專題八函數的基本性質知識精講一知識結構圖內容考點關注點函數的基本性質函數的單調性單調性相對于區間而言利用單調性解不等式函數的定義域函數的奇偶性定義域關于原點對稱奇偶性、單調性的綜合運用單調性的不同二.學法指導1.求函數單調區間的方法(1)利用基本初等函數的單調性，其中分段函數的單調區間要根據函數的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數的圖象．2.利用定義證明函數單調性的步驟1取值：設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1<x2.2作差變形：作差fx1－fx2，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的式子.3定號：確定fx1－fx2的符號.4結論：根據fx1－fx2的符號及定義判斷單調性.3．函數的最大(小)值與單調性的關系(1)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，則f(x)在區間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，在區間[b，c]上是減(增)函數，則f(x)在區間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個．4.判斷函數奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖象法：5.利用奇偶性求參數的常見類型及策略1定義域含參數：奇、偶函數fx的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數.2解析式含參數：根據f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比較系數即可求解.6.利用函數奇偶性求解析式的方法1“求誰設誰”，既在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設.2要利用已知區間的解析式進行代入.3利用fx的奇偶性寫出－fx或f－x，從而解出fx.7、解有關奇函數fx的不等式fa＋fb<0，先將fa＋fb<0變形為fa<－fb＝f－b，再利用fx的單調性去掉“f”，化為關于a，b的不等式.另外，要特別注意函數的定義域.,由于偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反，所以我們要利用偶函數的性質fx＝f|x|＝f－|x|將fgx中的gx全部化到同一個單調區間內，再利用單調性去掉符號f，使不等式得解.三.知識點貫通知識點1函數的單調區間如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．例1.求下列函數的單調區間，并指出該函數在其單調區間上是增函數還是減函數．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.知識點二函數單調性的判斷與證明1.增函數與減函數的定義條件一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D?I：如果?x1，x2∈D，當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)結論那么就說函數f(x)在區間D上是增函數那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖示例題2：試用函數單調性的定義證明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是減函數．知識點三函數單調性應用1.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1<x2.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1>x2.例題3.(1)若函數f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區間(－∞，3]上是增函數，則實數a的取值范圍是________．(2)已知函數y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實數x的取值范圍為________．知識點四利用函數的單調性求最值(值域)1.函數最大值與最小值的定義最大值最小值條件設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結論M是函數y＝f(x)的最大值M是函數y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的縱坐標f(x)圖象上最低點的縱坐標例題4．已知函數f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判斷函數在區間(－1，＋∞)上的單調性，并用定義證明你的結論；(2)求該函數在區間[2,4]上的最大值和最小值．知識點五函數奇偶性的判斷1.函數的奇偶性的定義奇偶性偶函數奇函數條件設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I結論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點關于y軸對稱關于原點對稱例題5.判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))知識點六奇偶性應用1.奇函數、偶函數的定義域關于原點對稱。2.函數f(x)為奇函數，則f(x)=f(x);函數f(x)為偶函數，則f(x)=f(x)。例題6.（1）若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________.知識點七函數單調性和奇偶性的綜合問題1.奇函數的圖象關于原點對稱，在y軸兩側的單調性相同；2.偶函數的圖象關于y軸對稱，在y軸兩側的單調性不相同。例題7函數f(x)是定義在實數集上的偶函數，且在[0，＋∞)上是增函數，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是()A．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2五易錯點分析易錯一由單調性比較大小，忽略函數的定義域例題8.已知函