第六章圓第26講與圓有關的計算（6~9分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一正多邊形與圓考點二弧長、扇形面積、圓錐的有關計算考點三不規則面積的有關計算04題型精研·考向洞悉命題點一：正多邊形與圓?題型01求正多邊形中心角?題型02求正多邊的邊數?題型03正多邊形與圓中求角度?題型04正多邊形與圓中求面積?題型05正多邊形與圓中求邊心距、邊長、半徑?題型06正多邊形與圓的綜合問題命題點二：弧長、扇形面積、圓錐的有關計算?題型01求弧長?題型02利用弧長及扇形面積公式求圓心角?題型03利用弧長及扇形面積公式求半徑?題型04求某點的弧形運動路徑長度?題型05求扇形面積?題型06求圖形旋轉后掃過的面積?題型07求圓錐側面積?題型08求圓錐底面半徑、高?題型09求圓錐側面積展開圖的圓心角?題型10圓錐的實際問題命題點三：不規則面積的有關計算?題型01直接和差法?題型02構造和差法?題型03不規則面積的綜合05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測正多邊形與圓了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.10年7考該板塊內容以考查綜合題為主，也是考查重點，除了填空題和選擇題外，年年都會考查綜合題，對多數考生來說也是難點，2025年廣東中考肯定還是會考查.弧長、扇形面積、圓錐的有關計算會計算圓的弧長、扇形的面積.10年連續考查不規則面積的有關計算求陰影部分的面積10年8考考點一正多邊形與圓1.正多邊形的相關概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個內角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.2.正多邊形的常用公式邊長（Rn為正多邊形外接圓的半徑）周長Pn=n?an外角/中心角度數面積Sn=an?rn?n對角線條數邊心距rn=Rn?cos內角和（n-2）×180°.內角度數n邊形的邊數（內角和÷180°）＋2（an、Rn、rn為構成直角三角形的三邊長，已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解.）【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關系，故可以把正n邊形的計算轉化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算．3.正多邊形常見邊心距與邊長的比值圖形OA:AB:OB內切圓與外接圓半徑的比等邊三角形1::21:2正方形1:1:1:正六邊形:1:2:2【備注】正多邊形的內切圓與外接圓為同心圓.考點二弧長、扇形面積、圓錐的有關計算設⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為，n為弧所對的圓心角的度數，則扇形弧長公式（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．）扇形面積公式S扇形==R圓錐側面積公式S圓錐側=πrl（其中l是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h，圓錐的底面半徑r1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果．在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量．2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可．3）扇形面積公式S扇形=R與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、把弧長l看成底，R看成底邊上的高即可.4）根據扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量．5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即2r=，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側面展開圖扇形圓心角n°之間的關系，有時也根據圓錐的側面積計算公式來解決問題．6）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念．考點三不規則面積的有關計算求與圓有關的不規則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規則的圖形的面積轉化為規則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個不規則圖形，可將其轉化變成多個規則圖形面積的和或差，進行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形±S常見圖形）圖形面積計算方法圖形面積計算方法S陰影=S△ACB?S扇形CADS陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S扇形EAF?S△ADES陰影=S扇形之和==②構造和差法圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉法圖形公式S陰影=S扇形BOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=S正方形ABCDS陰影=S扇形ACB-S△ACD命題點一：正多邊形與圓?題型01求正多邊形中心角1．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正六邊形內接于，點G是弧上的一點，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓內接正多邊形中心角及同弧所對的圓周角是圓心角一半定理即可．本題考查圓內接正多邊形和圓周角定理，解此題的關鍵是熟練掌握圓內接正多邊形中心角計算和圓周角定理角度計算．【詳解】如圖，連接、，

∵正六邊形是的內接正六邊形，，，故選：B．2．（2021·廣東廣州·一模）正邊形的邊長為，那么它的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先畫出圖形（見解析），先根據正多邊形的性質可得的度數、，再根據等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形即可得．【詳解】由題意，畫出圖形如下（正邊形的一部分，其中，點是正邊形的中心，為它的邊，為它的半徑），過點作于點，連接，由正邊形的性質得：，，，（等腰三角形的三線合一），在中，，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質、解直角三角形等知識點，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵．3．（2024·山東青島·二模）正八邊形如圖所示，與交于點O，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了多邊形的內角和和正多邊形的性質，根據正多邊形的性質可得多邊形的內角和公式求出，再求出即可解決問題．【詳解】解：∵正八邊形，，∴，∴，∴，故選：A．4．（2024·安徽宿州·二模）如圖，四邊形內接于圓，且、都是圓的內接正五邊形的邊，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形與圓的性質和圓周角定理是解題的關鍵．連接，，，先根據正五邊形的性質，求出，從而求得，然后根據圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，，，如圖，

∵AB、BC都是圓的內接正五邊形的邊，∴，∴，∴．故選：D．?題型02求正多邊的邊數5．（2023·廣東陽江·二模）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據正多邊形的邊數周角中心角，計算即可得解．【詳解】解：這個多邊形的邊數是，故選：C．【點睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關計算；熟記正多邊形的中心角與邊數的關系是解題的關鍵．6．（22-23九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（

）A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多邊形的外接圓，根據圓周角定理得到，根據中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，∵，∴，∴這個正多邊形的邊數為．故選：A．【點睛】此題主要考查正多邊形的性質，解題的關鍵是熟知圓周角定理．7．（2022·河北石家莊·二模）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據中心角的度數=360°÷邊數，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數，可得∠AOC=15°，然后根據邊數n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、正八邊形、正二十四邊形的性質；根據題意求出中心角的度數是解題的關鍵．8．（2020·四川南充·一模）如圖，點，，在上，若，，分別是內接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分別連接OB、OA、OC，根據正多邊形的中心角=，可分別求得∠BOC、∠AOB的度數，從而可得∠AOC的度數，再根據正多邊形的中心角=，可求得邊數n．【詳解】分別連接OB、OA、OC，如圖所示∵是內接正三角形的一邊∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=30°∵是正邊形的一邊∴∴n=12故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角=，掌握這一知識是解決本題的關鍵．?題型03正多邊形與圓中求角度9．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，等邊三角形和正方形均內接于，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，準確掌握正多邊形及圓的相關性質并能準確計算是解題關鍵．連接、、、，過點作于點，利用求出圓的半徑，再求出和，利用直角三角形性質和勾股定理求出，即可求出．【詳解】解：連接、、、，過點作于點，如圖，∵正方形內接于，∴，∵，，∴，∴，∵等邊三角形內接于，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，故選：D．10．（2024·安徽合肥·二模）如圖，正方形內接于，點E在上連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形和圓，連接，易得：，進而得到，即可得出結果．【詳解】解：連接，則：∴，∵正方形內接于，∴，∴，∴；故選C．11．（2024·安徽·一模）如圖，點是正五邊形的中心，連接，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的度數，根據三角形內角和，及等邊對等角，即可求解，本題考查了多邊形的中心角，等邊對等角，三角形內角和，解題的關鍵是：熟練掌握相關定理．【詳解】解：連接OB，∵和是正五邊形的中心角，∴，∵，∴，故選：．12．（2024·安徽合肥·一模）如圖，正五邊形內接于，點在弧上．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求正五邊形的中心角，圓周角定理，三角形內角和定理，連接，求出，即得到，由，可得，與相加得到，即可求解，掌握正五邊形的性質和圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵正五邊形內接于，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∴，故選：．?題型04正多邊形與圓中求面積13．（2024·湖南益陽·模擬預測）如圖，正五邊形的邊長為5，以頂點為圓心，的長為半徑畫圓，則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計算．根據正五邊形的內角和定理求出正五邊形的一個內角的度數，再根據扇形面積的計算方法進行計算即可．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，，故選：B．14．（2024·山西長治·模擬預測）如圖，在的內接正六邊形中，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．20【答案】B【分析】連接，，過點作于點，根據正六邊形的性質可知陰影的面積等于扇形減去的面積．本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．【詳解】解：連接，，連接交于點，多邊形是正六邊形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，在的內接正六邊形中，，，．故選：B．15．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，的周長為，正六邊形內接于．則的面積為（

）

A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質，解直角三角形是正確解答的關鍵．根據正六邊形的性質以及解直角三角形進行計算即可．【詳解】解：設半徑為，由題意得，，解得，∵六邊形是的內接正六邊形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所對應的弦心距為，∴．故選：B．16．（2024·河北唐山·二模）如圖，正六邊形中，M、N分別為邊BC、EF上的動點，則空白部分面積和陰影部分面積的比值為（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【答案】A【分析】此題考查的是正多邊形的性質，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．連接，由正六邊形的性質可得，然后利用面積公式可得答案．【詳解】解：連接，由正六邊形的性質可知，，，，∴，，同理空白部分面積和陰影部分面積的比值為：．故選：A．?題型05正多邊形與圓中求邊心距、邊長、半徑17．（2024·河北·模擬預測）如圖，正六邊形和正六邊形均以點O為中心，連接（A，G，H三點共線），若，則正六邊形的邊長為（

）A． B．5 C． D．19【答案】C【分析】本題考查正多邊形的性質，全等三角形的性質，直角三角形的性質，連接，，，，根據正六邊形的性質證明，得到，，即可得到B，I，H三點共線，同理可得C，I，J三點共線，D，K，J三點共線，且，然后在三角形中計算即可．【詳解】連接，，，，過作于，∵正六邊形和正六邊形均以點O為中心，∴，，，，∴，，∴，∴，，∵A，G，H三點共線，∴，∴，∴，∴B，I，H三點共線，同理可得C，I，J三點共線，D，K，J三點共線，且，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，∴，即正六邊形的邊長為，故選：C．18．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，正八邊形內接于，連接，若，則的半徑為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】本題考查正多邊形與圓、解一元二次方程、銳角三角函數，連接，過點A作于點M，設的半徑為r，根據多邊形的性質求得，利用銳角三角形函數求得，再利用，求解即可．【詳解】解：連接，過點A作于點M，設的半徑為r，在正八邊形中，，∵，在中，，∵是的直徑，∴，∴，解得或（舍），故選：D．19．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，正方形內接于為的中點，直線交于點，如果的半徑為，則的長度為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】連接，，，如圖所示，根據圓內接正方形的性質，等腰直角三角形的邊角關系，在中得到，在中，由勾股定理求出，再由三角形相似的判定與性質，得到，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接，，，如圖所示：正方形內接于，點是的中點，，，在中，，，則，在中，，，則，，，，，即，，解得．故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓，正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，掌握圓內接正方形的性質，等腰直角三角形的邊角關系，勾股定理，相似三角形的判定與性質是正確解答的關鍵．20．（2024·吉林長春·一模）如圖，點M是內接正n邊形…邊的中點，連接，若半徑為1，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形中心角的性質，圓心角的計算，三角函數，熟練掌握正多邊形的中心角的性質是解題的關鍵．連接，由正多邊形的中心角的定義求出和，由即可得到圖形是正八邊形，最后根據三角函數即可得出答案．【詳解】解：連接，，如圖所示：則，∵點M是內接正n邊形邊的中點，∴，∴，∴；解得，∴，在中，，∴，即故選：B．?題型06正多邊形與圓的綜合問題21．（2024·遼寧·模擬預測）在圓內接正六邊形中，，分別交于點H，G．

(1)如圖①，求證：點H，G三等分．(2)如圖②，操作并證明．①尺規作圖：過點O作的垂線，垂足為K，以點O為圓心，的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）②求證：是①所作圓的切線．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）由正多邊形的性質證明，可得，再證明是等邊三角形，從而可得結論；（2）①按照題干的要求作線段的垂直平分線，再作圓即可；②過點O作，垂足為P，連接，證明．結合，，．從而可得結論；【詳解】（1）證明：在圓內接正六邊形中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．∴是等邊三角形，∴．∴點H，G三等分．（2）①解：如圖，即為所求作．

②證明：如圖，過點O作，垂足為P，連接，則．由（1）知，，∴．∵，，∴．∴是①所作圓的切線．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓的內接多邊形的性質，切線的判定，作線段的垂直平分線，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．22．（2024·浙江寧波·一模）如圖1，半徑為的內接一個正十邊形，是其中一條邊．(1)用和含的三角函數的式子表示邊長.(2)如圖2，作的平分線與半徑交于點，試猜想（1）中的三角函數和黃金比有怎樣的關系，并說明理由．【答案】(1)(2)為黃金比的一半，理由見解析【分析】（1）過作于，得到，且為等腰三角形，所以得到，，根據三角函數計算即可；（2）由是的角平分線，得到，，證得，即，進而得到，得，即，得到，于是，根據三角函數計算即可．【詳解】（1）解：過作于，由正十邊形內接于圓，所以得到，又，所以，，在中，，∴，；（2）解：由（1）可知：，，是的角平分線，，，，，所以，是等腰三角形，也是等腰三角形，，在中，，所以，所以得到，即，，由（1）可知：，，即為黃金比的一半．【點睛】本題目考查了正多邊形與圓的關系，相似三角形的判定與性質，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是能夠從圖中找到相應的相似三角線及相關的比例線段．23．（2024·上海·三模）如圖，已知圓O是正六邊形外接圓，直徑，點G、H分別在射線上（點G不與點C、D重合），且，設．(1)如圖①，當直線經過弧的中點Q時，求：的正弦值；(2)如圖②，當點G在邊上時，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)連接，如果與相似，求的長．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）如圖①，連接，由正六邊形，可得，，證明是等邊三角形，則，，，由Q為弧的中點，可得，，則，由圓周角定理可得，，如圖①，作的延長線于，則，，設，則，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求滿足要求的解為，根據，計算求解即可；（2）如圖②，在上取點，使，連接，證明是等邊三角形，則，，，，證明，則，即，可求，由點G不與點C、D重合，可得；（3）由題意知，分①點在邊上，②點在邊的延長線上，兩種情況求解；①點在邊上時，如圖③，由題意知，，當與相似，分，兩種情況求解；當時，，即，聯立，計算求出滿足要求的解即可；當時，，即，聯立，計算求出滿足要求的解即可；②當點在邊的延長線上，如圖④，同理（3）①，求解作答即可．【詳解】（1）解：如圖①，連接，∵正六邊形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵Q為弧的中點，∴，，∴，，∴，∵，，∴，，如圖①，作的延長線于，∴，∴，設，則，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，∴的正弦值為；（2）解：如圖②，在上取點，使，連接，∵正六邊形，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，即，整理得，，∵點G不與點C、D重合，∴，∴，；（3）解：由題意知，分①點在邊上，②點在邊的延長線上，兩種情況求解；①點在邊上時，如圖③，由題意知，，∴當與相似，分，兩種情況求解；當時，，即，解得，，∵，∴，解得，或，均不符合要求，舍去；當時，，即，解得，，∵，∴，解得，或均不符合要求，舍去；②當點在邊的延長線上，如圖④，當時，，即，解得，，同理，解得，或，均不符合要求，舍去；當時，，即，解得，，同理，解得，（不符合要求，舍去）或，經檢驗，是原分式方程的解，且符合要求；綜上所述，的長為．【點睛】本題考查了正多邊形內角和，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定與性質等知識．熟練掌握正多邊形內角和，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定與性質，并分情況求解是解題的關鍵．24．（2024·江蘇蘇州·一模）古建中的數學：古亭探“優”．【了解】“江山無限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中國八棱形樓閣式建筑，其結構穩固、勻稱，有利于減弱風力、抵御地震，如圖①，將八角亭頂部的輪廓抽象后得到的幾何圖形為正八邊形．【探索】先將正方形、完全重合，再將正方形繞其中心旋轉一定的角度，就得到了正八邊形，如圖②，這種構造正八邊形的方法稱為“四轉八”法．（1）旋轉的角度最小為_______o；（2）若正八邊形的邊長為2，則正方形的邊長為______；（3）連接，則與之間有怎樣的數量關系？請說明理由；【作圖】（4）如圖③，已知正方形請你利用無刻度直尺和圓規作一個正八邊形，并使其所有頂點均落在正方形的邊上．（保留作圖痕跡，并寫出必要的說明）【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析；（4）見解析【分析】（1）設正方形、的中心為Q，連結、、、、、、、，可證得，得出，同理，可得；（2）由題意得，再由、、均為等腰直角三角形，即可求得答案；（3）由，，，可得，，即可求得答案；（4）連結、交于點，跟別以四個頂點為圓心，以、、、為半徑畫圓，圓與四條邊的八個交點即為正八邊形的頂點．【詳解】（1）解：如圖設正方形、的中心為，連結、、、、、、、，則、、、經過點，，，，四邊形、是正方形，，是正八邊形，，，，，同理，，；（2）正八邊形的邊長為2，，由（1）知：、、均為等腰直角三角形，，，；（3），理由如下：由（2）知：，，，可得，，，；（4）如圖：連結、交于點，跟別以四個頂點為圓心，以、、、為半徑畫圓，圓與四條邊的八個交點即為正八邊形的頂點．【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉變換的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，尺規作圖等，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．命題點二：弧長、扇形面積、圓錐的有關計算?題型01求弧長25．（2023·河南洛陽·模擬預測）若扇形面積為，圓心角為，則它的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查扇形的面積公式，弧長公式等知識，利用扇形的面積公式求出扇形的半徑，再利用弧長公式計算即可．解題的關鍵是記住扇形的面積公式以及弧長公式．【詳解】解：設扇形的半徑為，由題意：，解得，∴扇形的弧長，故選：C．26．（2024·安徽滁州·三模）如圖，四邊形是的內接四邊形，，．若的半徑為5，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，弧長計算，熟練掌握圓周角定理及弧長計算是解題的關鍵．連結，，根據圓周角定理可求得的度數，的度數，進而可求得，再根據弧長計算公式，即可求得答案．【詳解】連結，，，，的度數為，的度數為，的度數為：，，的長為．故選B．27．（2024·廣東佛山·一模）如圖，在菱形中，，，以為直徑的圓與交于點E，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了弧長的計算，圓周角定理．取的中點，連接，根據菱形的性質得，，根據圓周角定理得，，再根據弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，菱形中，，，，，，，∴的長是．故選：C．28．（2024·廣東廣州·二模）如圖，中，，是的內切圓，切點分別為點D、E、F，，則劣弧的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查切線長的性質、弧長公式．根據切線的性質證明四邊形為正方形，再弧長公式求解即可．【詳解】解：連接，在四邊形中，，四邊形為矩形．又因為，四邊形為正方形．則，，劣弧的長是．故選：A．?題型02利用弧長及扇形面積公式求圓心角29．（2023·河南安陽·一模）一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧長公式求解即可．【詳解】解：設圓心角為，根據題意得：，解得：，∴該扇形的圓心角的度數是，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．30．（2020·浙江溫州·二模）一段圓弧的半徑是12，弧長是，則這段圓弧所對的圓心角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧長公式計算，L＝可以求出圓心角的度數．【詳解】解：根據弧長公式有：4π＝,解得：n＝60．故選：A．【點睛】本題考查的是弧長的計算，利用弧長的計算公式，知道弧長和半徑可以求出這段弧所對圓心角的度數．31．（2023·河北邯鄲·三模）如圖1是邊長為的等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的面積是（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據題意的長就是邊的長，由弧長公式求得扇形的圓心角的度數，進而根據扇形面積公式即可求解．【詳解】解：設，，，解得：，圓心角的度數為：扇形的面積是，故選：C．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，扇形的面積計算，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．32．（2023·吉林·一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根據題意的長就是邊的長，由弧長公式即可求解．【詳解】解：設，，，解得：，圓心角的度數為：故選：D．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．?題型03利用弧長及扇形面積公式求半徑33．（2024·陜西商洛·模擬預測）傳統服飾日益受到關注，如圖①為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的長度為米，裙長米，圓心角，則的長為（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】本題考查了弧長公式．由題意知，，求得，得到米即可．【詳解】解：由題意知，，解得，∵裙長為米，∴米，故選：B．34．（2023·黑龍江牡丹江·二模）一個扇形的面積為．弧長為．那么這個扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】設扇形的半徑為r，根據扇形面積等于（為扇形弧長）進行求解即可【詳解】解：設扇形的半徑為r，由題意得，，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長公式，熟知扇形面積等于扇形弧長和半徑乘積的一半是解題的關鍵．35．（2022·湖北武漢·中考真題）一個扇形的弧長是，其圓心角是150°，此扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出該扇形的半徑，再求其面積即可；【詳解】解：該扇形的半徑為：，∴扇形的面積為：，故選：B．【點睛】本題主要考查扇形面積的求解，掌握扇形面積的求解公式是解題的關鍵．36．（2024·山東青島·中考真題）如圖，是上的點，半徑，，，連接，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接，由圓周角定理可得，進而得，再根據扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∴，故選：．?題型04求某點的弧形運動路徑長度37．（2024·湖南·模擬預測）某校開展研學活動，其中有“列隊訓練”的項目．我們以“向右轉”為例研究其中蘊含的數學知識，如圖，把右腳鞋底抽象成一條線段，忽略鞋底的摩擦、彈性等誤差．“向右轉”時，以鞋跟O為圓心，順時針旋轉得線段．若某同學右腳鞋底長，那么鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軌跡、弧長公式等知識點，正確理解題意及熟練利用弧長公式是解題的關鍵．根據鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑是以O為圓心為半徑，圓心角為的一段弧，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：依題意可知：鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長是一段弧長，其半徑是,弧的圓心角為，∴鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長.故選：A．38．（2024·山西·二模）如圖，在中，，，．將繞的中點O逆時針旋轉，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F．當點E與點C第一次重合時，點A運動路徑的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了弧長公式，直角三角形的特征，旋轉的性質，連接，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得到，進而得到，則，易知點E與點C第一次重合時，旋轉角為，根據旋轉的性質得到，點A運動路徑的長為，利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，在中，點O是的中點，，，，，，點E與點C第一次重合時，旋轉角為，，由旋轉的性質得到，點A運動路徑的長為，點A運動路徑的長為：，故選：A．39．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長為2米，當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面米，那么小孩從最低位置達到最高位置秋千底部所經過的路徑長為（

）．A．2米 B．π米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了求弧長，過點A作于點C，得出，求出，則，最后根據弧長公式，即可解答．【詳解】解：過點A作于點C，∵當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面米，∴，∵，∴，∴，∴，∴秋千底部所經過的路徑長，故選：C．40．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，中，，D在線段上，連，以為的直徑交于P，，當D在線段上自C向B運動的過程中，點P運動的路徑長是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質及動點軌跡：點按一定規律運動所形成的圖形為點運動的軌跡．解決此題的關鍵是利用圓周角定理確定P點的軌跡．連接，由，可得點P是在以為直徑的弧上運動，當D在線段上自C向B運動的過程中，點P運動的路徑是的長，據此求解即可．【詳解】如圖，連接，是的直徑，，點P是在以為直徑的弧上運動，當D在線段上自C向B運動的過程中，點P運動的路徑是的長，，中，，，故選：C?題型05求扇形面積41．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖，邊長為4的正方形的頂點B在上，頂點A，C在內，的延長線交于點D，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查求不規則圖形的面積，掌握扇形的面積公式，是解題的關鍵．根據正方形的性質和勾股定理得的半徑為，結合扇形與三角形的面積公式，即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，∵正方形的邊長為4，∴，∴，即：的半徑為，∴．故選：B．42．（2024·山西·模擬預測）如圖，正六邊形的邊長為4，以A為圓心，的長為半徑畫弧，得，連接，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查正六邊形的性質和扇形的面積計算，連接，過點B作，先計算正六邊形的面積，再計算扇形的面積，相減即可得出答案．【詳解】解：連接，過點B作，如圖，∵正六邊形的邊長為4，∴，∵∴，∴，在中，，∴同理可證，，∴，∴，又，∴圖中陰影部分的面積為故選：A43．（2024·山東東營·中考真題）習近平總書記強調，中華優秀傳統文化是中華民族的根和魂．東營市某學校組織開展中華優秀傳統文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角．現需在扇面一側繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】將山水畫所在紙面的面積轉化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題．本題主要考查了扇形面積的計算，熟知扇形面積的計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：由題知，，，所以山水畫所在紙面的面積為：．故選：C．44．（2024·貴州黔東南·二模）如圖所示，點A，B，C對應的刻度分別為1，3，5，將線段繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形的邊上時，記為點，則此時線段掃過的圖形的面積是（）

A． B．6 C． D．【答案】D【分析】本題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關鍵．求線段掃過的圖形的面積，即求扇形的面積．【詳解】解：由題意，知．由旋轉的性質，得．在中，．∴．∴扇形的面積為．即線段掃過的圖形的面積為．故選：D．?題型06求圖形旋轉后掃過的面積45．（2024·四川瀘州·二模）如圖，的斜邊在軸上，且，直角頂點在第二象限，將繞原點順時針旋轉后得到，則點的對應點的坐標和線段在旋轉過程中掃過的面積分別是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】本題考查了圖形的旋轉，扇形面積公式，勾股定理．根據題意，求得的長，由旋轉的性質即旋轉角度可知：落在軸上，從而求得的坐標，再利用扇形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，在中，∵，，∴，．∵將繞原點O順時針旋轉后得到，即旋轉角，又，點落在軸上，點在第四象限，，∴，∴點的坐標是．線段在旋轉過程中掃過的面積是．故選：A．46．（23-24九年級上·北京東城·期末）如圖，某汽車車門的底邊長為，車門側開后的最大角度為，若將一扇車門側開，則這扇車門底邊掃過區域的最大面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查扇形的面積．根據這扇車門底邊掃過的區域是扇形，求出扇形的半徑和圓心角，然后由扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：根據題意這扇車門底邊掃過的區域是扇形，其中扇形的半徑為，圓心角最大角度為，∴扇形的最大面積為：，故選：B．47．（2023·山東聊城·二模）如圖，將繞點旋轉得到，已知，則線段掃過的圖形面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計算；旋轉的性質．由于將繞點C旋轉得到，可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計算兩扇形面積，再計算其差即可．【詳解】解：如圖：；；則．故選：D．48．（2024·湖南岳陽·模擬預測）圓錐的底面圓的半徑為，高為，則這個圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理計算出圓錐的母線長，然后根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算這個圓錐的側面積．本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．【詳解】解：依題意，圓錐的底面圓的半徑為，高為，∴這個圓錐的母線長，則這個圓錐的側面積．故選：B．?題型07求圓錐側面積49．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知圓錐的高為，母線長為，則其側面展開圖的面積為（

）A．60π B．70π C．80π D．90π【答案】A【分析】先利用勾股定理計算出圓錐的底面圓的半徑，然后根據公式計算圓錐的側面展開圖的面積即可；本題考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的側面展開圖面積公式是解題的關鍵．【詳解】解：圓錐的高為，母線長為圓錐的底面圓的半徑為，圓錐的側面展開圖的面積

故選：A．50．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐的側面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積的計算公式：圓錐的側面積底面半徑母線長．【詳解】解：，故選：B．51．（2024·山東東營·模擬預測）草鍋蓋，又名蓋頂，是一種以牛筋草、江邊草和斑茅草為原材料進行編織纏繞的云南特有的傳統草編工藝品．某興趣小組根據草鍋蓋的特征制作了一個圓錐模型，并用測量工具測量其尺寸，如圖所示，由圖中的數據可知圓錐模型的側面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求圓錐的側面積，勾股定理，牢記公式是解題的關鍵．根據題意得到圓錐的底面半徑為4，高為3，然后利用勾股定理求出母線長，然后利用圓錐側面積公式求解即可．【詳解】解：根據題意得，圓錐的底面半徑為4，高為3，∴母線長為，∴圓錐模型的側面積為．故選：B．52．（2024·湖南長沙·模擬預測）用圓心角為，半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則這個圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】本題主要考查的是圓錐的性質，掌握圓錐底面周長等于側面展開扇形的弧長是解題關鍵．利用扇形求出對應弧長，即可求出所圍成的圓錐的底面半徑．【詳解】解：由題意可知，扇形的弧長為：，∴底面周長為：，解得：，即：底面半徑等于，故選：C．?題型08求圓錐底面半徑、高53．（2024·浙江嘉興·三模）已知一圓錐側面展開圖如圖所示，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B．1 C．π D．2【答案】B【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．根據這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長列方程即可．【詳解】解：依題意，解得：故選：B．54．（2024·內蒙古赤峰·二模）一個圓錐的側面積是，它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解題的關鍵．利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進而求得扇形的弧長，除以即為圓錐的底面圓半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．【詳解】解：設圓錐的母線長為，則，解得：，∴圓錐側面展開圖的弧長為：∴圓錐的底面圓半徑是，∴圓錐的高為故選C．?題型09求圓錐側面積展開圖的圓心角55．（2023·云南臨滄·模擬預測）在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，點O、A、B都在格點上，若扇形是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓錐的計算，先利用勾股定理的逆定理證明為等腰直角三角形，，設圓錐的底面圓的半徑為，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，則根據弧長公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理計算該圓錐的高．【詳解】解：，，，，為等腰直角三角形，，設圓錐的底面圓的半徑為，根據題意得，解得，該圓錐的高．故選：A．56．（2024·云南紅河·模擬預測）為了拉動鄉村經濟振興，某村設立了一個草帽手工作坊，讓留守的老人也能賺錢，其制作工藝中用固定規格的扇形草氈圍成一個底面周長為，側面積為的圓錐形草帽，則制作工藝中所使用扇形草氈的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐側面積，弧長公式等知識；設扇形的半徑為r，扇形面積可求得半徑r；再由弧長公式即可求得扇形圓心角的度數．【詳解】解：設扇形的半徑為r，則，解得：；設扇形圓心角度數為n度，則，解得：，即扇形圓心角為；故選：B．57．（2024·四川達州·三模）如圖，用一個圓心角為的扇形紙片圍成一個底面半徑為，側面積為的圓錐，則該扇形的圓心角為為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求圓錐側面展開圖的扇形圓心角度數，根據圓錐側面積計算公式，得出，進而根據弧長公式進行求解即可．【詳解】解：設圓錐的母線長為，∵∴∴解得：故選：C．58．（2024·四川綿陽·二模）如圖，圓錐的底面半徑為，母線的長為，則這個圓錐側面展開圖扇形的圓心角為（）度．A．120 B．150 C．135 D．125【答案】A【分析】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是根據圓錐的底面周長得到扇形圓心角的表達式子．先由半徑求得圓錐底面周長，再由扇形的圓心角的度數圓錐底面周長計算．【詳解】解：圓錐底面周長，∴這個圓錐側面展開圖扇形的圓心角為圓錐底面周長．故選:．59．（2024·廣西河池·三模）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，側面積為，則這個扇形的圓心角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是圓錐的計算，根據圓錐底面周長與展開后所得的扇形的弧長相等，圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等，利用扇形面積公式與弧長公式計算即可．【詳解】解：設圓錐的母線長為cm，扇形的圓心角為，∵圓錐的底面圓周長為cm，∴圓錐的側面展開圖扇形的弧長為cm，由題意得：，解得：，則，解得，即扇形的圓心角為，故答案為：B．60．（2020·遼寧盤錦·二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個半徑為R、圓心角為90°的扇形；和一半徑為的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與的關系為（

）A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6【答案】B【分析】根據圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，根據弧長公式計算即可得答案．【詳解】扇形的弧長是：=，圓的半徑為r，則底面圓的周長是，∵恰好圍成如圖所示的圓錐，∴=，∴R=4r，故選：B．【點睛】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．?題型10圓錐的實際問題61．（2020·云南昆明·二模）云南是全國擁有少數民族數量最多的省份，風俗文化多種多樣，使得“云南十八怪”成為云南旅游文化的一張名片，圖①是十八怪中的“草帽當鍋蓋”，圖②是一個草帽的三視圖，根據圖中所給的數據計算出該草帽的側面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，那么圓錐的側面積=底面周長×母線長．【詳解】解：∵圓錐的底面直徑為48cm,則半徑為=24，又∵圓錐的高為10cm,∴圓錐的母線長為：，圓錐的底面周長(扇形的弧長)為:2r=48,∴該圓錐的側面積=×48π×26=624π，故選C．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了三視圖．62．（2021·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據勾股定理求出母線長，利用圓錐的側面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側面面積，最后求和．【詳解】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，∴圓錐的母線長=米，∴圓錐的側面積=，圓柱的側面積=底面圓周長×圓柱高，即，故需要的毛氈：米，故選：A．【點睛】此題主要考查勾股定理，圓周長公式，圓錐側面積，圓柱側面積等，分別得出圓錐與圓柱側面積是解題關鍵．63．（2022·廣西賀州·中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點E，過點E作DE⊥AC于點D，則AB=6cm，AC=6cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，圓柱體內液體的體積為：圓錐的體積為，設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，∴，∴，解得：x=3，即此時“沙漏”中液體的高度3cm．故選：B．【點睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．命題點三：不規則面積的有關計算?題型01直接和差法64．（2023·山西臨汾·二模）如圖，是的直徑，是弦，，在直徑上截取，延長交于點，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，過點O作于點F，求出，由圓周角定理得，得，由三角形外角的性質得，由垂徑定理得，根據勾股定理得，根據求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過點O作于點F，

則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴∠，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關鍵．65．（2023·四川廣安·二模）如圖，已知內接于，為直徑，的平分線交于點D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求得，得到，因為，根據，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】此題重點考查圓周角定理、扇形的面積公式、三角形的面積公式、根據轉化思想求圖形面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．66．（2022·河北唐山·二模）如圖，△ABC內接于⊙O，若，⊙O的半徑r=4，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓周角定理，扇形面積公式和三角形面積公式解答．【詳解】解：∵，∴，∴陰影部分的面積．故選：C．【點睛】本題考查圓周角、扇形面積和三角形面積，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理、扇形面積公式和三角形面積公式．67．（2022·云南楚雄·二模）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，則圖中陰影部分的面積為(

)A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4【答案】C【分析】根據同弧所對的圓心角和圓周角的關系，可以得到∠BOC的值，然后根據勾股定理可以得到OB的長，由圖可知S陰影＝S扇形BOC?S△BOC，然后代入數據計算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4，∴2OB2＝()2，解得OB＝4，∴S陰影＝S扇形BOC?S△BOC＝＝4π?8．故選：C．【點睛】本題考查扇形面積的計算、勾股定理、圓周角定理，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵．?題型02構造和差法68．（2025·河南周口·一模）如圖，在正六邊形中，連接，以點為圓心，的長為半徑作，再以點為圓心，的長為半徑作，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，交于點，證明為等邊三角形，，求解，，，，結合即可得到結論。【詳解】解：如圖，連接，交于點，∵正六邊形，∴，，，∴，，∴，，∴為等邊三角形，，∴，，，∴，同理：，∴，，∴，∴；故選B【點睛】本題考查的是正多邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，扇形面積的計算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵。69．（24-25九年級上·廣東東莞·期末）如圖，在平行四邊形中，，，以點為圓心、為半徑畫弧交于點，連接，若，則圖中陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行四邊形性質、扇形面積公式、三角形面積公式、以及解直角三角形，過點作于點，根據解直角三角形求得，從而求得，最后根據列式求解，即可解題．【詳解】解：過點作于點，

，，，，，，，，，，故選：B．70．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在矩形中，，F是上一點，，以點A為圓心為半徑畫弧，交于點，以F為圓心，為半徑畫弧，交于點于點，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據題意可得出，，即說明，從而可得出為等邊三角形，，再根據，結合三角形面積公式和扇形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，在矩形中，，∴，，∴，∴，為等邊三角形，，∴．故選B．【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，解直角三角形，扇形的面積計算，等邊三角形的判定和性質，掌握扇形的面積公式是解題關鍵．71．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形中，，點O是對角線的中點，以點O為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點D在扇形內，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，將繞點O順時針旋轉得到．證明，推出，利用即可求解．【詳解】解：如圖，連接，將繞點O順時針旋轉得到．，，在菱形中，點O是對角線的中點，，，，，，，，，，．，，．故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形全等的判定與性質，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，構造三角形全等，利用是解題的關鍵．?題型03不規則面積的綜合72．（2024·廣東惠州·三模）如圖，是的內接三角形，是的直徑，，，弦于，點是延長線上一點，且，連接．(1)填空：°；(2)判斷與的位置關系，并說明理由；(3)取的中點，連接，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)30(2)與相切，理由見解析(3)【分析】（1）根據垂徑定理得到，根據圓周角定理得到結論；（2）連接，根據垂徑定理得到，，根據全等三角形的性質得到，根據切線的判定定理得到結論；（3）根據圓周角定理得到，根據勾股定理得到，連接，根據三角形中位線定理得到，，求得，得到，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：弦于，是的直徑，，，故答案為：30；（2）解：與相切，理由如下：連接，如圖所示：弦于，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，與相切；（3）解：是的直徑，，，，，，連接，如圖所示：點是的中點，，，是的中位線，，，，，，圖中陰影部分的面積的面積扇形的面積的面積．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，垂徑定理，扇形的面積的計算，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．73．（2024·廣東深圳·三模）如圖，點A、B、C在圓O上，，點O在上．

(1)求證：直線與相切；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查切線的判定、扇形面積的計算：（1）連接，由得出，進而證明，可證直線與相切；（2）連接，過點O作于E，過點O作于F，分別計算出和，則．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：

∵，∴，∴，∵，∴，即，又∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：連接，過點O作于E，過點O作于F，如圖2所示：

∵，，，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，．∴．74．（2024·廣東佛山·一模）如圖，點E是正方形的邊延長線上一點，且，連接交于點O，以點O為圓心，為半徑作，交線段于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過O作于H，利用正方形性質和等腰三角形性質證明，，根據角平分線性質得到即可得證；（2）結合正方形性質和勾股定理得到后即可求得，由角平分線定義求出的角度后，根據陰影部分的面積為的面積扇形的面積即可求解．【詳解】（1）證明：過O作于H，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴陰影部分的面積的面積扇形的面積．【點睛】本題考查的知識點是正方形性質、等腰三角形性質、角平分線性質、證明某直線是圓的切線、勾股定理、求扇形面積，解題關鍵是熟練掌握角平分線性質及扇形面積公式．75．（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，為的直徑，點是的中點，，垂足為，、的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了切線的性質與判定，解直角三角形，求扇形面積；（1）連接，根據點是的中點，得出則，進而根據等邊對頂角得出，可得，然后證明，根據得出，即可得證；（2）根據，即可求解；（3）解直角三角形得出，根據圓周角定理可得，根據即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，∵點是的中點，∴∴∵∴∴∴∵，∴又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵點C是的中點，∴∴∵是直徑，則，又，則∴∴∵，，∴（3）解：如圖所示，連接，∵∴∵∴∵∴∴，∵，則，∴．基礎鞏固單選題1．（2022·廣東湛江·三模）半徑為的圓內接正六角形的邊長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正六邊形的性質可知，再根據等邊三角形的判定與性質可知進而即可解答．【詳解】解：如圖，連接，

∵正六邊形內接于圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，等邊三角形的判定與性質，掌握等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．2．（2024·四川成都·三模）半徑為2的圓的一個內接正多邊形的內角為，則這個內接正多邊形的邊長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質是正確解答的前提．根據正六邊形的性質，正三角形的性質進行計算即可．【詳解】解：如圖，∵半徑為2的圓的一個內接正多邊形的內角為，∴，∴，∴的內接正多邊形是六邊形，，，∴是正三角形，，∴正六邊形的邊長為2，故選：B．3．（2024·廣東清遠·二模）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形三線合一性質，中位線定理，弧長公式，連接，，，根據等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，中位線定理，弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長為，故選：C．4．（2024·廣東佛山·三模）如圖，直角三角板角的頂點A落在直徑為6的上，兩邊與分別交于B、C兩點，則劣弧的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圓周角定理、弧長的計算．利用圓周角定理得到，再利用弧長公式（n為圓心角的度數）求解即可．【詳解】解：如圖，連接，．，，又的直徑為6，的半徑為3，劣弧的弧長為，故選A．5．（2024·廣東深圳·模擬預測）圖1是一把扇形書法紙扇，圖2是其完全打開后的示意圖，外側兩竹條和的夾角為，貼紙部分的弧為，則的長為（

）A．30 B．25 C．20 D．15【答案】A【分析】根據弧長的計算公式即可解決問題．本題主要考查了弧長的計算，熟知弧長的計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：弧的長度為，，，則．故選：A．二、填空題6．（2024·廣東中山·模擬預測）如圖，五邊形是的內接正五邊形，是的直徑，則的度數是°．【答案】【分析】根據正五邊形的性質和圓周角定理即可得到結論．本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【詳解】解：是的直徑，五邊形是的內接正五邊形，∴則，，，∵，，，，．故答案為：7．（2021·廣東·三模）如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，的長是，則陰影部分的面積是．【答案】﹣【分析】由⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓得到∠AOB，根據弧長公式求得圓的半徑為OA，由扇形的面積公式求得S扇形OAB，由三角形的面積公式求出S△OAB，根據S陰影＝S扇形OAB?S△OAB即可求得結果．【詳解】解：∵⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，∴∠AOB＝＝60°，的長是，∴，∴OA＝2，∴S扇形OAB＝，過O作OH⊥AB于H，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∠AOH＝∠AOB＝30°，∴AH＝AB＝1，∴OH＝，∴S△OAB＝AB?OH＝，∴S陰影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣．，故答案為：﹣．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，弧長的計算和扇形的面積計算，明確S陰影＝S扇形OAB?S△OAB是解決問題的關鍵．8．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在矩形中，，O為中點，，則扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵O為中點，∴，∵，在中，，∴，同理，∴，∴扇形的面積為，故答案為：．9．（2024·廣東·模擬預測）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十處特色風景，一游客在去西湖游玩時買了一把印有西湖十景的折扇，打開后，如圖，小扇形的半徑為，弧長為，大扇形的半徑為，扇面的寬度為，則扇面的面積（陰影部分）是（結果保留π）．【答案】【分析】本題考查了求扇形面積，先根據小扇形的半徑為，弧長為，求出D的度數，根據列式代入數值進行計算，即可作答．【詳解】解：設∵小扇形的半徑為，弧長為∴則則∵大扇形的半徑為，扇面的寬度為，∴則故答案為：三、解答題10．（2024·廣東云浮·一模）如圖1是一臺筆記本電腦，圖2是它的示意圖．將筆記本電腦水平放置在桌面上，當張角時，頂部邊緣A處離桌面的高度，然后將電腦屏幕繞點O旋轉至張角（點是A的對應點）．

(1)求頂部邊緣A處繞點O旋轉到處時轉過的弧長；（結果保留）(2)求旋轉后頂部邊緣處離桌面的高度．（結果精確到1cm．參考數據：，，）【答案】(1)頂部邊緣A處繞點O旋轉到處時轉過的弧長為(2)旋轉后頂部邊緣處離桌面的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應用，直角三角形的性質，熟練掌握和運用解直角三角形的方法是解題的關鍵．（1）首先可求得，根據直角三角形的性質，即可求得、的長，再由題意可得的度數，最后利用弧長公式即可求解；（2）過點作于點D，線段的長即為旋轉后頂部邊緣處離桌面的高度，再求出的度數，利用解直角三角形進行計算即可解答．【詳解】（1）解：．，，，頂部邊緣A處繞點O旋轉到處時轉過的弧長為．（2）解：如圖，過點作于點D，

，中，答：旋轉后頂部邊緣處離桌面的高度約為．11．（2023·廣東云浮·一模）如圖，是的外接圓，為直徑，點D為上一點，連接，過點C作交的延長線于點E，交的延長線于點F．已知．(1)求證：為的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由圓周角定理得到，即可得到，進而證明，再由即可證明，則為的切線；（2）先解得到，，求出，再根據進行求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴為的切線；（2）解：在中，，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，平行線的性質與判定，解直角三角形，求不規則圖形面積等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．能力提升一、單選題1．（2024·廣東廣州·二模）如圖，正六邊形的半徑為4，則該正六邊形的邊心距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數，過正多邊形中心O作，連接，證出是等邊三角形，根據銳角三角函數的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過正多邊形中心O作，連接，多邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，故選：B．2．（2024·廣東佛山·一模）我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：通過圓內接正多邊形割圓，邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內接正六邊形可算出．若利用圓內接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓內接多邊形的性質，解直角三角形等知識，讀懂題意，計算出正十二邊形的周長是解題的關鍵．利用圓內接正十二邊形的性質求出，再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接邊點O作，在正十二邊形中，，，，，，，故選：C3．（2024·廣東中山·三模）如圖，在菱形中，點是的中點，以為圓心、為半徑作弧，交于點，連接、若，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定、菱形的性質、扇形的面積計算等知識點，求得和扇形的面積是解題的關鍵．如圖：連接，根據菱形的性質求出和，求出長，再根據三角形的面積和扇形的面積求解即可．【詳解】解：如圖：連接，∵四邊形是菱形，∴，∵，E為的中點，∴，是等邊三角形，，∵，∴，由勾股定理得：，∴，∴陰影部分的面積．故選：A．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等是解題關鍵，設圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長為，根據弧長公式得出側面展開圖的弧長，進而得出，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．【詳解】解：設圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長為，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，扇形的弧長為，圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等，，，圓錐的高為，圓錐的體積為，故選：D．5．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，在菱形中，，對角線，交于點O，以點A為圓心，長為半徑作弧，交于點E；以點C為圓心，長為半徑作弧，交于點F．若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了求扇形面積，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，扇形面積公式是解題的關鍵．證明、是等邊三角形，，可得，，結合結合作圖可得：點E是的中點，點F是的中點，可得，，再利用面積差求解陰影部分的面積即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∵