專題4.2.2相似三角形的判定（專項訓練）1．（2021秋?沐川縣期末）如圖所示，點D在△ABC的AB邊上，AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．2．（2021秋?中山區期末）如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．3．（2021秋?泉州期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求證：△ADE∽△ACB．4．（2021春?肇州縣期末）如圖，點B，C分別在△ADE的邊AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求證：△ABC∽△AED．5.（2020秋?惠民縣期末）已知：如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求證：△ACP∽△PDB．6．（2021秋?通道縣期末）如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE＝90°．求證：△ACD∽△BEC．7.（2021秋?南京期末）如圖，AD和BG是△ABC的高，連接GD．（1）求證△ADC∽△BGC；（2）求證△CDG∽△CAB．8．（2021秋?越秀區期末）如圖，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求證：△ABC∽△ADE．9．（2021?贛州模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．10．（2021秋?宣州區校級期中）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE＝45°．求證：△ABD∽△DCE．11．（2021秋?蘇家屯區期中）如圖，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別是B和C，AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，點P從點B出發沿BC運動，當P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似時，求PB的長．12．（2021春?龍口市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點M從點C出發，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，點N從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一點也隨即停止運動．（1）經過幾秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的？（2）經過幾秒，△MCN與△ABC相似？13．（2020秋?鼓樓區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發，以2cm/s的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P、Q運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，△PBQ的面積為9？（2）當△PBQ與△ABC相似時，t的值是多少？專題4.2.2相似三角形的判定（專項訓練）1．（2021秋?沐川縣期末）如圖所示，點D在△ABC的AB邊上，AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【解答】證明：∵，，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．2．（2021秋?中山區期末）如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【解答】證明：∵＝＝，＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．3．（2021秋?泉州期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求證：△ADE∽△ACB．【解答】證明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，∵，，∴又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．4．（2021春?肇州縣期末）如圖，點B，C分別在△ADE的邊AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求證：△ABC∽△AED．【解答】證明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．∴AE＝5，AD＝6，∴，，∴，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．5.（2020秋?惠民縣期末）已知：如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求證：△ACP∽△PDB．【解答】證明：∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∵AC＝1，BD＝4，∴，＝，∴＝，∴△ACP∽△PDB．6．（2021秋?通道縣期末）如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE＝90°．求證：△ACD∽△BEC．【解答】證明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠DAC＝∠CBE＝90°，∴∠ADC+∠DCA＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ADC，∴△ACD∽△BEC．7.（2021秋?南京期末）如圖，AD和BG是△ABC的高，連接GD．（1）求證△ADC∽△BGC；（2）求證△CDG∽△CAB．【解答】（1）證明：在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BGC；（2）證明：∵△ADC∽△BGC，∴＝，∴＝．又∠C＝∠C，∴△CDG∽△CAB．8．（2021秋?越秀區期末）如圖，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求證：△ABC∽△ADE．【解答】證明：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，即∠DAE＝∠BAC，又∵∠D＝∠B，∴△ABC∽△ADE．9．（2021?贛州模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE．∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．10．（2021秋?宣州區校級期中）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE＝45°．求證：△ABD∽△DCE．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．11．（2021秋?蘇家屯區期中）如圖，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別是B和C，AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，點P從點B出發沿BC運動，當P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似時，求PB的長．【解答】解：（1）當△ABP∽△PCD時，，∵AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，∴＝，解得BP＝（5﹣）（cm）或BP＝（5+）（cm）；（2）當△ABP∽△DCP時，，∵AB＝3cm，CD＝5cm，BC＝10cm，∴＝，解得BP＝（cm）．綜合以上可知，當P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似時，PB的長為（5﹣）cm或（5+）cm或cm．12．（2021春?龍口市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點M從點C出發，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，點N從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一點也隨即停止運動．（1）經過幾秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的？（2）經過幾秒，△MCN與△ABC相似？【解答】解：（1）設經過x秒，△MCN的面積等于△ABC面積的．×2x（8﹣x）＝×8×10×．解得x1＝x2＝4．答：經過4秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的；（2）設經過t秒，△MCN與△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分為兩種情況：①＝，即＝，解得t＝；②＝，即＝．解得t＝．答：經過或秒，△MCN與△ABC相似．13．（2020秋?鼓樓區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發，以2cm/s的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P、Q運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，△PBQ的面積為9？（2）當△PBQ與△ABC相似時