高中數學

人教A版（2019）

必修第一冊第八章

立體幾何初步

8.6.2直線與平面垂直(第1課時

直線與平面垂直的判定）山東沂水縣第四中學教材分析本小節內容選自《普通高中數學必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節《空間直線、平面的垂直》。以下是本節的課時安排：8.6空間直線、平面的垂直課時內容8.6.1直線與直線垂直8.6.2直線與平面垂直8.6.3平面與平面垂直所在位置教材第146頁教材第149頁教材第155頁新教材內容分析本節內容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉化為平面圖形問題來解決的轉化思想.直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續，也為平面與平面垂直的研究做了準備；這三類垂直問題的主線是類似的，都是以定義——判定——性質為主線，通過定理的探索過程，培養了學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節課的重要任務。本節內容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質定理。核心素養培養通過實物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養直觀想象的核心素養；借助異面直線所成角及垂直關系的證明，培養數學運算與邏輯推理的核心素養.通過學習直線與平面垂直的判定定理和性質定理，提升直觀想象、邏輯推理的數學素養；通過學習直線與平面所成的角，提升直觀想象、數學運算的數學素養。通過學習平面與平面垂直的判定定理和性質定理，提升直觀想象、邏輯推理的數學素養；通過學習二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數學運算的數學素養.教學主線垂直關系的相互轉化學習目標

1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運用其解決相關問題，培養邏輯推理的核心素養；2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角，培養數學運算的核心素養。重點、難點1.重點：直線和平面垂直的判定定理及其應用；

求直線與平面所成角。2.難點：直線與平面垂直的判定定理的應用。（一）新知導入

在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如旗桿與地面的位置關系，給我們以直線與平面垂直的形象，那什么叫做直線與平面垂直呢？怎樣用數學語言刻畫直線與平面垂直呢？【問題1】如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?【提示】旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直【問題2】對于地面上不過點B的任意一條直線B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？【提示】旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直。（二）直線與平面垂直知識點一直線與平面垂直的定義（1）定義：如果直線l與平面α內的

一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的

，平面α叫做直線l的

．它們唯一的公共點P叫做

。（2）記法：

。（3）圖示：（4）性質：若a⊥α，b?α，則

.【思考】直線與平面垂直定義中的關鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”或“無數條直線”？【提示】定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數條直線”，因為一條直線與某平面內無數條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直.【做一做】直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面 D．垂直A任意垂線垂面垂足l⊥αa⊥b（二）直線與平面垂直知識點二直線與平面垂直的判定【探究3】如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)(1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?【提示】容易發現，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線AD與平面α內的兩條相交直線BD、DC都垂直。（1）文字語言：如果一條直線與一個平面內的兩條

直線垂直，那么該直線與此平面垂直。（2）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。（3）圖形語言：相交（二）直線與平面垂直【思考1】若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？【提示】當這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交，不一定垂直.【思考2】如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？【提示】垂直.【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個平面內無數條直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．()(2)如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．()【做一做】若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC答案：(1)×(2)√C（二）直線與平面垂直知識點三直線與平面所成的角（二）直線與平面垂直【做一做】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于__________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于__________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于__________．【解析】∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.答案：45°45°0°（三）典型例題1.直線與平面垂直的證明例1.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD.【證明】(1)因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以AE⊥PC.又因為PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.（三）典型例題【類題通法】1.證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．2.線線垂直和線面垂直的相互轉化【鞏固練習1】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【證明】(1)因為AB為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.（三）典型例題2.直線與平面所成的角例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．

（三）典型例題【類題通法】求斜線與平面所成角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．【鞏固練習2】在正方體中，若E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．

（四）操作演練

素養提升1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行 D．不確定2.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°3.設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m

D．若l∥α，m∥α，則l∥m4.下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直；④若平面α內有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．答案：1.A2.A3.B4.③④課堂小結知識總結學生反思（1）通過這節課，你學到了什么知識？