專題12.2離散型隨機變量的分布列、均值與方差（真題測試）一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分布列的概率求解方式即可得出答案.【詳解】解：由題意得：．故選:A2．（2023·全國·高三專題練習）下表是離散型隨機變量X的概率分布，則常數的值是（

）X3456PA． B． C． D．【答案】C【分析】由隨機變量分布列中概率之和為1列出方程即可求出a.【詳解】由，解得.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為下表所示，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由隨機變量的分布列的性質得，，求得的值，再利用隨機變量的方差公式可求解.【詳解】由，解得由隨機變量的分布列的性質得，得所以故選：B4．（2019·浙江·高考真題）設，則隨機變量的分布列是：則當在內增大時()A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【分析】研究方差隨變化的增大或減小規律，常用方法就是將方差用參數表示，應用函數知識求解.本題根據方差與期望的關系，將方差表示為的二次函數，二次函數的圖象和性質解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.【詳解】方法1：由分布列得，則，則當在內增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.【點睛】易出現的錯誤有，一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數表達式.5．（2018·浙江·高考真題）設，隨機變量的分布列如圖，則當在內增大時，()A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【分析】先求數學期望，再求方差，最后根據方差函數確定單調性.【詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【點睛】6．（2017·浙江·高考真題）已知隨機變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>【答案】A【詳解】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．由已知本題隨機變量服從兩點分布，由兩點分布數學期望與方差的公式可得A正確．7．（2022·河南·高三開學考試（理））某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元．在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元．在使用期間，每臺設備需更換的零件個數X的分布列為X678P0.40.50.1若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為（

）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【分析】由題意2臺設備使用期間需更換的零件數可能取值為12、13、14、15、16，再求出它們對應的概率，進而求2臺設備另需購買易損零件所需費用可能值及其概率，最后求期望即可.【詳解】記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，．若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，．故選：D8．（2023·全國·高三專題練習（理））某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元.在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元.在使用期間，每臺設備需更換的零件個數X的分布列為：X678P0.40.50.1若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【分析】由題意2臺設備使用期間需更換的零件數可能取值為12、13、14、15、16，再求出它們對應的概率，進而求2臺設備另需購買易損零件所需費用可能值及其概率，最后求期望即可.【詳解】記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，.若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，.故選：D.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列如下表：012若，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據分布列和已知列出方程組即可求出.【詳解】依題意，解得，.故選：AC.10．（2022·吉林·東北師大附中高三開學考試）已知隨機變量的分布列如下表；01記“函數是偶函數”為事件，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據分布列的性質，以及數學期望的公式判斷AB，結合偶函數的定義判斷CD，即可求解．【詳解】解：由隨機變量的分布列知，所以，故B正確；，故A錯誤，函數是偶函數為事件，滿足條件的事件的的可能取值為或，，故C正確，D錯誤；故選：BC．11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）已知投資兩種項目獲得的收益分別為，分布列如下表，則（

）/百萬02百萬012A． B．C．投資兩種項目的收益期望一樣多 D．投資項目的風險比項目高【答案】ACD【分析】根據分布列的性質求出、，再根據期望、方差公式計算可得；【詳解】解：依題意可得，所以，，所以，所以，故A正確；所以，則，故B錯誤；，所以，故C正確；因為，即，所以投資項目的風險比項目高，故D正確；故選：ACD12．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選項，計算出，利用對數函數的性質可判斷出C選項；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數函數的性質判斷出D選項.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數運算和對數函數及不等式的基本性質的運用，屬于難題.三、填空題13.（2023·全國·高三專題練習）隨機變量，滿足，且，則___________.【答案】7【分析】根據期望的性質即可求解.【詳解】故答案為:714．（2015·上海·高考真題（理））賭博有陷阱．某種賭博每局的規則是：賭客先在標記有，，，，的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的倍作為其獎金（單位：元）．若隨機變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則________（元）．【答案】【詳解】賭金的分布列為12345P所以獎金的分布列為1.42.84.25.6P所以15．（2014·浙江·高考真題（理））隨機變量的取值為0,1,2，若，，則________.【答案】【詳解】設時的概率為，則，解得，故16．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機變量X的期望為，則當取得最小值時，_________．【答案】【分析】根據隨機變量的均值計算公式可得，利用導數研究的單調性，進而即可得出結果.【詳解】由題意得，，令，則，令，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得最小值，即當時取得最小值.故答案為：.四、解答題17．（2022·全國·高考真題（理））甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.18．（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．19．（2018·北京·高考真題（理））電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．【答案】(1)概率為0.025(2)概率估計為0.35(3)>>=>>【詳解】分析：(1)先根據頻數計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率，(2)恰有1部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事件的概率，再相加得結果，(3)服從01分布，因此，即得>>=>>．詳解：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50．故所求概率為．（Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由題意知：P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2．故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．點睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式:若A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).20．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.21．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.（1）由頻率估計概率可得甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，丙獲得優秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.22．（2019·全國·高考真題（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只