―1=浮二]__S--i—+1,
dn-lS/i-15n-l-15n-l-1
又白=1,
???數列{矗}是以1為首項,1為公差的等差數列;
(3)由(2)得二一=1+(n-1)=九,
SnT
1
“Sn-S3=;+1-(£+1)=
當九之2時,-n(n-iy
又九=1時,的=Si=2,不符合廝=
2,71=1
1
n>2'
n(n-l)f
4.(2023上?廣東東莞?高二校考期末)已知數列{&J中,的=2,an+1=2--
an
⑴證明數列{尚}是等差數列,并求通項公式曲;
(2)若對任意neN*,都有詔?退?退…成式上2九成立,求k的取值范圍.
【解題思路】(1)根據已知可推出‘:-;=1,又;=1,即可得到;=n,進而求出通項公式;
an+i—1an—1a^—1an—1
(2)經化簡可得,k>暗.令g=暗,根據求出r=2時,6n最大,即可得出k的取值范圍.
【解答過程】(1)證明:由已知可得每羊1,'------J=T------------J=*=i,
a九+1一12-------1tin-1tin-1Gn—1an~^-
an
又的=2,所以亡二1,所以數列{占}是以1為首項,1為公差的等差數列.
所以---=1+(71—1)x1=M,所以a九—1=-,所以a九=—F1.
CLJI—17171
(2)由(1)知,a=-+l=—.
nnn
所以Qi。2a3…=2x|x£x…x誓1=ri+1,所以后?^2,…欣=(九+I)2.
則由后?a外謁…成4k?2n可得,k隆:;:)?對任意九EN*,都成立.
令生=誓,假設數列{“}中第r(r£N*)項最大,
22
-(r-+-l-)>--r--
當,22時則,有《靠:,即H一二二整理可得r2—2r—1<0
(r+iy(r+2)zr2>2
-—-2r+1
解得+所以2WrW&+l.
因為r€N*,所以r=2,外=烏字=2
z224
又瓦=2,所以數列{3}中第2項最大,即%=然”<3對任意n€N*,都成立.
2'4
所以由kN唁對任意neN*,都成立,可得kN9
2714
4利用等差數列的性質解題
1.(2023下?北京順義?高二統考期末)數列{&J是等差數列,若。3=3,工+工=3則a「a5=()
。55
A.-B.5C.9D.15
2
【解題思路】利用等差數列的性質結合已知條件求解
【解答過程】因為數列{%J為等差數列,且a3=3,所以的+a5=2a3=6,
因為工+工乏,所以山=去
所以所以=5,
的。551
故選:B.
2.(2023上?河南許昌?高三校考期末)已知等差數列{&J滿足%+與+為+=",貝!J%i-2的的值為
A.-3B.3C.-12D.12
【解題思路】根據等差數列的性質若m+71=p+q則%+冊=即+Qq可得.
【解答過程】由等差中項的性質可得,。3+。6+。8+=4%=12,解得=3,
?。7+=2aq,??a1]-2a9——CLY——3.
故選:A.
3.(2023下?江西上饒?高二校考階段練習)在等差數列{%}中,
a
⑴若02+。4+。6+。8+10=90,求。9—1a12;
(2)已知a[+2a8+(15=64,求2a9—a10.
【解題思路】根據等差數列的性質:若m+九=p+q,貝南巾+an=ap4-佝求解.
【解答過程】(1)在等差數列{即}中,g+%o=%+%=2a&
??a2+。4+。6+。8+=5a6=909
a6=18,
a9~。12=2(2。9一。12)=-(怒+a12~。12)=]。6=9.
(2)?a1+2a8+。15=4a8=64,
??CLQ=16.
??2a9=。10+。8。10=。8=16.
4.(2023下?甘肅白銀?高二校考期末)已知在等差數列{即}中,的+。5=18,a6=15.
(1)
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