備戰2022年高考數學（理）模擬卷（全國卷）三輪沖刺卷04（本卷滿分150分，考試時間120分鐘。）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，則.故選：D2．若為純虛數（為虛數單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】，為純虛數，，解得，故選：D.3．設滿足約束條件，且的最小值為7，則a=（

）A．5 B．3 C．5或3 D．5或3【答案】B【解析】滿足的約束條件表示的平面區域是直線與所夾的一個角所在區域，它是一個開放性區域，這個區域有唯一邊界頂點，即直線與的交點，因此是目標函數取得最小值的最優解，由解得或，當時，不等式組表示的平面區域如圖中陰影區域，它是一個開放性區域，目標函數，即，表示斜率為，縱截距為的平行直線系，要取最小值，當且僅當取最大，將直線向上平移，其縱截距增大，顯然不存在最大縱截距，即無最小值，當時，不等式組表示的平面區域如圖中陰影區域，它是一個開放性區域，

目標函數，即，表示斜率為，縱截距為的平行直線系，要取最小值，當且僅當取最小，畫直線，再平移到，當直線經過點A時，的縱截距最小，最小，由解得點，，符合題意，所以.故選：B4．設點是雙曲線上的點，是其焦點，且，則的面積是A．4 B．5 C．1 D．2【答案】C【解析】設：（）根據雙曲線定義可知，∵，∴則：5．函數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當，當時,因為，令，的含義是點與單位圓上的點的連線的斜率，所以，所以所以，即，綜合得，，故最小值為：.故選：B.6．在實數集R中定義一種運算“*”，具有以下三條性質：（1）對任意，；（2）對任意a，，；（3）對任意a，b，，.給出下列三個結論：①；②對任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正確結論的序號是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】①，錯誤；②，而，故，正確；③當且時，，而，顯然成立，正確.故選：C7．中，點滿足，則一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】，設是中點，則，，故點在三角形的中線所在直線上.，，即，即.即，故三角形的邊上的中線與高線重合，所以，三角形是等腰三角形，其中.故選：B.8．函數滿足，，當時，，則關于x的方程在上的解的個數是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013【答案】B【解析】因為函數滿足，所以函數關于點對稱，因為，即，所以函數關于直線對稱，因為當時，，所以，結合函數性質，作出函數圖像，如圖所示：

由圖可知，函數為周期函數，周期為，由于函數一個周期內，與有2個交點，在上，與有1個交點，所以根據函數周期性可知，當時，與有個交點.所以關于x的方程在上的解的個數是個.故選：B9．已知是球面上的四個點，平面，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，作出三棱錐，如圖所示，因為平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，則兩兩互相垂直，將三棱錐補形成以為長寬高的長方體，如下圖所示，又是球面上的四個點，所以球的直徑為該長方體的體對角線，又，，所以該長方體的體對角線長為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.10．若函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為有兩個極值點，故有兩個根，即和的圖像有兩個交點，畫出圖像，若，顯然1個交點，不合題意；若，設直線和相切于點，則，解得，故切點是，故，解得.故選：C.11．已知是橢圓和雙曲線的一個交點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，則的值是A．3 B．3 C． D．【答案】D【解析】由余弦定理可得，又由和分別可得和，即，也即，故，應選答案D．12．已知在上的連續函數，其導函數為，滿足，恒成立，設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，，因為，恒成立，所以，當時，，單調遞減，，，，因為，所以.故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．式子的值為___________【答案】##0.5【解析】原式，故答案：14．函數，則_________【答案】【解析】，由，可得，所以，.故答案為：.15．已知函數，滿足函數是奇函數，且當取最小值時，函數在區間和上均單調遞增，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為函數，滿足函數是奇函數，且當取最小值時，，．函數在區間和上均單調遞增，，求得，則實數的范圍為，故答案為：16．如圖，矩形中，，為邊的中點，將沿直線翻轉成.若為線段的中點，則在翻折過程中：①是定值；②點在某個球面上運動；③存在某個位置，使；④存在某個位置，使平面.其中正確的命題是_________.【答案】①②④【解析】取CD中點F，連接MF,BF，則MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正確.由，由余弦定理可得，所以為定值，所以①正確；B是定點，M是在以B為圓心，MB為半徑的球面上，故②正確.假設③正確，即在某個位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，滿足，從而DE⊥平面A1EC，則DE⊥A1E，這與DA1⊥A1E矛盾.所以存在某個位置，使得DE⊥A1C不正確，即③不正確.綜上，正確的命題是①②④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某超市在2017年五一正式開業，開業期間舉行開業大酬賓活動，規定：一次購買總額在區間內者可以參與一次抽獎，根據統計發現參與一次抽獎的顧客每次購買金額分布情況如下：(1)求參與一次抽獎的顧客購買金額的平均數與中位數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留到整數）；(2)若根據超市的經營規律，購買金額與平均利潤有以下四組數據：購買金額x(單位:元)100200300400利潤:(單位:元)15254060試根據所給數據，建立關于的線性回歸方程，并根據1中計算的結果估計超市對每位顧客所得的利潤參考公式:，【解析】(1)由所給頻率分布直方圖可知，這5組數據的頻率分別為0.1，0.2，0.3，0.25，0.15，故這組數據的平均數為；因為，.所以這組數據的中位數為(2)，，，，回歸直線方程為：由此可以估計，把帶入可得每位顧客貢獻給超市的平均利潤為：（元）.18．已知等差數列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數列滿足為數列的前n項和，是否存在正整數m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設等差數列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．19．如圖，在四棱錐中，，，，，，點為的中點．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）取中點，連結．因為點為的中點，所以且，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面中，過作，在平面中，過作．因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以兩兩互相垂直.以為原點，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），則，，，，，

7分所以，，，設是平面的一個法向量，則即取，得．設直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．點睛：本題主要考查空間幾何位置關系的證明和線面角的求法，意在考查學生位置關系的證明和線面角的計算等基礎知識的掌握能力和基本運算能力.位置關系的證明和空間角的求法都有兩種方法，一是幾何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和靈活運用.20．已知橢圓過點，且一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的三條弦，所在的直線分別與軸交于點，且，求直線的方程.【解析】(1)依題意，得，又解得橢圓方程為.(2)由題意知直線的斜率存在，設.據，得，，又直線的斜率為.用代替，得，.又直線的方程為，即.21．已知函數.（1）若，求的單調區間；（2）若對于任意的，恒成立，求的最小值.【解析】（1）因為，所以，.令，得.當時，；當時，.故的單調速增區間是，單調遞減區間是.（2）.因為，，又，所以，則.令，則在上單調遞增.因為當時，，所以.因為，所以，使得.且當時，，則，當時，，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減.故.由，得.由，得，即.結合，得，所以.令.則，所以在上單調遞增，所以，即.故的最小值為.22．在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．【解析】(1)求C的普通方程和l的直角坐標方程；由可得所以，因為，所以