第九節函數模型及其應用總綱目錄教材研讀1.幾種常見的函數模型考點突破2.三種增長型函數模型的圖象與性質3.解函數應用題的步驟（四步八字）考點二函數y=ax+

的模型考點一一次函數與二次函數模型考點三指數函數、對數函數模型考點四分段函數1.幾種常見的函數模型教材研讀2.三種增長型函數模型的圖象與性質3.解函數應用題的步驟(四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇數學模型;(2)建模:將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用

數學知識建立相應的數學模型;(3)求模:求解數學模型,得出數學結論;(4)還原:將用數學方法得到的結論還原為實際問題的意義.以上過程用框圖表示如下:1.下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據,它最可能的函數模型是

()A.一次函數模型

B.冪函數模型C.指數函數模型

D.對數函數模型x45678910y15171921232527答案

A根據已知數據可知,自變量每增加1,函數值增加2,因此函數

值的增量是均勻的,故為一次函數模型.A2.某種細菌在培養過程中,每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個),這種

細菌由1個繁殖成4096個需經過

()A.12小時

B.4小時

C.3小時

D.2小時答案

C設需經過t小時,由題意知24t=4096,即16t=4096,解得t=3.C3.(2015北京西城二模)某工廠更新設備,已知在未來x年內,此設備所花

費的各種費用總和y(萬元)與x之間的函數關系式為y=4x2+64,若欲使此

設備的年平均花費最低,則此設備的使用年限x為

()A.3

B.4

C.5

D.6答案

B設該設備的年平均花費為z萬元,則z=

=

=4x+

≥32,當且僅當4x=

,即x=4時,z取最小值,故選B.B4.用長度為24的材料圍一矩形場地,且中間有兩道隔墻(如圖),要使矩形

的面積最大,則隔墻的長度為

.

答案3解析設隔墻的長度為x,矩形的面積為S,則S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-

3)2+18,∴當x=3時,S取最大值.3典例1某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的一

段拋物線.已知跳水板AB的長為2m,跳水板距水面CD的高BC為3m.為

安全和空中姿態優美,訓練時跳水運動員應在離起跳點A的水平距離為

hm(h≥1)的一處達到距水面最大高度4m.規定:以C為原點,CD所在直

線為橫軸,BC所在直線為縱軸建立直角坐標系.(1)當h=1時,求跳水曲線所在的拋物線方程;(2)當跳水運動員在區域EF內入水時才能達到比較好的訓練效果,求此

時h的取值范圍.考點一一次函數與二次函數模型考點突破解析(1)由題意知最高點為(2+h,4),h≥1,設拋物線方程為y=a[x-(2+h)]2+4,當h=1時,最高點為(3,4),拋物線方程為y=a(x-3)2+4,將A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以當h=1時,跳水曲線所在

的拋物線方程為y=-(x-3)2+4.(2)將點A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1.由題意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在區間[5,6]內有一解.令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-

[x-(2+h)]2+4,則f(5)=-

(3-h)2+4≥0,且f(6)=-

(4-h)2+4≤0.解得1≤h≤

.故所求h的取值范圍是

.方法技巧對于實際生活中的二次函數問題(如面積、利潤、產量問題等),可根據

已知條件確定二次函數模型,結合二次函數的圖象、單調性、零點解

決,解題時一定要注意函數的定義域.1-1

(2016北京西城二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)

滿足關系f(x)=

已知某家庭今年前三個月的煤氣費如下表:月份用氣量煤氣費一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3煤氣,則其煤氣費為

()A.11.5元

B.11元

C.10.5元

D.10元A解析

A由題表知一月份、二月份、三月份煤氣費分別為4元,14元,19元,這三個月煤氣費的計算有以下2種情況:(1)這三個月的煤氣費均由f(x)=C+B(x-A)(x>A)計算得到.故

由①②得B=

.由②③得B=

.矛盾.故不可能為此種情況.(2)一月份的煤氣費由f(x)=C(0<x≤A)計算得到,二月份、三月份的煤氣費由f(x)=C+B(x-A)(x>A)計算得到.∴

∴

∴f(x)=

當x=20時,f(20)=4+

×(20-5)=11.5.故選A.考點二函數y=ax+?的模型典例2某養殖場需定期購買飼料,已知該場每天需要飼料200千克,每

千克飼料的價格為1.8元,飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03

元,購買飼料每次支付運費300元.求該場多少天購買一次飼料才能使平

均每天支付的總費用最少.解析設該場x(x∈N*)天購買一次飼料可使平均每天支付的總費用最

少,平均每天支付的總費用為y元.因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天

飼料的保管費與其他費用共是6(x-1)+6(x-2)+……+6=(3x2-3x)(元).從而有y=

(3x2-3x+300)+200×1.8=

+3x+357≥417,當且僅當

=3x,即x=10時,y有最小值.故該場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的

總費用最少.方法指導應用函數f(x)=ax+

模型的關鍵點(1)明確對勾函數是正比例函數f(x)=ax與反比例函數f(x)=

疊加而成的.(2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)=ax+

的模型,有時可以將所列函數關系式轉化為f(x)=ax+

的形式.(3)利用模型f(x)=ax+

求解最值時,要注意自變量的取值范圍,及取得最值時等號成立的條件.2-1利民工廠某產品的年產量在150噸至250噸之間,年生產的總成本y

(萬元)與年產量x(噸)之間的關系可近似地表示為y=

-30x+4000,則每噸的成本最低時的年產量為

()A.240噸

B.200噸

C.180噸

D.160噸答案

B依題意,得每噸的成本為

=

+

-30,則

≥2

-30=10,當且僅當

=

,即x=200時取等號,因此,當每噸成本最低時,年產量為200噸.B考點三指數函數、對數函數模型典例3(1)(2016北京西城期末)某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏

溫度x(恒溫,單位:℃)滿足函數關系t=

且該食品在4℃的保鮮時間是16小時.①該食品在8℃的保鮮時間是

小時;②已知甲在某日上午10時購買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的

室外溫度隨時間變化如圖所示,那么到了此日13時,甲所購買的食品是

否過了保鮮時間

.(填“是”或“否”)

(2)(2015四川,8,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:

℃)滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該

食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食

品在33℃的保鮮時間是

()A.16小時

B.20小時

C.24小時

D.28小時答案(1)①4②是(2)C解析(1)①∵食品在4℃的保鮮時間是16小時,∴24k+6=16,解得k=-

.∴t(8)=2-4+6=4.②由題圖可知在12時時,溫度為12℃,此時該食品的保鮮時間為2-6+6=20=

1小時.∴到13時,該食品已過保鮮時間.(2)由已知得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②將①代入②得e22k=

,則e11k=

,當x=33時,y=e33k+b=e33k·eb=

×192=24,所以該食品在33℃的保鮮時間是24小時.故選C.方法技巧一般地,涉及增長率問題、存蓄利息問題、細胞分裂問題等,都可以考

慮用指數函數的模型求解.求解時注意指數式與對數式的互化,指數函

數的值域的影響以及實際問題中的條件限制.3-1

(2016四川,7,5分)某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.

若該公司2015年全年投入研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研

發資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發資金開始超過200

萬元的年份是

()(參考數據:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年B答案

B設第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬

元.根據題意得130(1+12%)n-1>200,則lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>

,又∵n∈N*,∴n≥5,∴該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是2019年.故選

B.典例4國慶期間,某旅行社組團去風景區旅游,若每團人數在30或30以

下,飛機票每張收費900元;若每團人數大于30,則給予優惠:每多1人,機

票每張減少10元,直到達到規定人數75為止.每團乘飛機,旅行社需付給

航空公司包機費15000元.(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數;(2)每團人數為多少時,旅行社可獲得最大利潤?考點四分段函數解析(1)設旅行團人數為x,由題意得0<x≤75(x∈N*),飛機票價格為y

元,則y=

(x∈N*),即y=

(x∈N*).(2)設旅行社獲利S元,則S=

(x∈N*),即S=

(x∈N*).因為S=900x-15000在區間(0,30]上為單調增函數,故當x=30時,S取最大

值12000元,又S=-10(x-60)2+21000的定義域為(30,75],所以當x=60時,S取得最大值21000.故當x=60時,旅行社可獲得最大利潤.方法技巧(1)在很多實際問題中,變量間的關系不能用一個關系式表示,這時就需

要構建分段函數模型,如出租車的收費與路程的關系.(2)求函數的最值

常利用基本不等式、導數、函數的單調性等.在求分段函數的最值時,

應先求每一段上的最值,然后比較得最大值、最小值.4-1某旅游景點預計2019年1月份起前x個月的旅游人數的和p(x)(單

位:萬人)與x的關系近似為p(x)=

x(x+1)·(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x個月的人均消費額q(x)(單位:元)與x的關系近似是q(x)=

(1)寫出2019年第x個月的旅游人數f(x)(