第1頁（共1頁）2024-2025學年浙江省杭州市拱墅區文瀾中學八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下面四個手機應用圖標中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）小芳有兩根長度為6cm和9cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條（）的木條．A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm4．（3分）下面四個k值，能說明命題“對于任意偶數k，都是4的倍數”是假命題的是（）A．k＝6 B．k＝7 C．k＝8 D．k＝165．（3分）若a＜b，則下列結論錯誤的是（）A．a+2＜b+2 B．3﹣a＜3﹣b C．4a＜4b D．6．（3分）在△ABC中，畫出邊AC上的高，畫法正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）在平面直角坐標系中，如果ab＞0，那么點（a，|b|）在（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第三或第四象限 D．第一或第四象限8．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝90° C．a：b：c＝2：3：4 D．b2＝a2﹣c29．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為（）A．60° B．72° C．36° D．90°10．（3分）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結AC，若正方形ABCD的面積為30，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點A（2，3）關于x軸的對稱點的坐標是．12．（4分）如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，若∠ACD＝110°，則∠A＝．13．（4分）若關于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集為x＞1，則m的取值范圍是．14．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，則點D到AB的距離為cm．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，則BD＝．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，分別以AB，AC為邊在△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，CD．（1）若∠BEC＝24°，則∠CBE＝°；（2）若AC＝8，則CD的長為．三、解答題（本題有7小題，共66分，其中第17題滿分66分，第18，19題滿分66分，第20，21題滿分66分，第22，23題滿分66分）17．（6分）解不等式（組）：（1）2x﹣1＞3﹣4x；（2）．18．（8分）△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標系中的位置如圖．（1）分別寫出下列各點的坐標：A′；B′；C′；（2）說明△A′B′C′由△ABC經過怎樣的平移得到？（3）求△ABC的面積．19．（8分）已知：如圖，AB∥DE，∠A＝∠D20．（10分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DF⊥AC，垂足分別是E，F21．（10分）某水果店銷售蘋果和梨，購買1千克蘋果和4千克梨共需34元，購買2千克蘋果和1千克梨共需26元．（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價；（2）如果購買蘋果和梨共15千克，且總價不超過126元，那么最多購買多少千克蘋果？22．（12分）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，它們同時出發，設出發的時間為t秒．（1）出發2秒后，求PQ的長；（2）從出發幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．23．（12分）如圖，已知等邊△ABC，點D為△ABC內的一點，∠ADB＝120°．以CD為邊向CD上方作等邊△CDE，連接AE（0°＜∠ACE＜60°）．（1）求證：△BDC≌△AEC．（2）若DC＝2n，AD＝AE，則△ADE的面積為．（3）若DA＝n2+1，DB＝n2﹣1，DC＝2n（n為大于1的整數）．求證：DA2+DC2＝AC2．

2024-2025學年浙江省杭州市拱墅區文瀾中學八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下面四個手機應用圖標中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A不屬于軸對稱圖形，故此選項錯誤；B不屬于軸對稱圖形，故此選項錯誤；C屬于軸對稱圖形，故此選項正確；D不屬于軸對稱圖形，故此選項錯誤；故選：C．2．（3分）不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是：故選：B．3．（3分）小芳有兩根長度為6cm和9cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條（）的木條．A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm【解答】解：設木條的長度為xcm，則9﹣6＜x＜4+6，故她應該選擇長度為12cm的木條．故選：C．4．（3分）下面四個k值，能說明命題“對于任意偶數k，都是4的倍數”是假命題的是（）A．k＝6 B．k＝7 C．k＝8 D．k＝16【解答】解：A、k＝6是偶數，能說明命題“對于任意偶數k，故A符合題意；B、k＝7不是偶數，都是3的倍數”是假命題的．C、D中k的值是偶數，不能說明命題“對于任意偶數k，故C；故選：A．5．（3分）若a＜b，則下列結論錯誤的是（）A．a+2＜b+2 B．3﹣a＜3﹣b C．4a＜4b D．【解答】解：A、若a＜b，故A不符合題意；B、若a＜b，故B符合題意；C、若a＜b，故C不符合題意；D、若a＜b，則＜．故選：B．6．（3分）在△ABC中，畫出邊AC上的高，畫法正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線段垂足為E，縱觀各圖形，A、B、D選項都不符合高線的定義，C選項符合高線的定義．故選：C．7．（3分）在平面直角坐標系中，如果ab＞0，那么點（a，|b|）在（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第三或第四象限 D．第一或第四象限【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同號，①若a＞0，則b＞8，∴|b|＞0，∴點（a，|b|）在第一象限，②若a＜0，則b＜7，∴|b|＞0，∴點（a，|b|）在第二象限，綜上所述，點（a．故選：A．8．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝90° C．a：b：c＝2：3：4 D．b2＝a2﹣c2【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：6，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合題意；B、∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合題意；C、設a＝2x，c＝4x，∵a7+b2＝4x2+9x2＝13x2，c2＝16x2，a4+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，符合題意；D、∵b6+c2＝a2符合勾股定理逆定理，∴△ABC是直角三角形，不符合題意．故選：C．9．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為（）A．60° B．72° C．36° D．90°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由折疊得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，∴3∠A+2∠A+∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝2∠A＝72°，故選：B．10．（3分）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結AC，若正方形ABCD的面積為30，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5【解答】解：∵正方形ABCD的面積為30，∴AB2＝30，設AE＝x，∵AE+BE＝7，∴BE＝3﹣x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB3，∴x2+（7﹣x）3＝30，∴2x2﹣14x＝﹣19，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP＝∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG+PF）?FG＝S正方形EHGF，∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣2S△AEB＝30﹣4×x?（7﹣x）＝30﹣2x（4﹣x）＝30﹣19＝11，則S△CFP﹣S△AEP的值是5.5．故選：A．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點A（2，3）關于x軸的對稱點的坐標是（2，﹣3）．【解答】解：點A（2，3）關于x軸的對稱點的坐標是（3．故答案為：（2，﹣3）．12．（4分）如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，若∠ACD＝110°，則∠A＝65°．【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．故答案為：65°．13．（4分）若關于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集為x＞1，則m的取值范圍是m＜1．【解答】解：∵將不等式（m﹣1）x＜m﹣1兩邊都除以（m﹣5），得x＞1，∴m﹣1＜4，解得：m＜1，故答案為m＜1．14．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，則點D到AB的距離為3cm．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵BC＝7cm，BD＝4cm，∴CD＝BC﹣BD＝6cm，∴DE＝3cm，即D到AB的距離為3cm，故答案為：4．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，則BD＝10．【解答】解：如圖，連接AD．∵AB的垂直平分線交BC于D，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°．又∵在△ABC中，∠C＝90°，∴AD＝2AC＝10．故填：10．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，分別以AB，AC為邊在△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，CD．（1）若∠BEC＝24°，則∠CBE＝36°；（2）若AC＝8，則CD的長為2．【解答】解：（1）∵△ACE是等邊三角形，∴∠ACE＝60°＝∠ACB，∴∠BCE＝120°，又∵∠BEC＝24°，∴∠CBE＝180°﹣∠BCE﹣∠BEC＝180°﹣120°﹣24°＝36°，故答案為：36；（2）∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC＝CE＝4，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，過點E作EF⊥BC于點F，∵∠BCE＝120°，∴∠CEF＝∠BCE﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，∴CF＝CE＝4，∴EF＝＝4，BF＝BC+CF＝7+4＝10，∴CD＝BE＝＝2，故答案為：（1）36°，（2）．三、解答題（本題有7小題，共66分，其中第17題滿分66分，第18，19題滿分66分，第20，21題滿分66分，第22，23題滿分66分）17．（6分）解不等式（組）：（1）2x﹣1＞3﹣4x；（2）．【解答】解：（1）2x﹣1＞4﹣4x，2x+4x＞3+1，8x＞4，x＞；（2），由①可得：x≥1，由②可得：x＜2，∴不等式組的解集為1≤x＜4．18．（8分）△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標系中的位置如圖．（1）分別寫出下列各點的坐標：A′（﹣3，1）；B′（﹣2，﹣2）；C′（﹣1，﹣1）；（2）說明△A′B′C′由△ABC經過怎樣的平移得到？（3）求△ABC的面積．【解答】解：（1）根據圖示，得A′（﹣3，B′（﹣2，C′（﹣6；故答案為：（﹣3，1），﹣4），﹣1）．（2）△ABC先向左平移4個單位，再向下平移4個單位，再向左平移4個單位）得到△A′B′C′；（3）如圖，S△ABC＝×（1+3）×6﹣×1×8＝2．19．（8分）已知：如圖，AB∥DE，∠A＝∠D【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF（AAS）．20．（10分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DF⊥AC，垂足分別是E，F【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD是△ABC的角平分線．21．（10分）某水果店銷售蘋果和梨，購買1千克蘋果和4千克梨共需34元，購買2千克蘋果和1千克梨共需26元．（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價；（2）如果購買蘋果和梨共15千克，且總價不超過126元，那么最多購買多少千克蘋果？【解答】解：（1）設每千克蘋果的售價為x元，每千克梨的售價為y元，依題意，得，解得．答：每千克蘋果的售價為10元，每千克梨的售價為6元；（2）設購買m千克蘋果，則購買（15﹣m）千克梨，依題意，得：10m+6（15﹣m）≤126，解得：m≤8．∵m為整數，∴m的最大值為9，答：最多購買9千克蘋果．22．（12分）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，它們同時出發，設出發的時間為t秒．（1）出發2秒后，求PQ的長；（2）從出發幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．【解答】解：（1）BQ＝2×2＝5cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×2＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝＝2；（2）∵BQ＝4tcm，BP＝（8﹣t）cm，∴2t＝4﹣t，解得：t＝；（3）①當CQ＝BQ時（圖5），則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5cm，∴BC+CQ＝11cm，∴t＝11÷2＝2.5秒．②當CQ＝BC時（如圖2），則BC+CQ＝12cm∴t＝12÷6＝6秒．③當BC＝BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則BE＝＝cm，所以CE＝cm，故CQ＝2CE＝7.3cm，所以BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷3＝6.6秒．…2′由上可知，當t為5.5秒或4秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．23．（12分）如圖，已知等邊△ABC，點D為△ABC內的一點，∠ADB＝120°．以CD為邊向CD上方作等邊△CDE，連接AE（0°＜∠ACE＜60°）．（1）求證：△BDC≌△AEC．（2）若DC＝2n，AD＝AE