2024-2025學年江蘇省揚州市高二上學期11月期中考試數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線過兩點和，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．設為實數，若直線與圓相切，則點與圓的位置關系（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．不能確定5．已知點，，動點滿足條件.則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，橢圓的兩個焦點分別為，以線段為邊作等邊三角形，若該橢圓恰好平分的另兩邊則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．7．已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．8．數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線C：是一條形狀優美的曲線，曲線C圍成的圖形的面積是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，，，則（

）A．直線與線段有公共點B．直線的傾斜角大于C．的邊上的高所在直線的方程為D．的邊上的中垂線所在直線的方程為10．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關于的說法正確的有（

）A．的周長為B．當時，中C．當時，的面積為D．橢圓上有且僅有6個點，使得為直角三角形11．設圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線?，切點分別為?，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點使D.直線過定點三、填空題（本大題共3小題）12．已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為．13．已知過點的直線與兩坐標軸正半軸相交，則直線與坐標軸圍成的三角形面積最小值為．14．在平面直角坐標系中，定義為兩點之間的“折線距離”．①若，則；②原點與直線上任意一點之間的折線距離的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知、為直線上兩點，直線．(1)求直線的方程；(2)若，求實數的值．16．已知和為橢圓上兩點．(1)求橢圓的離心率；(2)若過點且斜率為的直線交于另一點，求△的面積．17．已知圓及點，過點的直線與圓交于、兩點．(1)若弦長，求直線的方程；(2)求△面積的最大值，并求此時弦長的值．18．已知拋物線的準線與軸的交點為．(1)求拋物線的方程；(2)若經過點的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過點的直線與拋物線交于兩點，證明：為定值．19．如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；（Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】由題意，設直線的斜率為，傾斜角為故由于，故故選：B2．【正確答案】D【詳解】因為方程表示橢圓，所以，解得，故選：D.3．【正確答案】A【分析】根據兩條直線平行，求出值，再應用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解之得，于是直線，即，所以與之間的距離為.故選A.4．【正確答案】B【詳解】因與圓相切，則.則到圓心的距離為，則在圓外.故選：B5．【正確答案】A【詳解】，由，結合雙曲線定義可知動點的軌跡為以，為焦點的雙曲線右支，在雙曲線中，，可得，，所以，動點的軌跡方程為.6．【正確答案】B【詳解】如圖，與橢圓交于點，連結，由題意可知，的邊長為，點是的中點，所以，，

，所以.故選：B7．【正確答案】C【分析】由是拋物線的準線，推導出點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值即為點到直線的距離和點到焦點的距離之和，利用幾何法求最值．【詳解】是拋物線的準線，到的距離等于.過P作于Q，則到直線和直線的距離之和為拋物線的焦點過作于，和拋物線的交點就是，∴（當且僅當F、P、Q三點共線時等號成立）點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，最小值．故選：C．8．【正確答案】C【詳解】以代換，方程不變，故曲線C：關于原點及x軸，y軸對稱，當時，可得，即，可得此時曲線是以為圓心，為半徑的半圓，由此作出曲線C的圖象如圖所示，所以曲線C圍成的圖形的面積是，9．【正確答案】BC【分析】判斷在直線的同一側，判斷A的真假；求直線的斜率，根據直線的傾斜角和斜率的關系判斷B的真假；根據兩直線垂直，斜率之積等于，求出高的斜率，利用點斜式可求邊上的高所在的直線方程，判斷C的真假；同理可得線段的中垂線的方程，判斷D的真假.【詳解】對A：因為，，所以點在直線的同一側，所以直線與線段無公共點，故A錯誤；對B：因為直線的斜率為：，所以直線的傾斜角大于，故B正確；對C：因為，所以邊的高所在直線的斜率為，又直線過點，由直線的點斜式方程可得的邊上的高所在直線的方程為，即，故C正確；對D：因為線段的中點坐標為，所以線段的中垂線所在直線的方程為，即，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】AD【詳解】對于A項，由已知可得，，，，所以，.對于A項，由橢圓的定義可得，，又，所以，的周長為，故A項正確；對于B項，如圖1，設，由橢圓的定義可知，，又，所以，即，解得，即，故B項錯誤；對于C項，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，，故C項錯誤；對于D項，設存在點，使得，設，根據橢圓的定義有，因為，所以，即，整理可得，解得.如圖3，當點位于短軸頂點時有，所以，滿足的點有2個；分別過點，作軸的垂線，此時與橢圓有4個交點，即滿足以及的點有4個.綜上所述，橢圓上有且僅有6個點，使得為直角三角形，故D項正確.故選：AD.11．【正確答案】ABD【分析】根據切線長公式即可求解A，B，C，設出點的坐標，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因為圓的半徑為，根據切線長公式可得，當時取等號，所以的取值范圍為，所以A正確；因為，所以四邊形面積等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設，因為，整理得，方程無解，所以不存在點使，故C不正確；對于D，設，則，，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得，所以為圓與以為直徑的圓的公共弦，聯立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過定點，故D正確；故選：ABD12．【正確答案】【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.故13．【正確答案】8【詳解】設直線l的方程為（a＞0，b＞0）∵P（1，4）在直線l上∴，即，當且僅當時，即b＝8，,a＝2時，等號成立故故答案為814．【正確答案】23【詳解】對于①若則；對于②，設，則，函數圖象如下所示：則.故2；315．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題設，則，故；（2）由，則，可得.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，則，所以橢圓的標準方程為：，離心率為.（2）如圖過點且斜率為的直線設為：化簡即，即，經過原點，由橢圓的對稱性知道，關于原點對稱，則，，由點到直線距離公式求得到的距離，則，故的面積為．17．【正確答案】(1)或；(2)最大，此時.【詳解】（1）若直線斜率不存在，則，此時，不符題設，由，則圓心，半徑為3，又，所以到直線的距離，令直線，則，可得，故或，所以直線的方程為或；（2）由（1）直線斜率不存在，有，又到直線的距離，則；若直線斜率存在，令，此時到直線的距離，，所以，令，則，當且僅當，即或時等號成立，所以，此時最大.18．【正確答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【詳解】（1）由題設知，則；（2）由題意，直線的斜率不存在時，與拋物線只有一個交點，但不相切，令，聯立拋物線得，所以，則或，所以直線為或.（3）由題意，斜率一定存在，令為，，聯立拋物線得，則，，而，，所以.19．【正確答案】（Ⅰ）橢圓的標準方程為；雙曲線的標準方程為（Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常數使得恒成立，【詳解】試題分析：(1)設橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標準方程為＝1.由題意設等軸雙曲線的標準方程為＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m＝2，因此雙曲線的標準方程為＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則k1＝，k2＝.因為點P在雙曲線x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程為y＝k1(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.由韋達定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD