2024—2025學年四川省成都市邛崍市第二片區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負數，若氣溫為零上10℃記作＋10℃，則－3℃表示氣溫為（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．如圖，是由4個相同小正方體組合而成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（）A． B．C． D．4．八年級（1）班與（2）班各選出20名學生進行英文打字比賽，通過對參賽學生每分鐘輸入的單詞個數進行統計，兩班成績的平均數相同，（1）班成績的方差為17.5，（2）班成績的方差為15，由此可知（）A．（1）班比（2）班的成績穩定 B．（2）班比（1）班的成績穩定C．兩個班的成績一樣穩定 D．無法確定哪班的成績更穩定5．已知，則的值是（）A． B． C．1 D．6．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．《九章算術》是我國古代數學的重要著作，“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈=10尺，尺、寸、丈不是法定計量單位）若設高是x尺，則可列方程為（）A． B．C． D．8．如圖，，，，，在邊AB上取點，使得與相似，則這樣的點共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本題共10小題，每小題4分，共40分．9．因式分解：__________．10．方程的根為__________．11．已知是關于的一元二次方程的一個根，則實數的值是__________．12．在一個不透明的盒子中，裝有除顏色外完全相同的乒乓球共16個，從中隨機摸出一個乒乓球，若摸到黃色乒乓球的概率為，則該盒子中裝有黃色乒乓球的個數是__________．13．兩千多年前，我國的學者墨子和他的學生做了小孔成像的實驗．他的做法是，在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現外面景物的倒像．小華在學習了小孔成像的原理后，利用如圖裝置來驗證小孔成像的現象，已知一根點燃的蠟燭距小孔20cm，光屏在距小孔30cm處，小華測量了蠟燭的火焰高度為2cm，則光屏上火焰所成像的高度為__________cm．14．若是關于的一元二次方程的解，則的值是__________．15．如圖，樂器上的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為__________cm．（結果保留根號）16．如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交CD于點E．若，，則矩形的對角線AC的長為__________．17．如圖，在矩形中，對角線AC，BD相交于點，，垂足為，，，則AB的值為__________．18．如圖，在中，，，D和M分別是BC、AC邊上的動點，則的最小值是__________．三、計算題：本大題共1小題，共8分．19．某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進行了抽樣調查（每位同學只選最關注的一個），根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖．根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）這次調查的學生共有多少名？（2）請將條形統計圖補充完整，并在扇形統計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數．（3）如果要在這5個主題中任選兩個進行調查，根據（2）中調查結果，用樹狀圖或列表法，求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E）．四、解答題：本題共7小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．20．（本小題12分）（1）計算：；（2）解不等式組．21．（本小題8分）若關于的方程有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍；（2）設方程的兩根分別是、，且滿足，求的值．22．（本小題10分）如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出將向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的；（2）畫出將繞原點順時針方向旋轉90°得到；（3）在軸上存在一點，滿足點到與點距離之和最小，請直接寫出點的坐標．23．（本小題10分）如圖，在中，，，．動點從點出發，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒，連接MN．（1）若與相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若，求t的值．24．（本小題8分）某水果批發商場經銷一種高檔水果，商場為了在中秋節和國慶節期間擴大銷量，將售價從原來的每千克40元經兩次調價后調至每千克32．4元．（1）若該商場兩次調次的降價率相同，求這個降價率；（2）現在假期結束了，商場準備適當漲價，如果現在每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？25．（本小題10分）如圖1，直線與坐標軸分別交于點A，B，與直線交于點．（1）求的面積；（2）如圖2，若有一條垂直于軸的直線以每秒1個單位的速度從點出發沿射線AO方向做勻速滑動，分別交直線，及軸于點M，N和．設運動時間為，連接1．①當時，求的值；②試探究在坐標平面內是否存在點P，使得以O、Q、C、P為頂點的四邊形構成菱形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．26．（本小題12分）已知線段BD是正方形的一條對角線，點E在射線BD上運動，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉90°，得到線段CF，連接DF．（1）如圖1，若點E在線段BD上，請直接寫出線段BE與線段DF的數量關系與位置關系；【模型應用】（2）如圖2，若點E在線段BD的延長線上運動，請寫出線段CD，DE，DF之間的數量關系，并說明理由；【模型遷移】（3）如圖3，已知線段BD是矩形的一條對角線，，，點E在射線BD上運動，連接CE，將CE繞點C順時針旋轉90°，得到CM，在CM上截取線段，連接EF，若，直接寫出線段EF的長．答案和解析1．【答案】B【解析】【分析】此題主要考查正負數的意義，正數與負數表示意義相反的兩種量，看清規定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．此題主要用正負數來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負，由此直接得出結論即可．【解答】解：若氣溫為零上10℃記作＋10℃，則－3℃表示氣溫為零下3℃．故選：B．2．【答案】C【解析】【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．【解答】解：從正面看，易得上面一層最右邊有1個正方形，下面一層有3個正方形，故A、B、D錯誤，C正確．故選C．3．【答案】A【解析】解：A：，正確；B：因為，與不是同類項，不能合并，所以B選項錯誤；C：，所以C選項錯誤；D：，所以D選項錯誤；故：選A合并同類項只是將同類項的系數相加，字母及其指數都不變，而的錯誤之處是把合并同類項與同底數冪的乘法混為一談了本題容易出錯的選項是B選項，有些學生把合并同類項與同底數冪的乘法運算混為一談，需要注意．4．【答案】B【解析】解：班成績的方差為17．5，（2）班成績的方差為15，（1）班成績的方差>（2）班成績的方差，（2）班比（1）班的成績穩定．故選：B．根據方差的意義可作出判斷，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．5．【答案】D【解析】解：令，得：、、，．故選：D．令，得到：、、，然后代入即可求解．本題考查了比例的性質，解題的關鍵是用一個字母表示出a、b、c，然后求值．6．【答案】C【解析】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根．根據判別式的意義得到，然后解一元一次不等式即可．【解答】解：根據題意得，解得．故選：C．7．【答案】C【解析】解：高是x尺，則寬為尺，根據勾股定理，得，故選：C．高是x尺，則寬為尺，根據矩形門的高、寬、對角線構成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．本題考查勾股定理，正確理解題意，找到各個量的關系列出方程是解題的關鍵．8．【答案】C【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵．設，則有，分兩種情況考慮：三角形與三角形相似；三角形與三角形相似，分別求出x的值，即可確定出P的個數．【解答】解：設，則有，由，當，時，即，解得：或，當，時，即，解得：，綜上，這樣的點共有3個，故選：C．9．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式是解題關鍵．【解答】解：．故答案為：．10．【答案】，，【解析】解：，，，，或，，，故答案為：，．移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．本題考查了解一元二次方程—因式分解法．11．【答案】【解析】解：把代入方程得：，解方程得．故答案為：已知是關于的一元二次方程的一個根，把代入方程，即可得到一個關于的方程，解方程即可求出值．本題主要考查了方程的解的定義，把求未知系數的問題轉化為方程求解的問題．12．【答案】6【解析】解：裝有除顏色外完全相同的乒乓球共16個，從中隨機摸出一個乒乓球，若摸到黃色乒乓球的概率為，該盒子中裝有黃色乒乓球的個數是：．故答案為：6．直接利用摸到黃色乒乓球的概率為，利用總數乘以概率即可得出該盒子中裝有黃色乒乓球的個數．此題主要考查了概率公式，正確利用摸到黃色乒乓球的概率求出黃球個數是解題關鍵．13．【答案】3【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；借助標桿或直尺測量物體的高度．如圖，，，，通過證明得到，然后利用比例性質求CD即可．【解答】解：如圖，，，，，，，即，，即光屏上火焰所成像的高度為3cm．故答案為3．14．【答案】2025【解析】解：將代入原方程得：，，．故答案為：2025．將代入原方程，可得出，再將其代入中，即可求出結論．本題考查了一元二次方程的解，將方程的解代入原方程，求出是解題的關鍵．15．【答案】【解析】解：點是靠近點的黃金分割點，，，點是靠近點的黃金分割點，，，，支撐點C，D之間的距離為，故答案為：．根據黃金分割的定義，進行計算即可解答．本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．16．【答案】【解析】解：連接AE，如圖，由作法得MN垂直平分AC，，在中，，在中，．故答案為．連接AE，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC，則，然后利用勾股定理先計算出AD，再計算出AC．本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于己知角；作己知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線：過一點作已知直線的垂線）．17．【答案】【解析】解：四邊形是矩形，，，，，，，，為等邊三角形，，，，，，，故答案為：．根據矩形的對角線相等且平分，以及到線段兩端點的距離相等的點在線段的中垂線上，得到為等邊三角形，利用30度角的直角三角形的性質和勾股定理進行求解即可．本題考查矩形的性質，等邊三角形的判定和性質．解答本題的關鍵是首先推導出為等邊三角形．18．【答案】【解析】解：如圖作點A關于BC的對稱點E，連接BE、AE交BC于點O，作垂足為M，EM交BC于，此時最?。ù咕€段最短）．，，，，，，，，，．最小值為，故答案為．如圖作點A關于BC的對稱點E，連接BE、AE交BC于點O，作垂足為M，EM交BC于D，此時最小，由，得即可解決問題．本題考查軸對稱—最短問題、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用對稱，垂線段最短找到點D、M的位置，屬于中考?？碱}型．19．【答案】解：（1）（名），答：這次調查的學生共有280名；（2）（名），（名），補全條形統計圖，如圖所示，根據題意得：，，答：“進取”所對應的圓心角是108°；（3）由（2）中調查結果知：學生關注最多的兩個主題為“進取”和“感恩”用列表法為：ABCDEA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（D，C）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）用樹狀圖為：共20種情況，恰好選到“C”和“E”有2種，恰好選到“進取”和“感恩”兩個主題的概率是．【解析】（1）根據“平等”的人數除以占的百分比得到調查的學生總數即可；（2）求出“互助”與“進取”的學生數，補全條形統計圖，求出“進取”占的圓心角度數即可；（3）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出恰好選到“C”和“E”的情況數，即可求出所求的概率．此題考查了列表法與樹狀圖法，扇形統計圖，以及條形統計圖，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．20．【答案】解：．（2）解不等式得，，解不等式得，，不等式組的解集為：．【解析】（1）根據實數的運算法則計算即可求解；（2）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．本題考查了實數的運算，求不等式組的解集，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．21．【答案】解：（1）關于的方程有兩個不相等的實數根，，即，解得：；（2）設方程的兩根分別是、，，，又，，即，，，解得：，符合題意．【解析】（1）根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得到，求出的取值范圍即可；（2）根據根與系數的關系得出方程解答即可．本題主要考查了根的判別式以及根與系數關系，關鍵是一元二次方程根與系數關系的應用．22．【答案】解：（1）如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；（3）如圖，點即為所求，點的坐標，【解析】【分析】本題考查作圖-平移變換，旋轉變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質．（1）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點，，．即可；（2）利用旋轉變換的性質分別作出A，B的對應點，；（3）作點關于軸的對應點，連接交軸于點，點即為所求．【解答】解：（1）（2）見答案；（3）作關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，點，，設，，解得：，，令，則，解得，點．故答案為：點．23．【答案】解：（1），，，，由題意得，，．當時，，即，解得：；當時，，即，解得：，綜上所述，與相似時，的值為或；（2）如圖，過點作于點，，，，，，，，，，，，，，，，．，，，，即，解得．【解析】（1）根據勾股定理求出AB，分，兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（2）過點M作于點D，分別證明，，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．24．【答案】解：（1）設這個降價率為，依題意，得：，解得：，（舍去）．答：這個降價率為10%．（2）設每千克應漲價y元，則每天可售出千克，依題意，得：，整理，得：，解得：，．要使顧客得到實惠，．答：每千克應漲價5元．【解析】（1）設這個降價率為，根據原價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）設每千克應漲價元，則每天可售出千克，根據總利潤=每千克的利潤銷售數量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25．【答案】解：（