沙市一中2024年秋季學期高二期中考試數學試卷命題人：鄧芳芳審題人：張強一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程，結合斜率與傾斜角關系求傾斜角的大小.【詳解】由直線方程為，即斜率為，若傾斜角為，則，故.故選：B2.在空間直角坐標系中，已知點，則線段的中點坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根據給定條件，利用空間直角坐標系中點坐標公式求解即得.【詳解】依題意，點，則線段的中點坐標是.故選：B3.李華家養了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色不全相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，根據獨立事件概率乘法公式結合對立事件運算求解.【詳解】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，記“3次摸取的顏色不全相同”為事件A，則，所以.故選：B.4.已知直線的方程為，則過點且與垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據垂直得到，由點斜式可求直線的方程.【詳解】直線的方程為，則，根據兩直線垂直知所求直線斜率為，又直線過點，所以與直線垂直的線方程為，即.故選：B.5.空間四邊形OABC中，，，，點M，N分別為OA，BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由N為BC中點，可得，由M為OA的中點，可得，利用，即可求出結果.【詳解】為BC中點，，為OA的中點，，.故選：B6.已知點，點在直線上，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定點到直線的距離，即為的最小值，利用點到直線的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意可知點到直線的距離，即為的最小值，所以的最小值為，故選：B.7.已知圓C的圓心在直線上，并且圓C經過圓與圓的交點，則圓C的圓心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】聯立兩圓方程，求出交點的坐標，得的垂直平分線方程，與直線聯立即可求解.【解答】設圓與圓的交點為聯立兩圓方程，得，解得，或不妨記，，于是的中點為，從而可得AB的垂直平分線方程為，即，聯立與，得，解得，即圓心坐標為.故選：D8.如圖，在棱長為2的正方體中，點為BC的中點，點在線段上，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意可知，點到直線距離的最小值等于異面直線與的距離，進而利用向量法求異面直線與的距離，從而可得面積的最小值.【詳解】因為，點到直線的距離最小時面積取得最小值,而點在線段上，直線與互為異面直線，因此點到直線距離的最小值等于異面直線與的距離.下面用向量法求異面直線與的距離：以D為原點，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，,,，，,設異面直線與公垂線的方向向量為，則，即，得，令，則，即，于是異面直線與的距離為，又，所以面積的最小值為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.事件A，B的概率分別為：，，則（）A.若A，B為互斥事件，B.C若A，B相互獨立，D.若，則A，B相互獨立【答案】AD【解析】【分析】利用互斥事件的定義及性質判斷A選項；利用和事件的關系判斷B選項；利用相互獨立事件的定義及性質判斷C選項；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據獨立事件關系確定A、B的獨立性可判斷D.【詳解】選項A：若A，B為互斥事件，則，所以，故A正確；選項B：，故B錯誤；選項C：若A，B相互獨立，所以，故C錯誤；選項D：因為，所以，則A，B相互獨立，故D正確；故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：通常判斷兩個事件是否相互獨立，常用以下兩種方法：1、事件獨立性的定義：如果事件A和事件B相互不影響，則稱事件A和事件B是相互獨立的；2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互獨立，則它們同時發生的概率等于它們各自發生的概率之積.10.已知實數，滿足方程，則下列說法不正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】CD【解析】【分析】設，則只需直線與圓有公共點，利用點到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設，則直線和圓有公共點，進而可得不等式求得k的范圍判斷C.【詳解】由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對于A，設，則只需直線與圓有公共點，則，解得，即的最大值為，A正確；對于B，設，其幾何意義為圓上的點到原點的距離，而上的點到原點距離的最大值為，即t的最大值為，故的最大值為，B正確；對于C，設，則，則直線和圓有公共點，則，解得，即的最大值為，C錯誤；對于D，設，則直線與圓有公共點，則，解得，即的最大值為，D錯誤；故選：CD11.已知空間四面體OABC，則（）A.當，則點P在平面ABC內B.若該四面體的棱長都為a，則異面直線OA，BC間的距離為C.若M為AB中點，則直線OC上存在點N，使得D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據四點共面的結論分析判斷；對于B：將正四面體嵌套在正方體內，結合正方體的性質分析判斷；對于C：分類討論點N是否與點O重合，結合異面直線的判定定理分析判斷；對于D：根據空間向量的數量積運算結合向量垂直分析判斷.【詳解】對于A：若，且，所以四點共面，即點P在平面ABC內，故A正確；對于B：若該四面體的棱長都為a，可知四面體OABC為正四面體，將其嵌套在正方體內，如圖所示：可知正方體的棱長為，異面直線OA，BC間的距離即為正方體的棱長，故B正確；對于C：因點N在直線OC上，若點N與點O重合，則，不滿足；若點N與點O不重合，則平面OBC，平面，，可知為異面直線，不滿足；綜上所述：直線OC上不存在點N，使得，故C錯誤；對于D：若，，則即，即∴，可得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則__________.【答案】.【解析】【分析】本道題關鍵抓住，代入向量的坐標，計算，即可．【詳解】，即可．【點睛】本道題考查了向量的坐標運算，考查了向量的加減法，難度較容易．13.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據古典概型計算即可【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：14.過直線上任意一點作圓：的兩條切線，則切點分別是，則面積的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】由得出點在以為直徑的圓上是關鍵，通過兩圓方程相減得到直線的方程，從而求出面積的表達式，運用函數思想求解即得.【詳解】如圖，設點，因,故點在以為直徑的圓上，因圓心，半徑為，故圓的方程為：，又圓：，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，于是，點到直線的距離為：，，故的面積為：，不妨設則，且，故，因在上單調遞增，故，此時，即時，點時，面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，.（1）求證：是平面的法向量；（2）求平行四邊形的面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【詳解】試題分析：(1)由題意結合空間向量數量積的運算法則計算可得，.則，，結合線面垂直的判斷定理可得平面，即是平面的法向量.(2)利用平面向量的坐標計算可得，，，則，，.試題解析：（1）∵，.∴，，又，∴平面，∴是平面的法向量.（2）∵，，∴，∴，故，.16.已知點、、，點是線段的中點，，垂足為.（1）求直線的方程；（2）求點的坐標；（3）求的面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出線段的中點的坐標，利用兩點式可得出直線的方程；（2）求出直線的方程，將直線、的方程聯立，即可解得點的坐標；（3）求出、，由可得結果.【小問1詳解】解：因為、，所以的中點為，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：由（1）知，因為，所以，所以直線方程為，即.聯立，解得，所以點的坐標為.【小問3詳解】解：因為，，所以.17.某市為傳播中華文化，舉辦中華文化知識選拔大賽.決賽階段進行線上答題.題型分為選擇題和填空題兩種，每次答題相互獨立.選擇題答對得5分，否則得0分；填空題答對得4分，否則得0分，將得分逐題累加.（1）若小明直接做3道選擇題，他做對這3道選擇題的概率依次為45，，23.求他得分不低于10（2）規定每人最多答3題，若得分高于7分，則通過決賽，立即停止答題，否則繼續答題，直到答完3題為止.已知小紅做對每道選擇題的概率均為，做對每道填空題的概率均為.小紅依次做一道選擇題兩道填空題，求小紅通過考試的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由相互獨立事件的概率乘法公式求解即可【小問1詳解】記“他得分不低于10分”為事件，則，即得分不低于10分的概率；【小問2詳解】記“小紅通過考試”為事件，則，即小紅通過考試的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，邊長是，側棱底面，，是的中點，作交于點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，利用中位線可證線線平行，進而可證線面平行；（2）根據線面垂直及正方形可證平面，即，再由，可得證；（3）建立空間直角坐標系，利用坐標法可得平面的法向量，進而可得面面角.【小問1詳解】連接，設，連接，則為中點，又是的中點，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】底面，底面，，又是正方形，，又，平面，且，平面，平面，，，，，平面，，平面，平面，，，且，，平面，平面；【小問3詳解】由（2）得平面，則平面，所以可以點為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，即，，，設平面法向量，則，令，則，設平面的法向量，則，令，則，所以，即平面與平面夾角余弦值為，所以平面與平面夾角為.19.已知圓內有一點，傾斜角為的直線過點且與圓交于兩點.（1）當時，求AB的長；（2）是否存在弦AB被點三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.并計算出定值.【答案】（1）（2）存在，（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意求出直線方程，利用圓的幾何性質求弦長即可；（2）假設存在，求出弦心距，討論直線的斜率是否存在，利用點到直線距離即可得解；（3）分類討論直線斜率是否存在，存在時由根與系數的關系及斜率公式化簡即可證明.【小問1詳解】因為，所以，直線的方程為，圓的圓心為，半