第四章空間力系第一節空間匯交力系第二節力對點之矩與力對軸之矩第三節空間力偶理論第五節空間任意力系的問題第三節空間任意力系向已知點的簡化第六節重心

平行力系中心空間力系：各力的作用線不在同一平面內的力系。可分為空間匯交力系，空間力偶系，空間任意力系。其研究方法：與平面力系研究的方法相同，但由于各力的作用線分布在空間，因此平面問題中的一些概念、理論和方法要作推廣和引伸。現研究空間力沿坐標軸的分解和投影。第一節空間匯交力系一、空間力沿坐標軸的分解與投影分解xyz直接投影法二次投影法即若用單位矢量，則力F沿直角坐標軸分解的表達式為注意：力在軸上的投影是代數量，而力在平面上的投影是矢量。Fx

i+Fy

j+Fz

k設力F與軸之間的夾角為，則解法一

一次投影法解法二

二次投影法設力F與Oxy平面的夾角為

，則得力F在oxy平面上的投影的大小為于是有由于軸垂直于y軸，所以根據合力投影定理可得這里只介紹解析法。空間的合力投影定理(合成)。則合力合力在某一軸上的投影，等于力系中所有各力在同一軸上的投影的代數和各分力xyzFi=Fxi+Fyj+Fzk二、空間匯交力系的合成與平衡平衡的必要與充分條件：該力系的合力為零。空間匯交力系的平衡方程注意：(1)當空間匯交力系平衡時，它與任何平面上的投影力系也平衡。(2)投影軸可任意選取，只要三軸不共面且任何兩根不平行。圖示一起重三角架，AD、BD、CD桿各長2.5m，在D點鉸接，并以鉸鏈固定在地面上，求每一桿所受的力，各桿重不計。已知P=20kN,，AO=BO=CO=1.5m。xzyDABC例4-2【解】作受力圖。由以上三式解得力對于任一點之矩等于矩心至力的作用點的矢徑與該力的矢積,稱為力對于點之矩的矢積表達式。２.力對軸之矩力對于任一軸之矩，等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面的交點之矩。(1)當力的作用線與軸平行或相交時,力對于該軸之矩等于零；第二節力對點之矩與力對軸之矩1.相對于點的矢量表示應用上述定理可以求出力對于坐標軸之矩的解析表達式。其中:3.力對于點之矩與力對于通過該點的軸之矩間的關系力矩關系定理:力對于任一點之矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于力對于該軸之矩。(2)當力沿其作用線移動時,它支于軸之矩不變。力對軸之矩的合力矩定理:合力對于任一軸之矩等于各分力對于同一軸之矩的代數和。平行平面間的力偶的等效條件：作用面平行的兩個力偶，若其力偶矩大小相等，轉向相同，則兩力偶等效。1、空間力偶的等效定理，力偶矩矢的概念同平面內力偶等效條件：兩力偶矩的代數值相等。但分別作用在不平行平面內的兩個力偶對于剛體的效應是不同的空間力偶的三要素：大小、轉向和作用面的位置。第三節空間力偶理論2、空間力偶系的合成與平衡.力偶矩矢是一矢量。空間力偶的等效定理：凡矩矢相等的力偶均為等效力偶。空間力偶系可合成為一合力偶,則該合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。空間力偶系平衡的必要與充分條件是:該力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和為零。投影形式有1.空間任意力系向已知點的簡化簡化理論依據是:力線平移定理。空間力系中，應把力對于點之矩與力偶矩用矢量表示。力線平移定理:作用于剛體上的任一力,可平移至剛體的任意一點,欲不改變該力對于剛體的作用,則必須在該力與指定點所決定的平面內加一力偶,其力偶矩矢等于力對于指定點之矩矢.第四節空間任意力系的簡化odoAFA空間任意力系向任一點簡化的結果。一般可得到一力和一力偶，該力作用于簡化中心，其力矢等于力系的主矢，該力偶的力偶矩矢等于力系對于簡化中心的主矩。xyzxyzA1A2Anxyz若取坐標原點為簡化中心,則有:將主矢及各力F1、F2、···F3均投影在三坐標軸上則與平面力系一樣，空間力系的主矢與簡化中心的位置無關，而矩的一般將隨著簡化中心的位置不同而改變。同樣，將Mo及

Mo（F）均投影在同一坐標軸上，并應用力矩關系定理，則得空間任意力系簡化結果的分析(過簡化中心)(合成為一力)(力螺旋)(成任意角)空間系的合力矩定理若空間任意力系可以合成為一個合力時,則其合力對于任一點或軸之矩等于力系中各力對于同一點或軸之矩的矢量和或代數和,這即為空間力系合力矩定理。空間力系向一點簡化后為：一個力和一個力偶。故空間力系平衡的必要條件是力系的主矢及主矩都等于零，即這是空間力系的平衡方程。第五節空間任意力系的問題空間任意力系平衡的必要與充分條件:力系中所有各力在任意相互垂直的三個坐標軸上之投影的代數和等于零，以及力系對于這三個軸之矩的代數和分別等于零。(1)空間匯交力系.(2)空間平行力系取坐標軸z與各力平行，則取力系的作用面為Oxy在求解空間力系問題時要注意幾點：(1)約束性質。(2)當空間任意力系平衡時，它在任何面上的投影力系也平衡，可將空間轉化為平面問題來處理。(3)除三投影式，三力矩式,還有四力矩,五力矩，六力矩式。空間平行力系平衡的必要充分條件是:該力系所有各力在與力線平行的坐標軸上的投影代數和等于零,以及各力對于兩個與邊線垂直的軸之矩的代數和分別為零。(3)平面任意力系mgP質量為10kg的圓桌,直徑為1.2m，三個腳A、B、C三等分圓周。在桌面上的D點作用一鉛垂力P=200N,OD=0.3m。求圓桌腳A、B、C對地面的壓力。例4-3PCAB【解】作受力圖。取如圖所示坐標軸，且z軸與mg作用線一致。解以上各式得圓桌對地面的壓力為例4-4如圖所示，均質長方形板ABCD重P＝20kN，用球鉸鏈A喝蝶鉸鏈B支承在墻上，并用桿子CE維持在水平位置，且，試求桿CE所受的壓力及蝶鉸鏈B的約束反力。ECBADzxyCBADzxyE【解】取板ABCD為研究對象，受力如圖（b）所示。由空間一般力系平衡方程，有懸臂剛架ABC上作用有分布荷載q=1kN/m，P=3kN，Q=4kN及力偶矩2kNm，剛架各部分尺寸如圖示。求固定端A處的約束反力及力偶矩。例4-5PABCmPqQABCmPqMzxyz【解】作受力圖,建坐標系。求解得:若負值說明與設定方向相反。任一物體事實上都可看成由無數個微元體組成，這些微元體的體積小至可看成是質點。任一微元體所受重力（即地球的吸引力）ΔGi，其作用點的坐標xi、yi、zi

與微元體的位置坐標相同。所有這些重力構成一個匯交于地心的匯交力系。由于地球半徑遠大于地面上物體的尺寸，這個力系可看作一同向的平行力系，而此力系的中心稱為物體的重心。力系的簡化在工程實際中有許多的應用。例如，電機、汽車、船舶、飛機以及許多旋轉機械的設計、制造、試驗和使用時，都常需要計算或測定其重心的位置，而求物體重心的問題，實質上就是求平行力系的合力問題。第六節重心平行力系中心一、重心坐標的一般公式zxyPΔPiCΔP1xyzoyizixix1y1z1c1ci右圖認為是一個空間平行力系，則P=∑ΔPi合力的作用線通過物體的重心，由合力矩定理my(P)=∑m（ΔPi）y即P·=∑ΔPi·xixc于是有xc=P∑ΔP

xiizxyPΔPiCΔP1xyzoyizixix1y1z1c1ci同理有為確定zc，將坐標系連同物體繞y軸轉90，得。zc=P∑ΔPi·ziyc=P∑ΔPi·yi二、均質物體的重心坐標公式即物體容重γ系常量，則P=γV，ΔP=γΔVi于是有xzc=V∑ΔViiyc=V∑ΔViixc=V∑ΔViiyz上式也就是求物體形心位置的公式。對于均質的物體，其重心與形心的位置是重合的。三、均質等厚薄板的重心和平面圖形的形心對于均質等厚的薄板，如取平分其厚度的對稱平面為xy平面，則其重心的一個坐標zc等于零。設板厚為t，則有V=A·t，ΔV=ΔA·tii則xxc=A∑ΔAiiyc=A∑ΔAiiy上式也即為求平面圖形形心的公式。具體方法：（1）積分法；（2）組合法；（3）懸掛法；（4）稱重法。1、積分法

對于任何形狀的物體或平面圖形，均可用下述演變而來的積分形式的式子確定重心或形心的具體位置。對于均質物體，則有xc=V∫vxdVyc=V∫vydVzc=V∫vzdV,,四、確定重心和形心位置的具體方法若為平面圖形，則xc=A∫AxdAyc=A∫AydA，2、組合法當物體或平面圖形由幾個基本部分組成，而每個組成部分的重心或形心的位置又已知時，可按第一節中得到的公式來求它們的重心或形心。這種方法稱為組合法。下面通過例子來說明。3、懸掛法以薄板為例，只要將薄板任意兩點A和B依次懸掛，畫出通過A和B兩點的鉛垂線，兩條鉛垂線的交點即為重心C的位置，如圖。想一想，為啥？AB（a）ABc（b）（四）稱重法對較笨重的物體，如汽車，其重心測定常采用這種方法。圖示機床重2500N，現擬用“稱重法”確定其重心坐標。為此，在B處放一墊子，在A處放一秤。當機床水平放置時，A處秤上讀數為1750N，當θ=20時秤上的讀數為1500N。試算出機床重心的坐標。思考題1yx2.4mcBAθ例4-6如圖所示，邊長為a和正方形均質板，求點E的極限位置，以保證剩余部分AEBDC的重心仍在該部分范圍內。ABCDxyEⅡ【解】分兩部分考慮，如圖所示。則有設極限位置Ⅱ：故代數整理有解得1、填空題（1）空間匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的多邊形。自行封閉(2)力對點O的矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于。力對該軸之矩2、選擇題（1）空間力偶矩是（）A、代數量B、滑動矢量C、定位矢量D、自由矢量D【討論與分析】

（2）一空間力系中各力的作用線均平行于某一固定平面，而且該力系又為平衡力系，則可列獨立平衡方程的個數是（）。A、6個B、5個C、4個D、3個B（3）如果一空間力系中各力的作用線分別匯交于兩個固定點，則當力系平衡時，可列獨立平衡方程的個數是（）。A、6個B、5個C、4個D、3個B（4）如圖所示，矩形板重P，用球鉸鏈C以及柔繩BD支承在水平面上，則力對x、y、z軸之矩為（）