PAGE1專題1.8特殊的平行四邊形全章專項復習【3大考點7種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1菱形的性質與判定】 1【題型1菱形性質的應用】 2【題型2菱形性質與判定的綜合應用】 6【題型3菱形中的動點問題】 12【考點2矩形的性質與判定】 19【題型4矩形的性質與判定的綜合應用】 20【題型5矩形中的折疊問題】 25【考點3正方形的性質與判定】 33【題型6正方形性質的應用】 34【題型7幾種特殊平行四邊形的綜合】 38【考點1菱形的性質與判定】1.菱形：有一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形.【注意】（1）菱形必須具備兩個條件：①是平行四邊形；②是有一組鄰邊相等.這兩個條件缺一不可.（2）菱形的定義既是菱形的性質，也是菱形的判定方法.2.菱形的性質：菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有自身獨特的性質，總結見下表.性質數學語言圖形邊菱形的四條邊都相等四邊形是菱形，.對角線菱形的兩條對角巷互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角四邊形是菱形，,對稱性菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸【注意】（1）菱形的兩條對稱軸分別是兩條對角線所在直線.（2）菱形的兩條對角線互相垂直，且把菱形分成四個全等的直角三角形.把菱形的性質與勾股定理相聯系，可得對角線與邊之間的關系，即邊長的平方等于兩條對角線一半的平方和.（3）如果菱形的一個內角為60°，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構成的三角形為等邊三角形.3.菱形的面積公式由來文字語言數學語言圖示菱形的面積公式菱形是平行四邊形.菱形的面積=底×高.菱形的對角線互相垂直菱形的面積=對角線長的乘積的一半【拓展】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半.【題型1菱形性質的應用】【例1】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點O，連接BO，若∠OBC=65°，則∠DAC的度數為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質，三角形全等的性質與判定，等腰三角形的性質，掌握以上性質定理是解題的關鍵．根據菱形的性質以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠DAC的度數．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB=BC，BC∥AD，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，又∵AM=CN，∴△AMO≌△CNO(ASA∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠OBC=65∴∠BCA＝90°?∠OBC＝90°?65°=25°，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠BCA=25°．故選B．【變式1-1】（23-24九年級·廣東湛江·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于點E，交對角線AC于點P，過點P作PF⊥CD于點F．若△PDF的周長為8．則菱形ABCD的面積為．【答案】322【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質和判定等知識點，能熟記菱形的性質和求出DF=PF=PE是解此題的關鍵根據菱形的性質得出DC=BC，∠DAB=∠DCB=45°，∠DCA=∠BCA，根據角平分線的性質得出PF=PE，求出DF=PF，設DF=PF=x，則DP=2，根據的周長為8得出，求出x+x+2x=8，求出DF=PF=PE=8?42，DP=2x=82?8，【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=45°，∴DC=BC，∠DAB=∠DCB=45°，∠DCA=∠BCA，∵DE⊥BC，PF⊥DC，∴∠DEC=∠PFD=90°，PF=PE，∴∠EDC=∠DPF=∠DCB=45°，∴DF=PF=PE，DE=CE，設DF=PF=x，則DP=2∵△PDF的周長為8，∴x+x+2解得：x=8?42即DF=PF=PE=8?42，DP=∴DE=DP+PE=82即DE=CE=42，DC=∴BC=DC=8，∴菱形ABCD的面積=BC×DE=8×4故答案為：322【變式1-2】（23-24九年級·重慶沙坪壩·期中）如圖，菱形ABCD，對角線AC與BD交于點O，CE⊥AB于點E，F為線段AE上一點，若AC=6,BD=8,AF=49AE，則線段【答案】2【分析】本題主要考查了菱形的性質、勾股定理、等積法，熟練掌握菱形的性質和勾股定理的應用是解題的關鍵．由四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD,BO=12BD=4,AO=12AC=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=5，由等積法可得CE=24【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,BO=1在Rt△AOB由勾股定理得：AB=A∵12∴12解得：CE=24在Rt△ACE由勾股定理得：AE=A∵AF=4∴EF=AE?AF=2故答案為：2．【變式1-3】（23-24九年級·四川宜賓·期末）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F．(1)求證：AM=DM；(2)若菱形ABCD的周長是16，求DF的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接BD，根據題中所給條件證明△AEM與△DFM全等即可證明AM=DM．（2）根據菱形的性質可得AB=4，可得AE=2，結合（1）證得△AME≌【詳解】（1）證明：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB∥∵EF⊥AC，∴EF∥∴四邊形EFDB是平行四邊形，∴DF=EB，∵E是AB中點，∴AE=EB，∴AE=DF，∵AB∥∴∠EAM=∠ADF，在△AEM和△DMF中，∠EAM=∠FDN∠AME=∠DMF∴△AME≌∴AM=DM；（2）解：∵菱形ABCD的周長是16，∴AB=4．∵E為AB的中點，∴AE=2，∵△AME≌∴DF=AE=2；【點睛】此題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定與性質及三角形全等的判定與性質等知識點．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．【題型2菱形性質與判定的綜合應用】【方法總結】通常解決菱形性質與判定的綜合題時,首先應判定相應的四邊形是菱形,然后再根據菱形的性質進行下一步的證明.【例2】（23-24九年級·湖南益陽·期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線BD的垂直平分線分別交BD、AD、BC于點O、E、F，(1)求證：四邊形BEDF是菱形；(2)若∠AEB=62°，求∠BDF的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)∠BDF=31°．【分析】（1）先證△DOE≌△BOFASA,得EO=FO,再證四邊形BEDF是平行四邊形，然后由（2）由菱形的性質得BE∥DF,∠BDF=12∠EDF,本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握菱形的判定與性質，證明△DOE≌△BOF是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF,∵EF垂直平分BD，∴BO=DO,在△DOE和△BOF中，∠ODE=∠OBF∴△DOE≌△BOF∴EO=FO,∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵EF⊥BD,∴平行四邊形BEDF是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形BEDF是菱形，∴BE∥DF,∠BDF=∴∠EDF=∠AEB=62°∴∠BDF=【變式2-1】（23-24九年級·江蘇南京·期中）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F．若AB=5，AD=10,BF=8，則?ABCD的面積為．【答案】48【分析】根據平行四邊形的性質和角平分線的性質證明∠BAE=∠BEA，從而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF//BE可得四邊形ABEF是菱形；連接EF、過點A作AH⊥BC于點H，證明四邊形ABEF為菱形，根據菱形的性質可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的長，進而可得AE長，利用菱形的面積公式計算出AH的長，然后可得【詳解】解：連接EF、過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC=AD=10，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分線交BC于點E∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理：AB=AF，∴AF=BE，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，∵BF=8，∴BO=4，∴AO=A∴AE=2AO=6，∴S菱形∴AH=S∴S?ABCD故答案為：48．【點睛】此題主要考查了菱形的性質和判定，以及平行四邊形的性質，勾股定理，關鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形的面積為對角線之積的一半．【變式2-2】（23-24九年級·山東德州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BE∥CD，過點C作CE∥AB，BE(1)判斷四邊形CEBD的形狀并說明理由；(2)過點D作DF⊥CE于點F，交CB于點G，連接EG．若AB=10，CF=3，求DG的長．【答案】(1)四邊形CEBD是菱形，理由見解析(2)DG=【分析】（1）根據題意證明四邊形CEBD是平行四邊形，再利用直角三角形性質得到CD=BD=12AB（2）利用直角三角形性質得到CD=12AB=5，利用勾股定理得到DF，結合菱形性質得到EF，并證明△DCG≌△ECG【詳解】（1）解：四邊形CEBD是菱形．理由如下：∵BE∥CD，∴四邊形CEBD是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且點D是AB∴CD=BD=1∴四邊形CEBD是菱形；（2）解：∵AB=10，∴CD=1∵DF⊥CE，∴∠DFC=90°，在Rt△CDF中，CF=3∴DF=C∵四邊形CEBD是菱形，∴CE=CD=5，∠DCG=∠ECG，∴EF=CE?CF=2，在△DCG與△ECG中，CD=CE∠DCG=∠ECG∴△DCG≌△ECGSAS∴DG=GE，∵FG∴4?DG∴DG=5【點睛】本題考查了菱形的判定及性質、勾股定理、全等三角形的判定及性質、直角三角形的特征，熟練掌握其判定及性質是解題的關鍵．【變式2-3】（23-24九年級·甘肅武威·期末）如圖是一張對邊平行的紙片，點A，C分別在平行邊上，連接AC．(1)求作：菱形ABCD，使點A，D落在紙片的同一邊上；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)證明：四邊形ABCD是菱形．(3)在（1）的條件下，AC，BD交于點O，若BC=6，OC=3，求菱形ABCD的面積．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析(3)18【分析】（1）作線段AC的垂直平分線，交紙片的平行邊于兩點B，D，連接AB、CD；（2）根據垂直平分線的性質得AO=CO，AB=BC，由AD∥BC，得∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，證明△AOD≌△COBAAS，得AD=BC（3）先根據菱形的性質得到AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，根據勾股定理得BO=B【詳解】（1）解：如圖，作線段AC的垂直平分線，交紙片的平行邊于兩點B，D，連接AB、CD，則四邊形ABCD即為所作；（2）證明：設AC，BD交于點O，根據作圖可知：BD垂直平分AC，∴AO=CO，AB=BC，∵AD∥∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCO∠ADO=∠CBO∴△AOD≌△COBAAS∴AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD為菱形；（3）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∵BC=6，OC=3，∴BO=B∴AC=2OC=6，BD=2BO=63∴S菱形∴菱形ABCD的面積為183【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，垂直平分線的性質，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質，勾股定理．解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【題型3菱形中的動點問題】【方法總結】解決動點問題的思路:

1.動中求靜:在運動變化中探索問題的不變性.

2.動靜互化:抓住“靜”的瞬間,找出導致圖形發生改變的特殊時刻,同時在變化過程中尋找不變性及變化規律.【例3】（23-24九年級·黑龍江雞西·期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為?3,4，點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H，連接BM．(1)菱形ABCO的邊長為；(2)求直線AC的解析式；(3)動點P從點A出發，沿折線ABC以1個單位長度/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S，點P的運動時間為t秒．①求S與t之間的函數關系式；②在點P的運動過程中，當S=3時，請直接寫出t的值．【答案】(1)5(2)y=?(3)①S=?3【分析】（1）在Rt△AOH（2）根據（1）即可求OC的長，則C的坐標即可求得，利用待定系數法即可求得直線AC的解析式；（3）①根據S△ABC=S△AMB+S△BMC求得M到直線BC的距離為h，然后分成P【詳解】（1）解：∵四邊形ABCO是菱形，∴AB∥x軸，AB=OA=OC=BC，∴AB⊥y軸，∵點A的坐標為?3,4，∴AH=3,OH=4，∴OA=A即菱形ABCO的邊長為5；故答案為：5（2）解：由（1）得：OC=OA=5，∴點C的坐標為5,0，設直線AC的解析式為y=kx+bk≠0把點5,0，?3,4代入得：5k+b=0?3k+b=4，解得：k=?∴直線AC的解析式為y=?1（3）解：①設M到直線BC的距離為h，對于y=?1當x=0時，y=5∴點M的坐標為0,5∴HM=HO?OM=4?5∵S△ABC∴12即12解得：?=5當點P在AB邊上時，，此時BP=BA?AP=5?t,HM=3∴S=1當點P在BC邊上時，5≤t≤10，此時BP=t?5,?=5S=1綜上所述，S與t之間的函數關系式為S=?②∵S=3，當0≤t<5時，3=?3解得：t=1；當5≤t≤10時，3=5解得：t=37綜上所述，t的值為1或375【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式以及菱形的性質，根據三角形的面積關系求得M到直線BC的距離h是關鍵．【變式3-1】（23-24九年級·山東濟南·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=18cm，CD=28cm，動點P從點A出發，以1cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點C出發，以3(1)當四邊形PBCQ是平行四邊形時，求t的值；(2)當t=________時，四邊形APQD是矩形；若AD=16cm且點Q的移動速度不變，要使四邊形APQD能夠成為正方形，則P點移動速度是________cm/s(3)在點P、Q運動過程中，若四邊形PBQD能夠成為菱形，求AD的長度．【答案】(1)t=4.5(2)7；4(3)AD=12【分析】（1）根據平行四邊形對邊相等的性質得到關于t的方程即可得解；（2）根據矩形及正方形的性質列方程求解即可；（3）根據菱形的性質可以算得四邊形PBDQ成為菱形的t值，并算出AP、PD的值，再根據勾股定理可以得到AD的值．【詳解】（1）解：當四邊形PBCQ是平行四邊形時，PB=CQ，∴18?t=3t，解得t=4.5．（2）解：若四邊形APQD是矩形，則：AP=QD，∴t=28?3t，解得：t=7；若四邊形APQD是正方形，則：QD=AP=AD=16cm∴28?3t=16,解得：t=4，設P點運動速度為vcm/s，則由AD=164v=16，解得：v=4，∴當要使四邊形APQD能夠成為正方形，則P點移動速度是4cm故答案為：7；4；（3）解：如圖，若四邊形PBQD是菱形，則BP=DQ=DP，∴18?t=28?3t，解得：t=5，∴AP=5cm，BP=DQ=13∵AB∥CD，∴∠A=180°?90°=90°，在Rt△DAPAD=D【點睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的應用，勾股定理，熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關邊的性質、勾股定理的應用是解題關鍵．【變式3-2】（23-24九年級·廣西欽州·期中）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ADC=120°，則MA+MB+MD的最小值是．【答案】8【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定及性質，直角三角形的特征，勾股定理等；由等邊三角形的判定方法得△ADB是等邊三角形，由直角三角形的特征AM=2ME，當D、M、E三點共線時，ME+DM取得最小值，此時ME+DM=DE，MA+MB+MD的最小值為2DE，即可求解；掌握菱形的性質，等邊三角形的判定及性質，直角三角形的特征，找出取得最值的條件是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點M作ME⊥AB于點E，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥AD=AB=DC=BC，∠MAE=1∴∠DAB+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°?120°=60°，∴∠MAE=1△DAB是等邊三角形，∵ME⊥AB，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM∴當D、M、E三點共線時，ME+DM取得最小值，此時ME+DM=DE，∴MA+MB+MD的最小值為2DE，∴AE=1∴DE===43∴2ME+DM∴MA+MB+MD的最小值為83故答案：83【變式3-3】（23-24九年級·江蘇揚州·期末）如圖，在矩形ABCD中，點F是BC上一點，且CF=2BF，CE⊥AF，垂足為點E，∠BCE=30°．(1)求證：AE=EF+CF；(2)若AD=6cm，點P是AD上一動點，以1cm/s的速度從點A運動到點D，問：點P運動多少秒四邊形【答案】(1)見解析(2)4秒，見解析【分析】本題考查了矩形的性質，菱形的性質，全等三角形的性質與判定；（1）根據矩形的性質，結合已知條件，證明△ABF≌△CEF，進而即可得證；（2）設點P運動t秒，四邊形AFCP是菱形，根據菱形的性質可得AP=AF=CF=CP=t，根據CF=2BF，BC=6建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵CE⊥AF，∴∠E=90°，在Rt△CEF中，∠ECF=90°，∴EF=1∵CF=2BF，∴BF=EF，又∠BFA=∠EFC，∴△ABF≌△CEF，∴AF=CF，∵AE=AF+EF，∴AE=CF+EF；（2）解：設點P運動t秒，四邊形AFCP是菱形，∵四邊形AFCP是菱形∴AP=AF=CF=CP=t，∵CF=2BF∴BF=1∵AD=6，∴BC=6，即BF+CF=6，∴12t+t=6∴點P運動4秒，四邊形AFCP是菱形．【考點2矩形的性質與判定】1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）矩形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個條件：①是平行四邊形；②有一個角是直角.這兩個條件缺一不可.（3）矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的方法.2.矩形的性質：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有自身獨特的性質（見下表）.性質數學語言圖形角矩形的四個角都是直角四邊形是矩形，對角線矩形的對角線相等四邊形是矩形，對稱性矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸【注意】（1）矩形的性質可歸結為三個方面.①邊：矩形的對邊平行且相等，鄰邊互相垂直.②角：矩形的四個角都是直角.③對角線：矩形的對角線互相平分且相等.（2）矩形的兩條對稱軸分別是兩對對邊中點連線所在的直線，對稱軸的交點就是對角線的交點.（3）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，這四個三角形的面積相等.3.直角三角形斜邊上中線的性質性質數學語言主要應用圖示直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖所示，在中，(或)證明線段倍分、相等關系【拓展】該性質的逆命題“如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用來判斷一個三角形是否為直角三角形.4.矩形的判定判定方法數學語言圖形角有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）在中，，是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形中，，四邊形是矩形.對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在中，，是矩形【題型4矩形的性質與判定的綜合應用】【例4】（23-24九年級·遼寧大連·期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在邊BC上，連接AE，BD交于點F，(1)如圖1，若AB=BC=AE，則∠DBC的度數為______°(2)如圖2，若∠ABC=90°，AF=5，四邊形ABCD的周長為28，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)36；(2)四邊形ABCD的面積為48．【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的性質，利用完全平方公式求面積是解題的關鍵．（1）設∠DBC=x,根據菱形的性質和等腰三角形的性質，得出△BEF三個角的度數，列方程得出x，即可得到∠DBC的度數；（2）連接AC，求出對角線BD的長度，從而得出四邊形ABCD的邊長，求出面積．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，設∠DBC=x，則∠ABD=x，∴∠ABE=2x，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE=2x，∵∠AEB+∠BFE+∠DBC=180°，∴2x+2x+x=180°，∴x=36°，∴∠DBC=36°，故答案為：36；（2）解：連接AC交BD于點O，如圖：設∠DBC=x，則∠BFE=2x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠DAO=∠ADO=∠DBC=x，∴BD=10，設AB=a，∴a+b=14,∴ab=a+b∴四邊形ABCD的面積為48．【變式4-1】（23-24九年級·江蘇南通·期末）如圖，AM∥BN，C為BN上一點．小明利用直尺和圓規完成了以下作圖：連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于P，Q兩點，作直線PQ，交AC于點O，連接BO并延長交AM于點D，連接(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)當∠ABC=90°時，在BN上取一點E，使BE=AC，連接DE．若∠BED=75°，求∠DBC的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)∠DBC的度數為30°．【分析】（1）由作圖過程可知，直線PQ為線段AC的垂直平分線，則可得AO=CO，證明△AOD≌△COB,可得AD=CB,結合平行四邊形的判定可得結論．（2）由題意可得四邊形ABCD為矩形，則BD=AC,進而可得BD=BE,則∠BDE=∠BED=75°,則∠DBC=180°?∠BDE?∠BED=30°．本題考查作圖-基本作圖、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定、矩形的判定與性質是解答本題的關鍵．【詳解】（1）證明：由作圖過程可知，直線PQ為線段AC的垂直平分線，∴AO=CO，∵AM∥BN，∴∠DAO=∠BCO，∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COBASA∴AD=CB，∵AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）解：∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∴BD=AC，∵BE=AC，∴BD=BE，∴∠BDE=∠BED=75°，∴∠DBC=180°?∠BDE?∠BED=30°．【變式4-2】（23-24九年級·浙江杭州·期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO=10，BO=DO，且AB=12，BC=16．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC于點E，求∠BDF的度數．【答案】(1)見解析(2)18°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC=90°，即可得證；（2）求出∠FDC的度數，根據三角形的內角和，求出∠DCO，然后根據OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數．【詳解】（1）證明：∵在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO=10，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AC=AO+CO=20，∵AB=12，BC=16，∴AB∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，∵∠ADF:∠FDC=3:2，∠ADF+∠FDC=∠ADC，∴∠FDC=2∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°?36°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC?∠FDC=18°．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，能靈活運用定理進行推理是解題的關鍵．注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【變式4-3】（23-24九年級·河南鄭州·期末）如圖1，四邊形ABCD中，點E，點F在對角線AC上，AF=CE，連接DE，BF，DE=BF，DE∥BF．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)如圖2，連接BD交AC于點O，連接BE，若BE平分∠ABD，AC=BD=2AB，BC=6，求△BEC的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．（1）利用SAS證明△ABF≌△CDE，然后得到AB∥CD，AB=CD，即可得到結論；（2）證明四邊形ABCD是矩形，然后可以得到△ABO是等邊三角形，利用勾股定理求出EC和BE長即可解題．【詳解】（1）證明：∵DE∥BF，∴∠DEC=∠BFA，又∵AF=CE，DE=BF，∴△ABF≌△CDE，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD=2AB，∴四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO=AB，∠ABC=90°，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABO=60°，又∵AC2∴AB=3∴AC=2AB=43又∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=12∠ABO=30°∴AE=1∴BE=AB又∵EC=AC?AE=43∴S△BEC【題型5矩形中的折疊問題】【方法總結】解決與矩形相關的折疊問題,主要是利用折疊的性質“折疊前后的圖形能夠完全重合,折疊前后的圖形對應邊相等,對應角相等”.解答此類問題,往往通過圖形間的折疊,找出折疊部分與原圖形之間線段或角的聯系,從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關系.【例5】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖，將矩形ABCD的四個角向內翻折后，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，EH=3cm，EF=4cm，則矩形ABCD的周長為（A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm【答案】C【分析】由翻折的規律證明四邊形EFGH是矩形及AB＝2EM，再由矩形的性質結合已知條件求出EM的長度，即可求出AB的長度，由折疊性質證明AD+BC＝2HF，求得AD，最后由矩形的周長公式求得周長便可．【詳解】解：如圖所示，∵將矩形ABCD的四個角向內翻折后，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°，∴AB＝AE+EB＝2EM，∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°，∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM=1同理，∠EFG＝∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形，∵EH＝3cm，EF＝4cm，∴HF=E∵EM?HF＝EH?EF，

∴EM=EF?EF∴AB＝2×12由折疊知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF，∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF，∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10，∵AD＝BC，∴AD＝5，∴矩形ABCD的周長＝2（AB+AD）＝2（245故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的判定與性質，掌握翻折變換的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，等積法是解決問題的關鍵．【變式5-1】（23-24九年級·浙江寧波·期中）如圖1，在矩形ABCD中，點P是BC上的點，△ABP沿AP折疊B點的對應點是M點，延長PM交直線AD于點E．(1)求證：EA=EP；(2)Q是AD上的點，QD=BP；△CDQ沿CQ折疊D點的對應點是N點，且P、M、N、Q在同一直線上．①如圖2，若M、N互相重合，求ABAD②若AB=4,MN=4，求BP的長．（自己畫草圖）【答案】(1)見詳解(2)①ABAD=33②【分析】（1）由折疊的性質及矩形的性質證明∠APM=∠EAP，則可得出結論；（2）①證出∠BAP=30°，設BP=x，則AB=3x，②分兩種情況，由矩形的性質及勾股定理可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABP沿AP折疊B點的對應點是M點，∴∠APB=∠APM，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠APB=∠EAP，∴∠APM=∠EAP，∴EA=EP；（2）解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DQ=BP，∴AQ=CP，∴四邊形APCQ為平行四邊形，∵折疊，∴∠ABP=∠AMP=90°，∴AC⊥PQ，∴四邊形APCQ為菱形，∴∠PAM=∠QAM，∵∠BAP=∠PAM，∴3∠BAP=90°，∴∠BAP=30°，設BP=x，則AB=3x，∴BC=BP+PC=3x，∴AD=3x，∴ABAD②如圖，若MN=4，N在M在上方，設BP=DQ=a，∴PM=NQ=a，∴PQ=2a+4，∴AD=3a+4，過點Q作QH⊥BC于點H，則四邊形QHCD為矩形，∴QH=DC=4，QD=HC=a，∴PH=BC?BP?CH=a+4，∵PQ∴(2a+4)∴a=43，a=?4（舍∴BP=4如圖，設BP=a，同理可得(a?4)2∴a=4，a=?43（舍∴BP=4，綜上所述，BP的長為43【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質，菱形的判定與性質，矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式5-2】（23-24九年級·江蘇泰州·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝23，將△ABC沿AC翻折至△AB'C，連接B'D．當BC長為時，△AB'D是直角三角形．【答案】6或4【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°兩種情況，畫出圖形，利用含30°的直角三角形的性質和矩形的判定與性質解答即可．【詳解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．①當∠B′AD=90°時，如圖1，延長B′A交BC于E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，∴∠B′EC=90°，由折疊性質得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，在Rt△B′EC中，CE=12B′C，即CE=12∴BE=CE=12BC在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝23，∴AE=12AB=3，BE=A∴BC=2BE=6；②當∠AB′D=90°時，如圖2，設AD與B′C相交于O，∵AD∥BC，∴∠OAC=∠ACB，由折疊性質得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC，又AD=BC=B′C，∴OD=OB′∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．∵∠ADC=∠B=∠AB′C，∴∠CDB′=∠AB′D=90°，∴CD∥AB′，又CD=AB′，∴四邊形AB′DC是矩形，∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=23∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，解得：BC=4，綜上，當BC長為6或4時，△AB′D是直角三角形．故答案為：6或4．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、折疊性質、平行線的判定與性質、矩形的判定與性質、含30°的直角三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質，熟練掌握相關知識間的聯系與運用是解答的關鍵．【變式5-3】（23-24九年級·天津濱海新·期末）如圖，已知OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A15,0．點C0,9，在邊AB上任取一點D，將△AOD沿OD翻折，使點A落在BC邊上，記為點

(1)OA的長=______，OE的長=________，CE的長=________，AD的長=________；(2)設點P在x軸上，且OP=EP，求點P的坐標．【答案】(1)15

15

12

5(2)P(9.375,0)【分析】（1）由點A、點C的坐標可求得OA、OC的長，由翻折的對稱性知，OE=OA；由勾股定理，在Rt△OCE中可求得CE的長；于是可求得BE的長，設AD=DE=x，BD=9?x，則在Rt（2）自點E作EH⊥OA，垂足為H．利用矩形的性質可求得EH、OH的長，設OP=EP=x，則在Rt△EHP中利用勾股定理可求得x=OP的長，于是點P【詳解】（1）如圖．

由點A(15,0)可知，OA=15．由△AOD沿OD翻折變成△EOD知，△AOD?△EOD，∴OE=OA=15．由點C0,9知，OC=9∴CE=O∴BE=BC?CE=OA?CE=15?12=3．由△AOD?△EOD得，AD=DE，設AD=DE=x，則BD=AB?AD=OC?AD=9?x．在Rt△BDE中，即：x2解得：x=5．∴AD的長=5．（2）自點E作EH⊥OA，垂足為點H．則四邊形OCEH是矩形．∴OH=CE=12，設OP=EP=x，則PH=OH?OP=12?x．在Rt△EHP中，∴x解得：x=9.375．∴點P的坐標為9.375,0【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理的應用、矩形的折疊等知識點，解題的關鍵是將條件集中在一個直角三角形內，利用勾股定理求解．【考點3正方形的性質與判定】1.正方形：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.【注意】（1）正方形必須具備三個條件：①是平行四邊形；②有一組鄰邊相等；③有一個角是直角.這三個條件缺一不可.（2）正方形的四條邊都相等，說明正方形時特殊的菱形；正方形的各個角都是直角，說明正方形時特殊的矩形.即正方形不僅是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形.2.正方形的性質正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質.元素性質邊對邊平行，四條邊都相等角四個角都是直角對角線兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角對稱性是軸對稱圖形，有四條對稱軸【注意】矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關系如圖所示.（2）正方形的面積=邊長的平方=兩條對角線長乘積的一半.（3）正方形被兩條對角線分成四個全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解決問題時常用到等腰三角形和直角三角形的性質.3.正方形的判定1.先證明是矩形，再從矩形出發：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對角線互相垂直的矩形是正方形.2.先證明是菱形，再從菱形出發：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線相等的菱形是正方形.【注意】（1）由上面的判定方法可以得到判定一個四邊形為正方形的一般順序為：先判定四邊形是平行四邊形，再判定該平行四邊形是矩形或菱形，最后判定該矩形或菱形是正方形.【題型6正方形性質的應用】【方法總結】關于利用正方形的性質進行計算的技巧:

(1)求角:利用正方形的四個角為直角,一條對角線與一邊的夾角為45°進行推導計算.

(2)求線段的長:利用正方形的四條邊相等,對角線相等且互相垂直平分進行計算.【例6】（23-24九年級·江蘇南京·期中）如圖，在正方形ABCD內作等邊三角形AED，連接BE，CE，則∠EBC的度數為（

）A．15° B．20° C．22.5° D．30°【答案】A【分析】本題考查了正方形、等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質等知識，先根據正方形、等邊三角形的性質得出AB=AD=AE，∠BAD=∠ABC=90°，∠DAE=60°，從而可求出∠BAE的度數，然后利用等邊對等角和三角形內角和定理可求出∠ABE的度數，最后根據角的和差關系求解即可.【詳解】解：∵在正方形ABCD內作等邊三角形AED，∴AB=AD=AE，∠BAD=∠ABC=90°，∠DAE=60°，∴∠BAE=∠BAD?∠DAE=30°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=180°?∠BAE∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=15°，故選：A.【變式6-1】（23-24九年級·山東威?！て谀┤鐖D，正方形OABC中，點O為原點，點A，C分別在x軸，y軸正半軸上，對角線AC，BO交于點D，作以下操作：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BO，AB于點E，F兩點；②分別以E、F為圓心，以大于12EF的長為半徑作弧，兩弧交于點③作射線BG，交AC于點M，交OA于點N．若點N的坐標為2,0，則點M的坐標為．【答案】2【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了正方形的性質．過N點作NH⊥OB于H點，過M點作MQ⊥AB于Q點，如圖，根據正方形的性質得到∠BOA=∠BAC=45°，∠OAB=90°，根據基本作圖得到BN平分∠ABO，則利用角平分線的性質得到NH=NA，在Rt△ONH中利用等腰直角三角形的性質得到OH=NH=2，所以OA=2+2，則AD=2+1，接著根據角平分線的性質得到MQ=MD，根據等腰直角三角形的性質得到AM=2DM=2AQ【詳解】解：過N點作NH⊥OB于H點，過M點作MQ⊥AB于Q點，如圖，∵四邊形ABCO為正方形，∴∠BOA=∠BAC=45°，∠OAB=90°，由作法得BN平分∠ABO，而NH⊥OB，NA⊥AB，∴NH=NA，∵N2,0∴ON=2，在Rt△ONH中，OH=NH=∴OA=2+2∴AD=2∵BM平分∠ABD，∴MQ=MD，∵AM=2∴AM=2∵DM+AM=AD，∴DM+2解得DM=1，∴MQ=AQ=1，∴M點的坐標為2+1,1故答案為：2+1,1【變式6-2】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）園林小路，曲徑通幽，如圖所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地（

）平方米．

A．a+1.5b B．a+2b C．a+2.5b D．a+3b【答案】B【分析】先證明每兩個正方形公共頂點處內外兩個三角形的面積相等，進而求解．【詳解】先證明每兩個正方形公共頂點處內外兩個三角形的面積相等：如圖，過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，則∠AMC=∠ANG=90°，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，在△ACM和△AGN中，∠MAC=∠NAG∠AMC=∠ANG∴△ACM≌△AGN(AAS)∴CM=GN，∵S△ABC=∴S

由上知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和．∴這條小路的面積為(a+2b)平方米．故選：B【點睛】本題考查了正方形的性質和三角形全等的判定和性質，關鍵是尋找三角形面積之間的等量關系．【變式6-3】（23-24九年級·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形ABCD，P是對角線AC上任意一點，過點P作PM⊥AD于點M，PN⊥AB于點N．(1)求證：四邊形PMAN是正方形；(2)若E是AM上一點，且∠EPA=15°，寫出∠MEP的度數．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】本題考查了正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，三角形內角和，角平分線性質，熟練掌握正方形的各種性質是證題的關鍵．（1）由四邊形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，（2）根據正方形的性質得到∠APM=45°，∠AMP=90°，求得【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，

∵PM⊥AD，∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°∴四邊形PMAN是矩形，

∵PM=PN，∴四邊形PMAN是正方形；（2）解：∵四邊形PMAN是正方形，∴∠APM=45°，∠AMP=90°∵∠APE=15°，∴∠EPM=30°，∴∠MEP=60°．【題型7幾種特殊平行四邊形的綜合】【例7】（23-24九年級·河北唐山·期末）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，G，H分別是AD，BC中點，，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．(1)當0≤t<5，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形（E、F相遇時除外），說明理由．(2)若四邊形EGFH為矩形，t的值為；(3)若G向D點運動，H向B點運動，且與點E，F以相同的速度同時出發，若四邊形EGFH為菱形，則t的值為．【答案】(1)四邊形EGFH是平行四邊形(2)四邊形EGFH為矩形時t=2或t=8(3)當t=94時，四邊形【分析】（1）利用三角形全等可得EG=FH，∠AEG=∠CFH，則EG∥（2）分為兩種情況，一種是四邊形EGFH為矩形，另一種是FGEH為矩形，利用EF=GH即可求解；（3）根據菱形對角線平分且垂直可證明四邊形AGCH為菱形，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形EGFH是平行四邊形，理由如下：由題意得：AE=CF=t0≤t<5∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GAE=∠HCF，∵G，H分別是AD，BC中點，∴AG=12AD∴AG=CH，∴△AEG≌△CFHSAS∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，∴∠FEG=∠EFH，∴EG∥∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：如圖1，連接GH，由（1）得AG=CH=BH，AG∥BH，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH=AB=6，①如圖1，當四邊形EGFH是矩形時，∴EF=GH=6，∵AE=CF=t，∴EF=10?2t=6，∴t=2；②如圖2，當四邊形EGFH是矩形時，∵EF=GH=6，AE=CF=t，∴EF=t+t?10=2t?10=6，∴t=8；綜上，四邊形EGFH為矩形時t=2或t=8；（3）解：如圖3，M和N分別是AD和BC的中點，連接AH，CG，GH，AC與GH交于O，∵四邊形EGFH為菱形，∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，∴OA=OC，AG=AH，∴四邊形AGCH為菱形，∴AG=CG，設AG=CG=x，則DG=8?x，由勾股定理可得：CD即：62解得：x=25∴MG=254?4=∴當t=94時，四邊形【點睛】本題考查矩形的判定與性質，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是熟記特殊四邊形的判定與性質，在解題中靈活運用．【變式7-1】（23-24九年級·河北邢臺·期末）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E是BC邊上的一個動點（點E不與B、C重合），DF⊥AE，垂足為點F，過點D作DG∥AE，交BC的延長線于點

(1)若DF=AB，①求證：四邊形AEGD是菱形；②求四邊形CDFE的周長；(2)如圖2，AM⊥DG于點M，EN⊥DG于點N，探究：①當CE為何值時，四邊形AFDM是正方形；②點E在BC邊上的運動過程中，四邊形AENM的面積是否發生變化，若不變，請求出該四邊形的面積；若變化，請說明理由．【答案】(1)①見解析；②12；(2)①當CE=1時，四邊形AFDM是正方形；②不發生變化，理由見解析【分析】本題主要考查平行四邊形性質，全等三角形的性質，矩形的性質，正方形的性質等知識；（1）①由兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形AEGD是平行四邊形，再證△DFA≌△ABE，可得AE=AD，即可得結論；②由全等三角形的性質和矩形的性質可得AF=BE，DF=AB=CD=4，AE=BC=AD=5，由勾股定理可求（2）①由題意可證四邊形AFDM是矩形．由正方形的性質可得AF=DF，可得∠DAF=∠AEB=∠BAE=45°，可得AB=BE=4，即可求解；②由S矩形【詳解】（1）證明：①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠DAF=∠AEB，又∵DG∥∴四邊形AEGD是平行四邊形，又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∴∠AFD=∠B，又∵DF=AB，∴△DFA≌△ABEAAS∴AD=AE，∴四邊形AEGD是菱形；②在矩形ABCD中，DC=AB=4，∵△DFA≌△ABE，∴AF=BE，∴在Rt△ABE中，BE=∴AF=BE=3，∴四邊形CDFE的周長=2(CE+DC)=12；（2）①∵DG∥∴∠AFD=∠FDM=90°．∵AM⊥DG．