1.2.2函數的表示法第一課時函數的表示法目標導航課標要求1.掌握函數的三種表示法:解析法、列表法、圖象法以及各自的優缺點.2.在實際問題中,能夠選擇恰當的表示法來表示函數.3.能利用函數圖象求函數的值域,并確定函數值的變化趨勢.素養達成通過本節內容的學習,使學生學會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數,提高學生的數學抽象和運算分析能力.新知探求課堂探究新知探求·素養養成【情境導學】導入一

(1)如圖是我國人口出生率變化曲線.(2)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表.污染源距離50100200300500氰化物濃度0.6780.3980.1210.050.01想一想圖表中表示的兩者的關系都是函數關系嗎?分別是什么表示方法?(是,分別是圖象法、列表法)導入二語言是溝通人與人之間的聯系的,同樣的祝福又有著不同的表示方法.例如,簡體中文中的“生日快樂!”用繁體中文為:生日快樂!英文為:HappyBirthday!,……,那么對于函數,又有什么不同的表示方法呢?答案:常用的有解析法、圖象法和列表法.知識探究1.函數的表示方法解析法,就是用

表示兩個變量之間的對應關系.圖象法,就是用

表示兩個變量之間的對應關系.列表法,就是

來表示兩個變量之間的對應關系.2.函數的圖象函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散點等等.數學表達式圖象列出表格【拓展延伸】圖象的作法(1)描點法.作圖步驟是:列表、描點、連線.(2)圖象變換法.(ⅰ)平移變換.①形如y=f(x+a),把函數y=f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位,就得到y=f(x+a)的圖象.②形如y=f(x)+a,把函數y=f(x)的圖象沿y軸向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|個單位,就得到y=f(x)+a的圖象.(ⅱ)對稱翻轉變換.①形如y=f(-x),其函數圖象與函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱.②形如y=-f(x),其函數圖象與函數y=f(x)的圖象關于x軸對稱.③形如y=-f(-x),其函數圖象與函數y=f(x)的圖象關于原點對稱.④形如y=f(|x|),其圖象是關于y軸對稱的,在y軸的右側,它的圖象與函數y=f(x)位于y軸右側的圖象重合,然后將y軸右側的圖象沿y軸翻折到左側,就得到y=f(|x|)的圖象.⑤形如y=|f(x)|,將函數y=f(x)的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,x軸上方的部分不變,從而得到函數y=|f(x)|的圖象.(3)利用函數的性質畫圖.先對函數y=f(x)的性質進行分析,然后畫圖,常用的函數的性質有定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性等(奇偶性、單調性下節學習).自我檢測1.(解析法)已知函數f(x+1)=3x+2,則f(x)的解析式是(

)(A)f(x)=3x-1 (B)f(x)=3x+1(C)f(x)=3x+2 (D)f(x)=3x+4AD3.(圖象法)下列圖形可以表示為以M={x|0≤x≤1}為定義域,以N={y|0≤y≤1}為值域的函數是(

)C4.(列表法)已知函數f(x)的對應關系如表所示,則f(f(0))=

.

x10-1f(x)212答案:25.(圖象法)函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的定義域為

,值域為

.

解析:由f(x)的圖象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5]

[-2,3]題型一函數圖象的作法及應用【例1】作出下列函數的圖象并求出其值域.(1)y=(-1)xx,x∈{0,1,2,3};課堂探究·素養提升解:(1)列表x0123y0-12-3函數圖象只是四個點:(0,0),(1,-1),(2,2),(3,-3),其值域為{0,-1,2,-3}.解:(2)列表(2)y=,x∈[2,+∞);解:(3)列表(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].x-2-1012y0-1038畫圖象,圖象是拋物線y=x2+2x在-2≤x≤2之間的部分.由圖可得函數的值域是[-1,8].變式探究:(1)本題中若將(2)中函數y=中的x∈[2,+∞)改為x∈(0,+∞),求函數的值域;(2)本題中若將(3)中x∈[-2,2]改為x∈R,則函數值域是什么?解:(1)當x∈(0,+∞)時,y=∈(0,+∞),故函數值域為(0,+∞).(2)當x∈R時,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函數值域為[-1,+∞).誤區警示

作函數圖象應注意:(1)在定義域內作圖,即樹立定義域優先的意識;(2)圖象是實線或實點,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象;(3)要標出某些關鍵點,例如圖象的頂點、端點與坐標軸的交點等.要分清這些關鍵點是實心點還是空心點.即時訓練1-1:作出下列各函數的圖象.(1)y=1-x,x∈Z;解:(1)這個函數的圖象由一些點組成,這些點都在直線y=1-x上,又x∈Z,從而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的圖象是直線y=1-x上一些孤立的點,如圖所示.(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;解:(2)因為0≤x<3,所以這個函數的圖象是拋物線y=2x2-4x-3介于0≤x<3之間的一段,如圖所示.(3)y=|x-1|.解:(3)所給函數去掉絕對值符號得y=是端點為(1,0)的兩條射線,如圖所示.【備用例1】如圖,函數f(x)的圖象是曲線OAB,其中點O,A,B的坐標分別為(0,0),(1,2),(3,1),則f[f(3)]的值等于

.

解析:由圖象可知f(3)=1,所以f[f(3)]=f(1)=2.答案:2題型二函數解析式的求法【例2】

求函數的解析式.(1)已知f(x)是一次函數,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);(3)已知2f(

)+f(x)=x(x≠0),求f(x).方法技巧函數解析式的求法求函數解析式,關鍵是對基本方法的掌握,常用方法有配湊法、換元法、待定系數法、解方程(組)法、賦值法等.(1)配湊法:將形如f(g(x))的函數的表達式配湊為關于g(x)的表達式,并整體將g(x)用x代換,即可求出函數f(x)的解析式.如由f(x+1)=(x+1)2可得f(x)=x2.(2)換元法:將函數f(g(x))中的g(x)用t表示,則可求得x關于t的表達式,并將最終結果中的t用x代換,即可求得函數f(x)的解析式.(3)待定系數法:將已知類型的函數以確定的形式表達,并利用已知條件求出其中的參數,從而得到函數的解析式.一次函數解析式為y=ax+b(a≠0).二次函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).(4)解方程(組)法:采用解方程或方程組的方法,消去不需要的函數式子,得到f(x)的表達式,這種方法也稱為消去法.(5)賦值法:利用恒等式將特殊值代入,求出特定函數的解析式.這種方法靈活性強,必須針對不同的類型選取不同的特殊值.即時訓練2-1:(1)已知f()=3-x,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).【備用例2】(1)若2f(x)-f(-x)=3x3,求函數f(x)的解析式;(2)設f(x)是R上的函數,且滿足f(0)=1,并且對任意的實數x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x).解:(2)法一因為對任意的實數x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,所以令x=y,則有f(0)=f(x)-x(2x-x+1).因為f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.法二因為對任意的實數x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,所以令x=0,則有f(0-y)=f(0)-y(2×0-y+1).因為f(0)=1,所以f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式有f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),所以f(x)=x2+x+1.題型三函數表示法的應用【例3】

如圖所示,從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各裁一個邊長為x的正方形,然后折成一個無蓋的長方體盒子,要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數t.試把鐵盒的容積V表示為x的函數,并求出其定義域.誤區警示

利用函數解決實際問題時函數的定義域不僅要考慮使函數解析式有意義,還要考慮使實際問題有意義.2018年4月1日,王兵買了一輛手動擋的家庭轎車,該種汽車燃料消耗量標識是:市區工況:10.40L/100km;市郊工況:6.60L/100km;綜合工況:8.00L/100km.王兵估計:他的汽車一年的行駛里程約為10000km,汽油價格按平均價格7.50元/L來計算,當年行駛里程為xkm時燃油費為y元.(1)判斷y是否是關于x的函數,如果是,求出函數的定義域和解析式;解:(1)y是關于x的函數.函數的定義域是[0,10000],函數解析式為y=8××7.50=0.60x.即時訓練3-