第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市西城區第十三中學高三上學期期中考試數學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=?1,0,1，集合B={x∈Z|x2?2x≤0}，那么A∪BA.?1 B.0,1 C.0,1,2 D.?1,0,1,22.設i是虛數單位，若復數z滿足z3?i=10，則在復平面內復數z對應的點的坐標為(

)A.1,3 B.3,1 C.?1,?3 D.?3,?13.已知向量a,b滿足a+b=2,x,A.?3 B.3 C.?1 D.14.已知函數f(x)=ln(e+x)+ln(e?x)，則f(x)A.奇函數，且在(0,e)上是增函數 B.奇函數，且在(0,e)上是減函數

C.偶函數，且在(0,e)上是增函數 D.偶函數，且在(0,e)上是減函數5.已知x3?ax25的展開式中的常數項為?80A.16 B.32 C.64 D.806.直線y=kx+2與圓(x?2)2+(y?3)2=4相交于M,N兩點，若MNA.?34,34 B.?7.已知雙曲線C的一個焦點是F10,2，漸近線為y=±3x，則A.x2?y23=1 B.x8.已知α，β均為第一象限角，則“α<β”是“sinα<sinβ”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.隨著北京中軸線申遺工作的進行，古建筑備受關注．故宮不僅是世界上現存規模最大、保存最為完整的木質結構古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”.圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡(w?)殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面ABCD題矩形，BCAB=59,EF//AB，四邊形ABFE、CDEF是兩個全等的等腰梯形，?EAD、?FBC

(圖1)

(圖2)A.90 B.3015 C.7510.已知點E，F分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1EA.0條 B.1條 C.2條 D.無數條二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線x+3y+1=0的傾斜角為

12.在等差數列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，則a1=

；使得數列{an}前13.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2–m1=52lgE1E214.已知函數fx=2log2x?log2x?4，則fx15.已知函數f(x)=x①函數f(x)是奇函數；②?k∈R，且k≠0，關于x的方程f(x)?kx=0恰有兩個不相等的實數根；③已知P是曲線y=f(x)上任意一點，A?12④設Mx1,y1為曲線y=f(x)上一點，Nx2,y其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知函數fx=2asinx(1)求a的值及fx(2)若m≤fx≤M對x∈0,π2恒成立，求17.在?ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsinA=(1)求角B的大??；(2)若c?a=1，b=7，求?ABC18.如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，點E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F為線段PE中點，求證：BF//平面PCD．(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．19.已知橢圓E：x2a2+y2(1)求E的方程；(2)過點N0,1的直線交E于點A,B(點A,B與點C不重合).設AB的中點為M，連接CM并延長交E于點D.若M恰為CD的中點，求直線AB的方程．20.已知函數f(x)=(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)求證：f(x)<x；(3)若函數g(x)=f(x)+ax2?x在區間(1,+∞)上無零點，求21.已知數列A:a1，a2，a3，…，ann≥3的各項均為正整數，設集合T=(1)若數列A：1，3，5，6，直接寫出集合T和PT(2)若A是遞減數列，求證：“A為等差數列”的充要條件是“PT(3)已知數列A：2，22，23，…，2n，求P參考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.B

10.D

11.5π612.9；5

13.1010·114.(4,+∞)

；

；

；

；

；；4

15.②③④

16.解：(1)fx由于fπ6=所以fx=3(2)當x∈0,π2故當2x?π6=π2當2x?π6=?π6時，f因此M≥1,m≤?2，

故m的最大值為?2，M的最小值為1．

17.(1)∵bsin由正弦定理，得sinB∵sinA>0，∴sin∵0<B<π，∴B=π(2)根據題意，c?a2=1=由余弦定理b2得7=a2根據①②，可得ac=6，所以三角形的面積公式S△ABC

18.解：(1)取PD的中點為S，接SF,SC，則SF//ED,SF=1而ED//BC,ED=2BC，故SF//BC,SF=BC，故四邊形SFBC為平行四邊形，故BF//SC，而BF?平面PCD，SC?平面PCD，所以BF//平面PCD．(2)因為ED=2，故AE=1，故AE//BC,AE=BC，故四邊形AECB為平行四邊形，故CE//AB，所以CE⊥平面PAD，而PE,ED?平面PAD，故CE⊥PE,CE⊥ED，而PE⊥ED，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,?1,0則PA設平面PAB的法向量為m=則由m?PA=0m?設平面PCD的法向量為n=則由n?PC=0n?故cosm故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為30

19.解：(1)依題意ca=所以橢圓E的方程為x2(2)若直線AB與y軸重合，則M與原點重合，符合題意，

此時直線AB的方程為x=0．若直線AB與y軸不重合，設其方程為y=kx+1，由y=kx+1x28+yΔ=64k設Ax1,則xM因為M是CD的中點，所以xD因為xD2+4解得k=0，此時直線AB經過點C，不符合題意，舍去．綜上所述，直線AB的方程為x=0．

20.解：(1)f′(x)=(xlnx)′=lnx2x+xx，則f′(1)=1，又f(1)=0，

所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y=x?1；

(2)證明：因為x>0，所以x>0，

要證明f(x)<x，只需要證明lnx<x，即證lnx?x<0，

令?(x)=lnx?x，則?′(x)=1x?12x=2?x2x，

當0<x<4時，?′(x)>0，此時?(x)在(0,4)上單調遞增；

當x>4時，?′(x)<0，此時?(x)在(4,+∞)上單調遞減，

故?(x)在x=4取極大值也是最大值，故?(x)≤?(4)=ln4?2<0，

所以lnx?x<0恒成立，即原不等式成立；

(3)g(x)=xlnx+a(x2?x)，

當x>1時，xlnx>0,x2?x>0，

故當a≥0時，g(x)>0在區間(1,+∞)上恒成立，符合題意；

當a<0時，g′(x)=lnx2x+xx+a(2x?1)，

令t(x)=g′(x)，則t′(x)=?lnx4xx+2a<0在區間(1,+∞)上恒成立，

所以t(x)在(1,+∞)單調遞減，且t(1)=g′(1)=1+a，

①當g′(1)=1+a≤0時，此時a≤?1，g′(x)<0在區間(1,+∞)上恒成立，

所以g(x)在區間(1,+∞)單調遞減，所以g(x)<g(1)=0在(1,+∞)上恒成立，符合題意，

21.(1)解：因為數列A：1，3，5，6，所以3?1=2,5?1=4,6?1=5,5?3=2,6?3=3,6?5=1，所以集合T=1,2,3,4,5，P(2)證明：必要性，若A為等差數列，且A是遞減數列，設