專題13難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 9【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】 17【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】 25【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】 32【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】 40【典型例題】【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·遼寧丹東·校考一模）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以同樣的速度沿A→C→B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)與相似？3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為？4．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接．過點(diǎn)作的平行線交射線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當(dāng)___________時(shí)，，此時(shí)___________；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求t的值．【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023春·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形的邊長為10，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，，Q為上一動(dòng)點(diǎn)，若以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則的長為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點(diǎn)E是的動(dòng)點(diǎn)，若，則的長為．2．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P始終落在上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，線段的長為．3．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為．4．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則的長為．【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，．點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)相交于點(diǎn)G，則的最小值為．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點(diǎn)，CD上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長為．

【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P，E的直線與正方形的邊交于點(diǎn)F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)，連接交或的延長線于，記點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接，，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為______，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請(qǐng)判斷四邊形的面積是否會(huì)隨時(shí)間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

2．（2023春·江西鷹潭·九年級(jí)校考階段練習(xí)）綜合與探究問題提出：數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)問題：在中，，于點(diǎn)D，E為上的一動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在上，于點(diǎn)E，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

特例故知：（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1，，E為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為______．變式探究（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2，將（1）中“”改為“”，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展提高（3）經(jīng)過前兩個(gè)小組的探究，智慧小組將該問題的條件更一般化：如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認(rèn)識(shí)】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點(diǎn)M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點(diǎn)，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時(shí)思路，利用圖（2）請(qǐng)證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一動(dòng)點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動(dòng)時(shí)，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)操作推斷如圖1，點(diǎn)P是正方形紙片的