1．2集合間的基本關系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數問題 2題型二：韋恩圖及其應用 2題型三：由集合間的關系求參數的范圍 4題型四：集合間的基本關系 5題型五：判斷兩集合是否相等 6題型六：根據兩集合相等求參數 7題型七：空集的性質 8【重難點集訓】 10【高考真題】 18【題型歸納】題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數問題1．（2024·高三·廣東佛山·階段練習）滿足集合為的子集且的集合的個數是（）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】C【解析】因為集合，則集合可以為,，，，，，，共8個，故選：C2．（2024·高三·湖南長沙·階段練習）設集合，則集合的真子集個數為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】由且可知，可以取，則可取，即，故集合的真子集個數為.故選：C.3．（2024·高一·山東濟寧·期中）已知集合，若，請寫出集合A的所有子集．【解析】當時，，集合A的所有子集有，，，．題型二：韋恩圖及其應用4．（2024·高一·全國·課后作業）能正確表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}關系的Venn圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.故選：B5．（2024·高一·四川成都·開學考試）已知全集，能表示集合與關系的圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因為，所以C正確．故選：C6．（2024·高一·上海·專題練習）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關系的文氏圖是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以選B.故選：B題型三：由集合間的關系求參數的范圍7．（2024·高一·上海·隨堂練習）若集合，，且，求滿足的條件．【解析】由可知是的子集，①當時，，所以；②當時，，所以，解得；③當時，所以，解得；④當時，，所以，解得；綜上可知，滿足的條件為或或或.8．（2024·高一·廣東佛山·期末）設集合(1)若，試判斷集合與的關系；(2)若?，求的值組成的集合．【解析】（1）當時，，所以B是A的真子集．（2）．若，則，是真子集成立；若，則，因為是A真子集，或，所以或．所以的值組成的集合．9．（2024·高一·廣東廣州·階段練習）集合．(1)若，存在集合M使得，求出這樣的集合M；(2)試問P能否成為Q的一個子集？若能，求b的取值或取值范圍；若不能，請說明理由．【解析】（1）若，，因為，所以；（2）方程的判別式為，當時，即時，，此時顯然P是Q的一個子集，當時，即時，，此時顯然P不是Q的一個子集，當時，即時，要想P是Q的一個子集，中必有二個元素是集合P中元素，根據一元二次方程根與系數關系，這兩個根之和為，顯然中沒有兩個數的和為，所以此時P不可能是Q的一個子集，綜上所述：P能成為Q的一個子集，此時b的取值范圍為.題型四：集合間的基本關系10．（2024·高三·湖北荊門·階段練習）如果集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，，．故選：C．11．（2024·高一·貴州六盤水·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，，故正確的只有A.故選：A12．（多選題）（2024·高三·浙江·開學考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】易知方程無解，所以，所以選項A正確，因為，所以選項B錯誤，因為集合是以為元素的集合，由元素與集合間的關系，知選項C正確，又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，故選：ACD.13．（2024·高一·全國·課后作業）已知集合，，，則下列的關系正確的是（

）A．? B．?C．?? D．??【答案】B【解析】由，而為奇數，為整數，又，所以?故選：B.題型五：判斷兩集合是否相等14．（2024·高一·河北石家莊·階段練習）下面選項中的兩個集合相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.兩個集合都是點集，兩個集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A錯誤；B.集合表示數集，有2個元素，分別是1和0，集合是點集，只有1個元素，為，所以不是相等集合，故B錯誤；C.，得，即，故C正確；D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1個元素，所以不是相等集合，故D錯誤.故選：C15．（2024·高一·全國·專題練習）已知集合，則與集合相等的集合為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A，，故A錯誤；對B，中，解得，故，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：D.16．（2024·高一·山東濟寧·階段練習）下列各組集合中表示同一集合的是A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由集合為點集，集合為數集，所以不是同一集合；根據集合的表示方法，可得集合和集合表示同一個集合；由集合表示數集，集合為點集，所以不是同一集合；又由集合和元素不相同，所以不是同一集合.故選：B.題型六：根據兩集合相等求參數17．（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知集合，則．【答案】【解析】由題意得得．故答案為：18．（2024·高一·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數．【答案】【解析】由題意得，則，解得.故答案為：.19．（2024·高一·湖南岳陽·階段練習）若集合，實數的值為【答案】【解析】令,,，,,，,,，，，若，則，則,,，,,，滿足要求；若，則，而中元素，矛盾；若，則，則,,，,,，滿足要求；故實數的值為.故答案為：20．（2024·高一·湖南·階段練習）已知集合，，若，則.【答案】【解析】因為集合，，，所以，解得，從而.故答案為：.題型七：空集的性質21．（2024·高一·新疆·階段練習）在下列格式中錯誤的個數是（

）①；②；③；④；⑤.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】，，，，即，所以①③⑤對，②④錯.故選：B22．（2024·高一·山西太原·階段練習）下列六個關系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個數為（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【解析】對于①，由集合間的關系和集合中元素的無序性知，故①正確；對于②，由集合中元素的無序性知，故②正確；對于③，是沒有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③錯誤；對于④，是集合的元素，所以，故④正確；對于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤錯誤；對于⑥，是集合的子集，即，故⑥正確；綜上知，正確的個數為4個.故選：B.23．（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習）下列說法中正確的個數為（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】對于①，正確；對于②，是元素，是沒有元素的集合，故②錯誤；對于③⑤，正確，即③對，錯誤，即⑤錯；對于④，表示集合中有一個元素，表示集合中有一個元素，研究對象不同，故④錯誤；對于⑥，，故⑥錯誤；對于⑦，正確；對于⑧，表示不同的集合，錯誤.①③⑦正確.故選：B24．（2024·高一·四川廣安·期中）若集合，則實數a的值的集合為．【答案】【解析】當時，滿足題意；當時，應滿足，解得；綜上可知，a的值的集合為．故答案為：．【重難點集訓】1．（2024·高三·全國·專題練習）如果集合，則（）A．ST B．T?S C．S＝T D．ST【答案】A【解析】由，令，則，所以，由于NZ，故.故選：A.2．（2024·高一·北京·期末）已知集合、，其中，且．滿足以上條件的全部有序數對的個數為（

）．A．6 B．8 C．20 D．36【答案】B【解析】依題意，當時，，有序數對有4個；當時，，有序數對有4個；全部有序數對的個數為8個.故A，C，D錯誤.故選：B.3．（2024·高一·四川資陽·期中）滿足的集合M共有（

）A．16個 B．15個C．8個 D．7個【答案】C【解析】集合M滿足，所以集合M可以為：共有8個.故選：C4．（2024·高一·山西大同·期中）對于非空數集，，其所有元素的算術平均數記為，即.若非空數集B滿足下列兩個條件：（1）；（2）.則稱B為A的一個“保均值子集”.據此推理，集合的“保均值子集”有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】C【解析】非空數集中，所有元素的算術平均數，在所有子集中選出平均數為的子集即可，所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7個：故選：C．5．（2024·高一·甘肅白銀·期中）已知集合，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】集合，集合，因為，所以，解得.故選：A.6．（2024·高一·吉林通化·階段練習）已知，則集合M的子集的個數是（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，所以集合，所以集合的子集個數為個．故選：B．7．（2024·高一·安徽銅陵·階段練習）若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數m組成的集合是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】由題設集合有2個子集，則集合中僅含一個元素，所以有且僅有一個解，當，則，滿足要求；當，則，滿足要求；綜上，滿足條件的實數m組成的集合是.故選：B8．（2024·高一·江蘇鎮江·階段練習）若集合恰有1個真子集，則的取值是（

）A．-1 B． C． D．或【答案】D【解析】因為集合恰有1個真子集，則集合有且只有一個元素，當時，即，則，符合題意；當時，即，則關于的方程只有一個實數解，則，解得；綜上所述，或.故選：D9．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業）已知，則的值可以為（

）A．1 B．6 C．8 D．10【答案】AC【解析】當時，由得，滿足，所以；當時，由得，滿足，所以；當時，由得，不滿足；綜上，則或.故選：AC.10．（多選題）（2024·高一·山西朔州·階段練習）已知集合，，，由實數a組成集合C，則下列選項中正確的是（

）A．集合C的所有非空真子集個數是2 B．集合C的所有非空真子集個數是6C．集合C的所有子集個數是4 D．集合C的所有子集個數是8【答案】BD【解析】由題意，，因為，所以，當時，，合題意，當時，，，因為，所以或，所以或，故．集合C的子集個數為，D選項正確，C選項錯誤，集合C的非空真子集個數為，B選項正確，A選項錯誤.故選：BD.11．（多選題）（2024·高一·重慶渝中·階段練習）對于一個非空集合，如果滿足以下四個條件：①，②，③，若且，則，④，若且，則，就稱集合為集合A的一個“偏序關系”，以下說法正確的是（

）A．設，則滿足是集合A的一個“偏序關系”的集合共有3個B．設，則集合是集合A的一個“偏序關系”C．設，則含有四個元素且是集合A的“偏序關系”的集合共有6個D．是實數集R的一個“偏序關系”【答案】ACD【解析】A選項，，則，通過分析②可知，，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，取，或，或，故滿足是集合A的一個“偏序關系”的集合共有3個，A正確；B選項，集合，且，但，故②不成立，故B錯誤；C選項，，通過分析②可知，，結合③和④，可再添加一個元素，即中任選一個，即取，或，或，或，或，或，共6個，C正確；D選項，是R的子集，滿足①，且當時，，滿足②，當時，滿足③，，若且，則，所以，則，滿足④，故是實數集R的一個“偏序關系，D正確.故選：ACD12．（2024·高一·上海·課后作業）設集合，，則、之間的關系為．【答案】【解析】因為，所以集合中的元素是的奇數倍，又因為集合中的元素是的整數倍，所以.故答案為：.13．（2024·高三·全國·單元測試）若一個正整數各數位上的數字從左到右依次遞增或遞減，則稱此數為“好數”，如7是一位“好數”，12與21是兩位“好數”……，則所有的“好數”有個.【答案】1524【解析】由題意可知，“好數”的各數位上的數字各不相同.構造集合與集合，取的一個元子集，將這個元素從高數位到低數位按從大到小的順序排列，則形成一個位“好數”，因為，所以這樣從左到右依次遞減的“好數”有個；同理取的一個元子集，將這個元素從高數位到低數位按從小到大的順序排列，形成一個位“好數”，于是遞增的“好數”有個.又公共的1元子集算了2次，所以符合要求的“好數”共有（個）.故答案為：1524.14．（2024·高一·全國·競賽）已知集合，且，給出下列命題：①滿足的集合的個數為；②滿足?的集合的個數為；③滿足?的集合的個數為；④滿足??的集合的個數為．其中正確的是．（填上你認為正確的所有命題序號）【答案】①③【解析】①滿足的集合的個數為的子集的個數，即；②滿足?的集合的個數為的非空子集的個數，即；③滿足?的集合的個數為的真子集的個數，即；④滿足??的集合的個數為的非空真子集的個數，即．故答案為：①③.15．（2024·高一·上海·課堂例題）已知集合.是否存在這樣的實數a，使得集合A有且僅有兩個子集？若存在，求出實數a的值及對應的兩個子集；若不存在，說明理由.【解析】要使集合有且僅有兩個子集，即集合有且只有一個元素，即方程只有一個根或有兩個相等實根，當，即時，方程化為，得，，對應的兩個子集：.當，即時，，解得，此時，對應的兩個子集：.綜上，當時，集合對應的兩個子集為：；當時，集合對應的兩個子集為：.16．（2024·高一·全國·課后作業）已知集合.(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；(2)集合,證明：B是A的真子集.【解析】（1）∵，，∴，，假設，m，，則，且，∵，或，顯然均無整數解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數都屬于A，故B是A的子集.又∵，，所以B是A的真子集.17．（2024·高一·安徽滁州·階段練習）已知集合，，(1)若，求實數的取值范圍；(2)若，求實數的取值范圍.【解析】（1）因為，當時：，即符合題意；當時，，，綜上所述：.（2）因為，當時，，，解得，無解，當時，或，，綜上所述：.18．（2024·高一·北京·階段練習）已知集合為非空數集，定義：(1)若集合，請直接寫出集合：(2)若集合，且，求證：；【解析】（1）因為，，所以；（2）證明：由，得，則可取，又因為，所以，剩下的元素滿足，所以.【高考真題】1．（2023·全國·高考真題）設集合，